一个不等式的推广     

韩雪涛  杨守艾 《中学数学研究(江西师大)》2008,(5):27-28

文[1]证明了一个不等武:0≤x,y,x_1,y_1≤1,x x_1=1,y y_1=1,则L_2=(x~2 y~2)~(1/2) (x~2_1 y~2)~(1/2) (x~2 y~2_1)~(1/2) (x~2_1 y~2_1)~(1/2)≤2 2~(1/2),并根据L_2的几何意义提出了猜想.设0≤z,y,z,x_1,y_1,z_1≤1,x x_1=1,y y_1=1,z z_1=1,则L_3=(x~2 y~2 z~2)~(1/2) (x~2_1 y~2 z~2)~(1/2) (x~2_1 y~2_1 z~2)~(1/2) (x~2 y~2_1 z~2)~(1/2) (x~2 y~2 z~2_1)~(1/2) (x~2_1 y~2 z~2_1)~(1/2) (x~2 y~2_1 z~2_1)~(1/2)  相似文献   

一题四解 各具特色     

王户世 《数理天地(高中版)》2008,(5)

题目若3x~2-xy+3y~2=20,则8x~2+ 23y~2最大值是___.(第13届(02年)"希望杯"高二培训)分析1如果题中有类似x~2+y~2=r~2形式,可令{x=rcosα,进行三角换元.记t=8x~2 y=rsinα+23y~2,则可用三角换元.解法1记t=8x~2+23y~2,可设  相似文献   

妙在增设     

邓友祥 《数学教学通讯》1995,(3)

例1 解方程5x~2 x-x(5x~2-1)~(1/2)=2.解:令 y=(5x~2-1)~(1/2),则5x~2=y~2 1,原方程化为:y~2 1 x-xy=2,y~2-1-x(y-1)=0,  相似文献   

怎样运用三角代换解题     

解玉牛  武创幸 《中学数学教学参考》1995,(6)

1.若遇a≤x~2 y~2≤b(a,b∈R~ ),可作代换x=t·cosφ,y=tsinφ,其中a~(1/2)≤t≤b~(1/2) 例1 已知1≤x~2 y~2≤2,求w=x~2 xy y~2的最值. 解:∵1≤x~2 y~2≤2,∴设x=tcosθ,y=tsinθ,其中1≤t≤2~(1/2),∴w=t~2cos~2θ t~2cosθsinθ t~2sin~2θ=t~2·(1 (1/2)sin2θ),而(1/2)≤1 sin2θ≤(3/2),∴(1/2)≤w≤3. 2.若遇b~2x~2 a~2y~2=a~2b~2(a,b∈R~ ),可作代换x=acosθ,y=bsinθ(此处要注意解析几何中椭圆、双曲线的参数方程的应用) 例2 已知x、y满足x~2 4y~2=4,求w=x~2 2xy 4y~2 x 2y的最值.  相似文献   

关于ρ=±(x~2+y~2)~(1/2)中符号的确定     

哈家定 《数学教学》1992,(2)

在曲线的极坐标方程化到曲线的直角坐标方程时,常用到ρ~2=x~2+y~2。故ρ=±(x~2+y~2)~(1/2)。怎样确定“+”、“-”号?现在举例说明如下: 1.用ρ=(x~2+y~2)~(1/2)的情况。例1.化极坐标方程e~ρ=2+cosθ为直角坐标方程。解.因为2+cosθ≥1,所以原方程中ρ≥0,因此ρ=(x~2+y~2)~(1/2)。由e~ρ=2+cosθ得ρe~ρ=2ρ+ρcosθ。从而原方程可化为 (x~2+y~2)~(1/2)e~((x~2+y~2)~(1/2))=2(x~2+y~2)~(1/2)+x。例2.把极坐标方程ρ=1+cosθ化为直角坐标方程。  相似文献   

添加辅助圆解一类解析几何题     

吴玉珍 《数学教学通讯》1999,(1):22-23

设有两相交圆C_1:x~2 y~2 D_1x E_1y F_1=0C_2:x~2 y~2 D_2x E_2y F_2=0则方程:x~2 y~2 D_1x E_1y F_1 λ(x~2 y~2 D_2x E_2y F_2)=0①当λ≠-1时,表示的图形是经过 C_1、C_2交点的圆系(不包括 C_2)当λ=-1时,①式变为  相似文献   

一类取值问题的转化     

杨春艳 《考试》2001,(Z1)

有条件限制的双变元取值问题,涉及领域宽,知识面广,需要善于转化,可以通过消元转化为函数求值域问题,但是当题目具有一定特殊形式对,也可通过另外两种常用方法转化.一、消元变函数例1 已知3x~2+2y~2=6x,求 u=x~2+y~2的取值范围.分析:为了求出 u 的范围,需将变量 x,y 用一个变量 x 表示出 u,此时要注意 x 的范围.解:由3x~2+2y~2=6x,得y~2=(1/2)(6x-3x~2)∵y~2≥0,∴x∈[0,2]u=x~2+y~2=x~2+(1/2)(6x-3x~2)=-(1/2)(x-3)~2+(9/2)结合二次函数的图象可知,u∈[0,4]  相似文献   

注意隐晦条件     

张克良 《中学教与学》1996,(7)

因忽略题中的隐晦条件而造成解题失误,是许多同学解题时易犯的一种错误。例 已知实数x,y满足等式x~2 4y~2-4x=0,求x~2-y~2的最大值和最小值。 有的同学求解如下: 解:∵ x~2 4y~2-4x=0, ∴ y~2=x-1/4x~2。 (1) ∴ x~2-y~2=x~2-(x-1/4x~2) =5/4x~2-x=5/4(x-2/5)~2-1/5 (2) 由(2)式可知,x~2-y~2没有最大值;当x=2/5时,x~2-y~2有最小值,其最小值为-1/5。  相似文献   

几个函数条件极值的图象解法     

蔡锡弟 《中等数学》1987,(6)

一、x~2+y~2的条件极值若f(x,y)=0,求x~2+y~2的极值。设x~2+y~2=c~2,则所求条件极值就是c~2的极值。而x~2+y~2=c~2是以原点为圆心,c为半径的圆族,于是x~2+y~2的条件极值就是圆族x~2+y~2=c~2中c~2的极值。由于x~2+y~2中的(x,y)必满足条件  相似文献   

用初等方法求函数最值常见错误辨析     

赵建勋 《中学数学教学》1986,(4)

“错误常常是正确的先导”。学生在平时的作业和试卷中,往往会出现各种各样的错误。研究这些误错的类型及产生原因,对于纠正错误、防止再犯是非常必要的。下面根据笔者的教学实践,简要分析求函数最值时常见的几种错误。一、忽视函数定义域函数的定义域是研究函数的基础。学生常因忽视这一点而造成求函数最值的错误。例1 已知3x~2+2y~2=6x,求x~2+y~2的最值。错解∵3x~2+2y~2=6x, ∴ y~2=3x-1/2·3x~2 ∴ x~2+y~2=x~2+3x-1/2·3X~2  相似文献   

两二次曲线四交点共圆的充要条件     

凌本信 《数学教学》1993,(5):8-9,33

六年制重点中学解析几何课本194页第23题给出了这样一个结论:设二次曲线S_1、S_2(指非退化的情形,下同)的方程分别为 A_1x~2 B_1xy C_1y~2 D_1x E_1y F_1=0 (*) A_2x~2 B_2xy C_2y~2 D_2x E_2y F_2=0 (**) 如果(A_1-C_1)B_3=(A_2-C_2)B_1≠0,那么二次曲线S_1、S_2的交点在同一个圆上。显然(A_1-C_1)B_2=(A_3-C_2)B_1≠0是二次曲线S_1、S_2交点共圆的充分但不必要条件。例如双曲线xy=2与圆x~2 y~2=5;椭圆4x~2 9y~2=36与椭圆9x~2 4y~2=36;抛物线4x~2-4x 9y-35=0与双曲线x~2-4y~2-4=0的四个交点都是共圆的,但是它们都不符合(A_1-C_1)B_2=(A_2-C_2)B_1≠0的条件。  相似文献   

两数和的完全平方及其应用     

郭明堂 《邢台学院学报》1995,(4)

早在初中代数课上,就已经知道了两数和的平方公式 (x y)~2=x~2 2xy y~2(1)、这一公式的应用是极其广泛的。在这里,我们介绍它的部分应用。 一、推证公式问题 以下乘法公式 (x-y)~2=x~2-2xy y~2 (x y)(x-y)=x~2-y~2 (x y)~3=x~3 3x~2y 3xy~2 y~3 (x-y)~3=x~3-3x~2y 3xy~2-y~3 (x-y)(x~2 xy y~2)=x~3-y~3 (x y)(x~2-xy y~2)=X~3 y~3等都可运用公式(1)来推导 例1、求证:(x y)(x-y)=x~2=y~2 证:令a=(x y)/2,b=(x-y)/2, 则两数x、y的平方差,x~2-y~2=(a b)~2-(a-b)~2运用公式(1)有x~2-y~2=4ab据假设条件,得x~2-y~2=4(x y)/2·(x-y)/2,即x~2-y~2=(x y)(x-y) 例2、求证:(x-y)~3=x~3-3x~2y 3xy~2-y~3 证:将上式右端进行配方变换即得证 x~3-3x~2y 3xy~2-y~3 =x~3-2x~2y xy~2-x~2y 2xy~2-y~3 =x(x-y)~2-y(x-y)~2 =(x-y)~3 类似地,乘法公式都可用公式(1)来推导,此外,还可推证一些多项因式的乘法  相似文献   

x~2 xy y~2的变形及其应用     

胡绍培 《中学数学月刊》1999,(2)

灵活运用代数式x~2 xy y~2及其三个变形式x~2 xy y~2=(x (y/2))~2 (3~(1/3)y)~2≥0,x~ xy y~2=x~2 y~2-2xycos120°,x~2 xy y~2=(x-y)~2 3xy≥3xy能使某些问题化生为熟、化难为易,现以高考、竞赛题为例说明如下。  相似文献   

关于椭圆弦中点问题的练习课     

钱颂鸣 《中等数学》1985,(6)

这次练习课,我编选了下面的题组:1.过椭圆 x~2/64 y~2/36=1上一定点P(-8,0),作直线交椭圆于 Q 点,求线段PQ 的中点的轨迹方程;2.求椭圆 x~2/4 y~2=1的斜率为1的弦的中点轨迹方程;3.在椭圆 x~2/16 y~2/4=1中,求经过点  相似文献   

双曲线渐近线方程统一形式的妙用     

《高中数学教与学》2016,(11)

<正>我们知道,双曲线(x~2)/(a~2)-(y~2)/(b~2)=1的渐近线方程为y=±(b/a)x.一般地,还有下面的一些结论:(1)双曲线(x~2)/(a~2)-(y~2)/(b~2)=λ(λ>0)的渐近线方程亦为y=±bax,即xa±yb=0,就是(x~2)/(a~2)-(y~2)/(b~2)=0.(2)双曲线(x~2)/(a~2)-(y~2)/(b~2)=λ(λ<0)的渐近线方程亦为(x~2)/(a~2)-(y~2)/(b~2)=0,故双曲线(x~2)/(a~2)-(y~2)/(b~2)=λ(λ≠0)的渐近线方程为  相似文献   

函数式sin~2α cos~2α的几何意义     

龙贻铭 《中等数学》1986,(1)

将公式sin~2α cos~2α=1与圆的方程x~2 y~2=1进行比较,易见若点 A(x,y)是角α终边与单位圆x~2 y~2=1的交点,则有x=cosα,y=sinα.考虑点  相似文献   

由一道与圆相关的求值问题引发的思考     

《中学数学杂志》2019,(11)

<正>在高中学习圆的知识后,经常会遇到下面的这类问题:引例已知x~2+y~2-4x+1=0,(1)求■的取值范围;(2)求y-x的取值范围;(3)求x~2+y~2的取值范围.解法1 (几何法) x~2+y~2-4x+1=0变形为(x-2)2+y~2=3记为圆C.(1)■的几何意义为圆C上任意一点P(x,y)  相似文献   

发挥定义在解题中的作用     

李宗达 《中学数学月刊》1995,(9)

一、直接由定义引出解法 对于某些考查概念理解程度的问题,必须严格按照定义的要求去做,否则将会产生错误。 例1 到定点(2,0)的距离与到定直线x=8的距离之比为2~(1/2)/2的动点的轨迹方程是 ( ) (A)x~2/16 y~2/12=1 (B)x~2/12 y~2/16=1 (C)x~2 2y~2 8x-56=0 (D)3x~2 3y~2-8x 68=0 错解:由定义知动点的轨迹是椭圆,故  相似文献   

谈一题多解     

赵大坤 《新乡师范高等专科学校学报》1994,(2)

<正>在多年的数学教学实践中,为了激发学生的积极性,引导学生探讨一些习题的不同解法,这对培养学生的能力,开发学生的智力都起着十分重要的作用.例如 对弧长的曲线积分:(?)l (x~2+y~2)~(1/2)ds其中l为园周x~2+y~2=ax解法如下:法一 令 x=rcosθ y=rsinθ则园周x~2+y~2=ax可变为r=acosθ且-(π/2)≤θ≤(π/2),如图一∵ds=(r~2+r~(12)~(1/2)dθ=adθ 且(x~2+y~2)~(1/2)=r=acosθ∴(?)l(x~2+y~2)~(1/2)ds法二取θ为参数,如图二∵OA=acosθ　-π/2≤θ≤π/2  相似文献   

错在哪里     

《中学数学教学》1998,(2)

1.江苏省姜堰市第二中学 石志群(225500)题 已知两椭圆方程分别为:x~2 9y~广-45=0,x~2 9y~-6x-27=0,求过两椭圆的交点且与直线x-2y 11=0相切的圆的方程.(1984年高考题)解 设过两已知椭圆交点的圆的方程为:x~2 9y~2-6x-27 λ(x~2 9y~2 -45)=0.即 (1 λ)x~2 (9 9λ)y~2-6x-27-45λ=0,由x一2y 11=0得 x=2y-11,代入上式得(13 13λ)y~ 2-(56 44λ)y 160 76λ=0.当圆与直线相切时,有△=0,即(56 44λ)~2-4(13 13λ)(16O 76λ)=0.  相似文献