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1.
田小萍 《中学数学研究(江西师大)》2015,(2):18-20
文[1]在文末给出了几个猜想不等式,其中有如下:猜想若a,b,c是满足a+b+c=1的正数,则(2-a)/(2+a)+(2-b)/(2+b)+(2-c)/(2+c)≥(15)/7.文[2]给出了上面猜想的证明,笔者阅读后对此不等式进行了探究,现叙述如下:1猜想的另证另证1:由柯西不等式,得((2-a)/(2+a)+(2-b)/(2+b)+(2-c)/(2+c))[(2-a)(2+a)+(2-b)(2+b)+(2-c)(2+c)]≥[(2-a)+(2-b)+(2-c)]~2,即 相似文献
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“数学教学通讯”85年第5期张山同志的文“一个公式的巧用”读后很受启发,公式(a b c)(a~2 b~2 c~2-ab-bc-ca)=a~3 b~3 c~3-3abc在解题中巧用之处不少。今就这个公式在三角恒等式的证明中巧用的一角补充几个例题,使该文更有说服力。例1.已知sinα sinβ sinγ=0, cosα cosβ cosγ=0 求证:(1)sin~3α sin~3β sin~3γ=3sinαsinβsinγ (2)cos~3α cos~3β cos~3γ=3cosαcosβcosγ证明:当a b c=0时,a~3 b~3 c~3=3abc令α=siaα,b=sinβ,c=sinγ,则sin~3α sin~3β sin~3γ=3sinαsinβsinγ。令a=cosα,b=cosβ,c=cosγ,则cos~3α cos~3β cos~3γ=3cosαcosβcosγ。利用例1的结论又得一题: 例2.已知:sinα sinβ sinγ=0, cosα cosβ cosγ=0 求证:(1)sin3α sin3β sin3γ 相似文献
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罗建中 《中学数学教学参考》2003,(6):62-62
贵刊 2 0 0 3年第 4期《轮换对称不等式的证明技巧》一文中例 8和例 1 0的证明犯了一个常识性错误 .为方便叙述 ,把原文摘录如下 :例 8 已知a ,b,c∈R+ ,求证 :ab+c+ba +c+ca +b≥ 32 .分析 :将常数 32 均匀分解到左式各项中 ,待证不等式等价于ab+c-12 +ba +c-12 +ca +b-12 ≥ 0 ,( )由a ,b ,c的对称性 ,不妨设a≥b≥c>0 ,则( )左边 =2a -b -c2 (b+c) +2b -a -c2 (a +c) +2c -a -b2 (a +b)≥2a -b -c+2b -a -c+2c-a -b2 (a +b) =0 .很明显 ,原作者在这里使用了放缩技巧 ,但当 2b-a -c<0时 ,放缩方向刚好相反 ,因而证明是错误的 .同样在… 相似文献
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新教材第六章中不等式的证明是一个难点,如果教学中能积极地引导学生观察所给不等式的结构形式,依据题目的条件或结论的模式,联想所学过的知识,或已解决过的问题,制定解题方案,则可使命题迅速巧妙地得以解决.1.根据命题的条件所提供的模式展开联想.【例1】已知a,b∈R,|a|≤1,|b|≤1,求证:ab (1-a2)(1-b2)≤1.分析:由|a|≤1,|b|≤1容易联想到正弦函数或余弦函数的有界性.证:∵|a|≤1,|b|≤1∴可设a=cosα,b=cosβ,α,β∈[0,π]则ab (1-a2)(1-b2)=cosα·cosβ sinα·sinβ=cos(α-β)∴ab (1-a2)(1-b2)≤1.分析2由命题的结论a·b 1-a2·1-… 相似文献
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不等式的证明是高中数学的一个难点,如果能仔细观察所给不等式的结构形式,依据题目的条件或结论的模式,联想所学过的知识,或已解决过的问题,制定解题方案,则可使命题迅速巧妙地得到解决.一、根据命题条件所提供的模式展开联想例1已知a,b∈R,|a|≤1,|b|≤1,求证ab (1-a2)(1-b2)≤1.分析:由|a|≤1,|b|≤1容易联想到正弦函数或余弦函数的有界性.证明:因为|a|≤1,|b|≤1,所以可设a=cosα,b=cosβ,α,β∈[0,π],则ab (1-a2)(1-b2)=cosαcosβ sinαsinβ=cos(α-β).又cos(α-β)≤1,22例2已知实数a、b、c满足a b c=0,abc=1,求证:a、b、c中必有… 相似文献
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命题 设△ABC的三边长、外接圆半径、内切圆半径分别为a、b、c、R、r.则有b2 c22bc ≤ R2r.①证明 : 记△ABC的面积为S .由abc =4RS及S =12 r(a b c)知式①等价于b2 c22bc ≤abc(a b c)1 6S2 .②由海伦公式知1 6S2 =(a b c) (b c -a)·(c a -b) (a b -c) .③则式②等价于1 6S2 (b2 c2 ) ≤2ab2 c2 (a b c) (a b c) (b c-a) (c a -b)·(a b-c) (b2 c2 ) ≤2ab2 c2 (a b c) 2ab2 c2 - (b c -a) (c a -b)·(a b -c) (b2 c2 ) ≥0 b2 [ac2 - (b c-a) (c a -b)·(a b -c) ] c2 [ab2 - (b c-a)·(c a -b) (a … 相似文献
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第 6届 IMO第 2题是设 a,b,c是△ ABC的三边长 ,求证a2 (b + c -a) + b2 (c + a -b) + c2 (a +b -c)≤ 3 abc (1)受启发 ,本文得到 (2 )式的如下对偶形式定理 1 设 a,b,c,r是△ ABC的三边长及内切圆半径 ,则有a2 (b + c -a) + b2 (c + a -b) + c2 (a +b -c)≥ 12 r(a + b + c) (2 )证明 :记 p =12 (a + b + c) ,R为△ ABC的外接圆半径 ,S为△ ABC的面积 ,由海伦公式 S = p (p -a) (p -b) (p -c) =rpabc =4RS =4Rrp得左边 =2 a2 (p -a) + 2 b2 (p -b) +2 c2 (p -c)≥2× 3 3 a2 b2 c2 (p -a) (p -b) (p -c) =63 16R2 r2 p2 .r2 p =… 相似文献
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高中代数新教材上册212页例10,(旧上册 P_(170)例3).设tgα、tgβ是一元二次方程 ax~2 bx c=0(b≠0)的两个根,求 ctg(α β)的值.教材解法:在一元二次方程ax~2 bx c=0中a≠0,由一元二次方程根与系数关系,得,tgα tgβ=-b/a,tgαtgβ=c/a而ctg(α β)=1/tg(α β)=1-tgαtgβ[]tgα tgβ由题设b≠0,故tgα tgβ≠0,代入,得,ctg(α β)=1-c/a/-b/a=a-c/-b=c-a/b.这种解法很普遍,教材这样解,平时教师学生都这样 相似文献
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问题 1 《数学教学》2 0 0 3年第 2期“数学问题与解答”栏目中的第 5 80题为设a、b、c为△ABC的三边 ,求证 :a2a +b -c+b2b +c -a+c2c+a -b≥ 32 .①笔者试图探索这个新颖不等式的上界 ,得出问题 1 .1 设a ,b,c为△ABC的三边 ,求证 :a2a +b -c+b2b +c -a+c2c+a -b<73 .②综合不等式①、②得问题 1 .2 设a ,b,c为△ABC的三边 ,求证 :32 ≤ a2a +b -c+b2b +c -a+c2c+a -b<73 .③为了证明不等式③ ,笔者首先想到了它的类似 :问题 1 .3 设x ,y ,z为任意正实数 ,求证 :xy +z+yz +x+zx +y≥ 32 .④于是 ,联想到 :能否将不等式③转化为三… 相似文献