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王户世 《数理天地(高中版)》2008,(5)
题目若3x~2-xy+3y~2=20,则8x~2+ 23y~2最大值是___.(第13届(02年)"希望杯"高二培训)分析1如果题中有类似x~2+y~2=r~2形式,可令{x=rcosα,进行三角换元.记t=8x~2 y=rsinα+23y~2,则可用三角换元.解法1记t=8x~2+23y~2,可设 相似文献
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用定义解题,往往被人忽视。其实,在处理某些问题时,直接利用定义有时会更加干脆利落,并且能加深对概念的认识,起到固本拓新,以少胜多的效果。现举例如下: 一、利用任意角的三角函数的定义 [例1] 求证:secθ=((sec~4θ-tg~4θ)/(2sin~2θ cos~2θ))~(1/2)(0<θ<π/2) 证明:设θ角终边上一点P(x,y),OP=r由任意角三角函数定义得右边=((r~4-y~4)/x~4·r~2/(2y~2 x~2))/~(1/2)=((r~2 y~2)/x~2·r~2(y~2 r~2))~(1/2)=(r~2/x~2)~(1/2)=r/|x| ∵ 0<θ<π/2 ∴ r/|x|=r/x=secθ。一般地,凡只涉及同一个角的三角函数问题,大 相似文献
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在现行教材《平面解析几何》中,有这样一个结论:过圆x~2 y~2=r~2上一点(a,b)的切线是ax by=r~2.显然,当r=1时,圆是单位圆,其切线方程是:ax by=1.根据这一结论,我们不仅可以直接写出圆X~2 y~2=1上任意已知点的切线方程,而且还可以结合切点性质,作为一种转化模式,较为简便地解决一些代数和三角问题.1 证明代数恒等式例 已知a2~(1-b~2)/2 b2~(1-a~2)/2=1,求证a-b~2=1.这题可以用平方化简和三角代换等多种方法证明,但用上面的结论构思也不失为一种好方法.证明 单位圆方程为x~2 y~2=1.过圆上点(a, 相似文献
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杨志芳 《中学数学研究(江西师大)》2006,(4):47-49
三角是中学数学的重要内容,运用三角知识来分析解决数学问题,在各类考试中倍受青睐.特别是一些竞赛题中,如能从问题的结构特征出发,联想到运用三角公式、三角函数的一些知识,往往能使复杂问题简单化,收到意想不到的解题效果.本文就三角代换巧解竞赛题作一简单的阐述.应用之一:求最值例1 已知 x,y∈R且4x~2-5xy 4y~2=5,设 S=x~2 y~2,求1/S_(max)) 1/S_(min)的值(1994年全国联赛题). 相似文献
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题目:设 x y z=xyz,(x,y,z∈R~ ),求证:2(x~2 y~2 z~2)=3(xy yz zx) 9≥0(《数学通报》1991年第12期“数学问题解答”749题.文用三角函数知识来证明,其过程较繁琐,且涉及了一些三角恒等式和三角不等式,一般人不易看懂.本文用换元及应用第25届 IMO 试题便可证出. 相似文献
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《平面解析几何》(必修)第62页例3有这样一个问题:“已知圆的方程 x~2 y~2=r~2,求经过圆上一点 M(x_0,y_0)的切线方程.”易知所求切线方程为x_0x y_0y=r~2, 相似文献
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曾峰 《中学数学教学参考》1995,(5)
高中《解析几何》课本(必修)第62页给出过“已知圆x~2 y~2=r~2上一点M(x_0,y_0)的切线方程是x_0x y_0y=r~2”。有趣的是在某些条件下,这种形式的方程不表示圆的切线。 设M(x_0,y_0)是圆x~2 y~2=r~2外的一点。从M引圆的两条切线MA、MB,其中A(x_1,y_1)、B(x_2,y_2)为切点。那么,MA的方程是x_1x y_1y=r~2。 相似文献
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赵大坤 《新乡师范高等专科学校学报》1994,(2)
<正>在多年的数学教学实践中,为了激发学生的积极性,引导学生探讨一些习题的不同解法,这对培养学生的能力,开发学生的智力都起着十分重要的作用.例如 对弧长的曲线积分:(?)l (x~2+y~2)~(1/2)ds其中l为园周x~2+y~2=ax解法如下:法一 令 x=rcosθ y=rsinθ则园周x~2+y~2=ax可变为r=acosθ且-(π/2)≤θ≤(π/2),如图一∵ds=(r~2+r~(12)~(1/2)dθ=adθ 且(x~2+y~2)~(1/2)=r=acosθ∴(?)l(x~2+y~2)~(1/2)ds法二取θ为参数,如图二∵OA=acosθ -π/2≤θ≤π/2 相似文献
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擂题(16)(江苏盐城中学 梁开华猜想:不定方程n~2 r~2=pr~_2 2%#22n~2-r~2=y~2>1及n~2 r~2=x~2 2%#22n~2-r~2=py~2 2%#22y>1.没有正整数解.其中p为质数.若命题正确,请证明之;若命题不正确.请给出反例或揭示规律. 相似文献
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所谓“主元法”,就是在处理含有多个变量的数学问题时,把某个“元”看得特别重些,给以特殊的地位,不妨称这个“元”叫“主元”。在解题时,运用“主元法”’可以将一个非基本问题,化归为一个简单的、易于解决的普通问题。请看下面的例子: 1.在因式分解中的应用 例1 分解因式 x~2y~2-5x~2y-3xy~2 15xy-14x~2 5y~2 42x-25y-70. 相似文献
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“美是心灵的体操”,它能以形悦心,以美引真,以情动人,以美育人,本文试图以现行课本《平面解析几何》(必修本)P62中的例题: 已知圆的方程是x~2 y~2=r~2,求经过圆上一点M(x~0,y~0)的切线方程,为例,探讨如何挖掘知识的美育价值问题。 相似文献
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有条件限制的双变元取值问题,涉及领域宽,知识面广,需要善于转化,可以通过消元转化为函数求值域问题,但是当题目具有一定特殊形式对,也可通过另外两种常用方法转化.一、消元变函数例1 已知3x~2+2y~2=6x,求 u=x~2+y~2的取值范围.分析:为了求出 u 的范围,需将变量 x,y 用一个变量 x 表示出 u,此时要注意 x 的范围.解:由3x~2+2y~2=6x,得y~2=(1/2)(6x-3x~2)∵y~2≥0,∴x∈[0,2]u=x~2+y~2=x~2+(1/2)(6x-3x~2)=-(1/2)(x-3)~2+(9/2)结合二次函数的图象可知,u∈[0,4] 相似文献
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也谈两条二次曲线公共点的个数 总被引：1，自引：1，他引：0
《中学数学月刊》1997年第7期“两条二次曲线公共点的个数与方程的判别式”一文,用到了所谓“双判别式法”,其实,利用一元二次方程根的分布知识容易解决此类问题,下面就举该文中的两个例子。 例1 若抛物线E:y=x~2 m与椭圆c:x~2/2 y~2=1有四个不同的交点,试确定m的取值范围, 解 由x~2/2 y~2=1,y=x~2 m.得 相似文献
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在解题过程中,有时往往需要把某一个“元”看作为主,并给以特殊的地位,不妨称这个元为“主元”。主元法是一种重要的数学思想方法,某些问题,若能有效地转化,恰当运用“主元法”,将化难为易,现举数例。例1 对x∈R,证明不等式 x~6-x~3 x~3-x 1>0。证明:考虑到设y=x~3,则以y为“主元”的二次三项式M=y~2-y x~2-x 1,显然y∈R.又a=1>0,Δ=(-1)~2-4(x~2-x 1)=-(2x-1)~2-2<0,∴M>0,即x~6-x~3 x~2-x 1>0。例2 试确定万程3x~2 6xy 5y~2 6x 相似文献
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本文拟以三类最值问题为例,谈谈怎样运用解析几何知识,巧求它们的最值。先复习几组直线与二次曲线相切的关系式:1.直线y=kx m(m≠0)与圆(x-x_o)~2 (y-y_o)~2=r~2相切的充要条件是k~2r~2 r~2=(kx_o-y_o m)~2——公式1.1. 推论:直线y=kx m与圆x~2 y~2=r~2相切的充要条件是k~2r~2 r~2=m~2—— 相似文献
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例1.分解因式:x~2-4y~2。 解 x~2-4y~2=(x 2y)(x-2y) =x~2-4y~2。 剖析 本已分解,却又用整式乘法“还原”,这是初学者常犯的错误,问题在于不懂得因式分解的意义。 相似文献
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在曲线的极坐标方程化到曲线的直角坐标方程时,常用到ρ~2=x~2+y~2。故ρ=±(x~2+y~2)~(1/2)。怎样确定“+”、“-”号?现在举例说明如下: 1.用ρ=(x~2+y~2)~(1/2)的情况。例1.化极坐标方程e~ρ=2+cosθ为直角坐标方程。解.因为2+cosθ≥1,所以原方程中ρ≥0,因此ρ=(x~2+y~2)~(1/2)。由e~ρ=2+cosθ得ρe~ρ=2ρ+ρcosθ。从而原方程可化为 (x~2+y~2)~(1/2)e~((x~2+y~2)~(1/2))=2(x~2+y~2)~(1/2)+x。例2.把极坐标方程ρ=1+cosθ化为直角坐标方程。 相似文献