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一个不等式的下界估计 总被引：1，自引：1，他引：1
《数学通报》2 0 0 0年 5月号问题 1 2 52为 :设 a,b,c是周长为 1的三角形的三条边长 ,求证 :a2 b b2 c c2 a<18. ( 1 )这里 ,我们给出不等式 ( 1 )的下界估计 .定理 若 a,b,c是周长为 1的三角形的三条边长 ,则a2 b b2 c c2 a>2 32 1 6 . ( 2 )证明 不妨设 a≤ b,a≤ c,则 1 - 2 a≥ 1- 2 b>0 ,1 - 2 a≥ 1 - 2 c>0 .于是 ,( 1 - 2 a) 2 ( 1 - 2 b) ( 1 - 2 b) 2 ( 1 - 2 c) ( 1 - 2 c) 2 ( 1 - 2 a)≤ ( 1 - 2 a) [( 1 - 2 a) ( 1 -2 b) ( 1 - 2 b) ( 1 - 2 c) ( 1 - 2 c) 2 ]≤ ( 1 - 2 a) [( 1 - 2 b) ( 1 - 2 a 1 - 2 c) … 相似文献
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《数学通报》2004年第3期《对一道不等式习题的再思考》一文中有如下猜想:若an bn=2,a,b∈R,n≥2,n∈N,则a b≤2,ab≤1.证明(1)若a,b中有一个为0时上述猜想显然成立.(2)当a>0且b>0时,由an bn2≥a b2n知a b2n≤1,所有a b≤2.且有ab=anbnn2≤an bn2n2=1.(3)当a<0且b<0时,此时显然有a b≤2.又由an bn=2知n必为偶数,则ab=｜a｜｜b｜=｜a｜n｜b｜nn2≤｜a｜n ｜b｜n2n2=an bn2n2=1.(4)当ab<0时,不妨设a>0,b<0,此时显然ab≤1成立.下证a b≤2,假设a b>2,当n为偶数时,由a b>2知a>2,则an>2n,又bn>0,则an bn>2n>2,这与an bn=2矛盾;当n为奇数时,由a b>… 相似文献
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李益强 《中学数学研究(江西师大)》2003,(1):20-20
题1:设a>1,b>1,求证:a2/b-1+b2/a-1≥8.(第26届独联体数学奥林匹克竞赛题) 题2:已知实数a>1,b>1,c>1.求证:a3/b2-1+b3/c2-1+c3/a2-1≥9(√3)/2.当且仅当a=b=c时,等号成立(<数学通报>2000年第11期数学问题解答1284). 相似文献
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不等式a b≥2(ab)~(1/2)是中学数学中一个用得很广的基本不等式,但在应用中常见一些错误,现举几例. 一、忽视了a b≥2(ab)~(1/2)成立条件而导致的错误例1 设a、b、c为正数,求证(a b c)~3≥27(a b-c)(b c-a)(c a-b) 错误证法: ∵a b c=(a b-c) (b c-a) (c a-b)>0 ∴(a b-c) (b c-a) (c a-b)≥3((a b-c)(b c-a)(c a-b))~(1/2) 即(a b c)~3≥27(a b-c)(b c-a)(c a-b) 分析:虽a>0,b>0,c>0,但a b-c,b c-a,c a-b不一定都大于0,而x y z≥3(xyz)~(1/2)的中x、y、z必须都大于0. 相似文献
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解形如 |x—a| |x—b|=2c(2c>b—a>0)或 |x—a|—|x—b|=土2c(b—a>2c>0)的方程,一般用分段讨论法、函数图象法或用其它方法求解。下面介绍一种简便的解法——中心对称法。 相似文献
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任何一个一元三次函数f(x)=a_3x~3 a_2x~2 a_1x a_0经过平移交换后一定可以转化为f(x)=ax~3 bx c的形式.本文先用初等数学的方法给出这种类型函数的单调区间,然后举竞赛题作为例子说明其应用. 定理函数 y=ax~3 bx c(a≠0)的单调性如下: 1.若a>0,b>0,则在(-∞, ∞)上单调递增. 2.若a<0,b<0,则在(-∞, ∞) 相似文献
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一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,恰有一项是符合题目要求的.1.等比数列前3项依次为a、b、c,且b=-4,则实数a、c的值满足()A.a>0,c<0B.a<0,c>0C.a<0,c<0D.a.c>02.已知f(4x)=lgx,则f(2)=()A.lg2B.4lg2C.-4lg2D.-lg23.已知点M(a,-2)、N(-1,b)在直线2x-y-4=0的两侧,则实数a、b满足的条件是()A.ab>-6B.ab<-6C.(a-1)(b 6)>0D.(a-1)(b 6)<04.已知点P是双曲线x92-y52=1右支上的一动点,F1、F2分别是双曲线的左、右焦点,在直线F2P上有一点Q,使|PQ|=|PF1|,则点Q的轨迹为()A.圆B.椭圆C.双曲线的一部分… 相似文献
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抛物线y=ax~2 bx c(a≠0)的图象是由系数a、b、c决定的,系数的符号与抛物线形状有如下关系:1.二次项系数a决定抛物线的开口方向.a>0,开口向上;a<0,开口向下。2.抛物线的对称轴是x=-b/(2a)·b=0,抛物线的对称轴是y轴.ab>0(a、b同号),抛物线的对称轴在y轴的左侧;ab<0(a、b异号)抛物线的对称轴在y轴的右侧。3.c是抛物线与y轴交点的纵坐标.c=0,抛物线经过原点;c>0,抛物线与y轴交于正半轴;c<0,抛物线与y轴交于负半轴。4.b~2-4ac确定图象与x轴是否相交,b~2-4ac>0, 相似文献
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两个不等式的统一证明及推广 总被引：1，自引：0，他引：1
在许多数学杂志和复习资料中都可见到这样两个不等式问题: 问题1 已知 a>0, b>0,且 a b=1,求证: (2a 1)~(1/2) (2b 1)~(1/2)≤2 2~(1/2) 问题2 已知a>O,b>O,c>0,且a b c=1,求证: (3a 1)~(1/2) (3b 1)~(1/2) (3c 1)~(1/2)≤3 2~(1/2) 证明 这两个不等式的证法不止一种,但用均值换元法较简单,现证明如下: 相似文献
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一、自主探究——让学生体验“再创造”实践证明,学习者不实行“再创造”,对学习的内容就难以真正理解,更谈不上灵活运用。如学习复平面这个概念时,提出问题:如果P是复平面内表示复数a bi(a、b∈R)的点,分别指出在下列条件下点P的位置:(1)a>0,b>0;(2)a<0,b>0;(3)a=0,b≤0;(4)b> 相似文献
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在初中数学中,常常出现求“最值”的问题.这里介绍几种求“最值”的特殊方法.一、构造方程例1已知:a、b、c均为实数,且满足a b c=2,abc=4.(1)求a、b、c中最大者的最小值;(2)求|a| |b| |c|的最小值.解∵a b c=2>0,abc=4>0.∴a、b、c中应为两负一正.设a>0,b<0,c<0.(1)由a b c=2,a 相似文献
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二次函数y=ax2 bx c的图象与其系数a、b、c之间的关系可归纳总结如下.1.a决定抛物线的开口方向:当a>0时,抛物线开口向上;当a<0时,抛物线开口向下.2.a决定抛物线的开口大小:a越大,抛物线开口越小;a越小,抛物线开口越大.3.a、b的符号决定抛物线的对称轴:a、b同号,抛物线的对称轴在y轴的左侧;a、b异号,抛物线的对称轴在y轴的右侧.4.c的符号决定抛物线与y轴的交点:当x=0时,y=c,即抛物线与y轴的交点是(0,c),当c>0时,抛物线与y轴的正半轴相交;当c=0时,抛物线经过坐标原点;当c<0时,抛物线与y轴的负半轴相交.5.Δ=b2-4ac决定抛物线y=ax2 bx c与x轴交… 相似文献
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王可民 《数理天地(初中版)》2005,(1)
1.已知n是奇数,m是偶数,方程{翌兰;=二有整数釉删“, (A)zo,Yo均为偶数. (B)z0,Yo均为奇数. (C)zo是偶数,Y0是奇数. (D)z0是奇数,Yo是偶数。2.4kab:~删等式拇=。幅成立的条件是( ) (A)口>0,b>0. (B)a<0,b>0. (C)a>0,b<0. (D)口<0,b<0。 3.设a,b,C,d都是非零实数,则四个数:一曲,0/7,甜,cd( ) (A)都是正数. (B)都是负数. (C)是两正两负. (D)是一正三负或一负三正. 图1 4.如图1,矩形ABCD中,AB—n,BC—b,M是BC的中点,DE j-AM,E为垂足,则DE等于( )(A)志.(B)志·(c’丽2ab.(。)盎·5.某商店出售某种商品每件可获利优元,利润率为20%… 相似文献
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2004年全国初中数学联赛第14题及解答如下:已知a<0,b≤0,c>0且b2-4ac=b-2ac,求b2-4ac的最小值.解 令y=ax2 bx c,由a<0,b≤0,c>0,判别式Δ=b2-4ac>0,所以这个二次函数的图象是一条开口向下的抛物线,且与x轴有两个不同的交点A(x1,0)、B(x2,0).因为x1x2=ca<0,不妨设x1相似文献