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1.
性质1 线段AB上一点P,当点P为线段AB的中点时,AP·PB最大.
证明1 如图1,取AB的中点M,有 AP·PB=(AM+MP)(BM-MP)=(AM+MP)(AM-MP)=AM2-MP2.
要使AP·PB最大,只要MP2=0就行了,从而MP=0,即P点与M点重合时MP=0.
所以当点P为线段AB的中点时,AP·PB最大.
证明2 设AB=l,AP=x,则PB=l-x,所以AP·PB=x(l-x)=-x2+lx. 相似文献
2.
【例1】已知(如图1),PB⊥AB,PC⊥AC,且PB=PC,D是A上的一点,求证:∠BDP=∠CDP.【错解】∵PB⊥AB,PC⊥AC,且PB=PC,∴∠PAB=∠PAC即AP是∠BAC的平分线.∵D是AP上的一点,∴DB=DC(角平分线上的点到角两边距离相等).在△PDB和△PDC中PB=PC,DB=DC,PD=PD∴△PDB≌△PDC(SSS).∴∠BDP=∠ 相似文献
3.
本文介绍证明线段相等的新方法——比例式法.用比例式法证明线段相等有以下几种类型:一、要证线段a=b,可先证a/b=b/a例1 已知:从△ABC的AB边上一点P作PQ//BC,交AC于Q;从Q作QR//AB,交BC于R;从R作CA的平行线,恰好过P点.求证:P是AB的中点.分析 如图1,要证AP=PB,可从关于AP、PB的比例式着手.由PQ//BC,PR//AC知道AP:PB=AQ:QC,PB:PA=BR:RC.而QR//AB,则AQ:QC=BR:RC,故得AP:PB=PB:AP.∴AP=PB.即P是AB的中点. 相似文献
4.
《立体几何》二面角部分常遇到这样的问题:从二面角α—MN—β内一点P,分别作PA垂直于平面α,PB垂直于平面β(A,B为垂足).已知 (1)PA=2cm,PB=3cm,∠APB=60°; (2)PA=2cm,PB=1cm,∠APB=60°; 相似文献
5.
作辅助圆往往有助于解决问题.例1如图1,PA=PB,∠APB=2∠ACB,AC与PB交于D,且PB=4,PD=3,则AD·DC=__.分析由题目中的乘积式,自然想到相交弦定理.由∠APB=2∠ACB,则想到一条弧所对的周心角等于它所对的圆周角的2倍,因此想到作辅助圆. 相似文献
6.
李太新 《数理天地(高中版)》2004,(6)
1.以共点向量为基底例1 在△ABC内求一点P,使PA2 PB2 PC2的值最小. 解如图1, 设CA=a,CB=b,CP=x,以a,b,x为一组基底,有PA=a-x,PB=b-x,故|PA|2 |PB|2 |PC|2 相似文献
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8.
命题 若P是△ABC内的一点 ,记△BPC、△APC、△APB的面积为SA 、SB 、SC ,则SA ·PA SB ·PB SC ·PC =0 .证明 延长AP与BC边相交于D点 ,则｜BD｜｜DC｜ =S△ABDS△ACD=S△BPDS△PCD=-S△BPD-S△PCD等比定理 SCSB.记｜BD｜｜DC｜=λ ,有BD=λDC ,所以PD- PB=λ( PC- PD) ,所以 - ( 1 λ) ·PD PB λPC=0 .又因为PD =- ｜PD｜｜PA｜ · PA =-SASB SC·PA ,所以 SASB SC( 1 SCSB) ·PA PB SCSB ·PC=0 ,所以SA·PA SB·PB SC·PC =0 .推论 1 当P为△ABC的内心时 ,有sin… 相似文献
9.
侯明辉 《数理天地(初中版)》2008,(10):16-16
如图1,在正方形ABCD中,点P在对角线AC上,连接PB、PD,则∠DAP=∠BAP=45°.又AD=AB,PA=PA,所以△PAD≌△PAB.于是有:性质1 PB=PD. 相似文献
10.
题目:三棱锥P—ABC中,侧面PAC与底面ABC垂直,PA=PB=PC=3.(Ⅰ)求证AB⊥BC(Ⅱ)设AB=BC=23,求AC与平面PBC所成角的大小.浅析(Ⅰ)图1思路一:由PA=PB=PC,联想到圆锥的所有母线长相等,于是作圆锥PO,使PA、PB、PC都是该圆锥母线,如图1,由面PAC⊥面ABC及PO⊥面ABC,知PO面PAC,因此AC是圆锥底面圆的直径,可得AB⊥BC.思路二:如图2,延长CP到D,使PD=PC,连结DA、DB,由PA=PB=PC=PD可知DA⊥AC,DB⊥BC,又面DAC⊥面ABC,于是有DA⊥面ABC,由三垂线定理的逆定理可知AB⊥BC.思路三:由PA=PB=PC,联想到球的所有半径长… 相似文献
11.
刘东平 《中学数学研究(江西师大)》2014,(8):46-47
1.张角公式如图1,设直线ACB外一点P对于线段AC、CB的张角分别为αβ,则sin（α＋β）/PC=sinα/PB＋sinβ/PA证明：因为S△PAB=S△PAC＋ S4PCB,所以1/2PA.PB·sin（α＋β）=1/2PA·PC·sinα＋1/2PC·PB·sinβ,两边同除以1/2PA·PB·PC,即得所证等式. 相似文献
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13.
三角形两个性质的三维推广 总被引：1，自引：1，他引：1
本文将三角形的两个平凡而有趣的性质推广到四面体中.先介绍三角形的两个性质:题1 设 M 是△PAB 的 AB 边上的点,任作一直线分别交 PA、PB、PM 于 A′、B′、M′点,则(PA)/(PA′) (PB)/(PB′)=2·(PM)/(PM′)的充要条件是 AM=MB.题2 设 M 是ΔPAB 的 AB 边上的点,过P点任作一圆分别交 PA、PB、PM 于 A′、B′、M′,则 PA′·PA PB′·PB=2PM′·PM 的充要条件是 AM=MB.题1的证明较易,证明从略.下面证明题2: 相似文献
14.
韩秀鸾 《数理天地(初中版)》2006,(2)
旋转法,是将图形旋转一个角度后使得分散的互不联系的条件有了联系,便于探索出解题的途径．例1 如图1,点P是等边△ABC内一点,且PA=3,PB= 5,PC=4,求∠APC的度数．分析将△APC绕点A按顺时针方向旋转60°至△ADB处,连接DP,得等边△ADP．所以DP=3,∠ADP=60°, 又因为DB=PC=4,PB=5, 而 32 42=52, 即△BDP中,有BD2 DP2=PB2．图1 相似文献
15.
侯明辉 《数理天地(初中版)》2003,(10)
题如图1,PA、PC、PB是⊙O的三条弦,PA=a,PB=b,∠APC=30°,∠BPC=60°,求PC的长. 1.化整为零,分段计算解法1 如图1,连结AB、AC,过A作AE 相似文献
16.
陆月平 《中学数学研究(江西师大)》2009,(7):45-47
一、张角公式
如图1,由点P发出的三射线PA、PB、PC,且∠APC=α,∠CPB=β,∠APB=α＋β〈180°,那么 A、B、C三点在一直线上的充要条件是sin（α＋β）/PC=sinα/PB＋sinβ/PA. 相似文献
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本文在这里向读者介绍一个与面积有关的几何命题.定理由点 P 发出的三射线 PA、PB、PC,设L、M、N 分别在射线 PA、PB、PC 上,使得 PL/PA=λ_1,PM/PB=λ_2,PN/PC=λ_3(图1).则 L、M、N 三点共线的充要条件为S_(△PBC) S_(△PAB) 相似文献
18.
形如b/a=c~2/b~2(a、b、c、d表示线段)的比例的证明,同学们常感到棘手,本文举例说明说它的一种证明方法—凑比法。其思路是将b/a凑成b/x·x/a,若待定线段x使得b/x=c/d且x/a=c/d,则b/a=b/x·x/a=c~2/d~2。例1 如图1,自⊙O外一点P作⊙O的切线PA,过P作割线PCB,求证:PB/PC=(AB)~2/(AC)~2 分析:设PB/PC=PB/x·x/PC(x为待定线段),先证明PB/x=AB/Ac,由此确定出x,再证明 相似文献
19.
一些书刊上有这样的一道题与其解法: 过二面角a—l—β内一点P分别作PA⊥平面a、PB⊥平面β,点A、B为垂足,已知∠APB=60°,PA=a,PB=b,求点P到二面角的棱l的距离。 [解]:如图.过PA、PB作平面γ,设它与二面角的棱l交于Q,连结AQ、BQ和PQ。 相似文献
20.
题目:一个圆台的上、下底面半径分别为 R、r,母线长为 l.求过下底面圆周上一点绕侧面一周的最短距离.图2是圆台 O_1O 的轴截面 ABCD 和圆台侧面展开图.由 r/R=(PB)/(PA)得 r/R=(PB)/(PB l),∴PB= 相似文献