椭圆、双曲线的共轭直径及应用     

程惠才 《中学数学教学参考》1994,(7)

定义:连结椭圆上任意两点的线段叫弦.过椭圆中心的弦叫直径.类似地可定义双曲线的直径.如图1,平行于直径CD的弦的中点的轨迹AB和直径CD叫互为共轭直径.类似地可定义双曲线的共轭直径. 定理1 已知AB、CD为椭圆x~2/a~2 y~2/b~2=1的一对共轭直径,其斜率分别为k_(AB)、K_(CD),那么K_(AB)·K_(CD)=-b~2/a~2. 略证:如图1,设平行弦EF簇的斜率为k(即K_(CD)),则平行弦EF簇的方程为 y=kx t(t为参数).① 又椭圆方程为 x~2/a~2 y~2/b~2=1. ② ①代入②整理得 (a~2k~2 b~2)x~2 2a~2tkx a~2(t~2-b~2)=0. ③ 由韦达定理,得x_1 x_2=-(2a~2tk/a~2k~2 b~2). 设M(x′,y′)是EF的中点,则 x′=1/2(x_1 x_2)=-(a~2tk/a~2k~2 b~2) ④ 点M在EF上,则y′=kx′ t. ⑤ 由④、⑤消去参数t得 y′=-b~2/a~2k x′. ∵k_(AB)=k_(OM)=-(b~2/a~2k). ∴k_(AB)·k_(CD)=-(b~2/a~2k)·k=-(b~2/a~2). 推论1 AB是椭圆x~2/a~2 y~2/b~2=1的任意一条弦,P为AB的中点,O为椭圆的中心,则 K_(AB)·K_(OP)=-(b~2/a~2).  相似文献   

双曲线中点弦的一个性质     

《安顺学院学报》1998,(4)

双曲线中点弦有如下一个性质: 如图1,直线l与双曲线x~2/a~2-y~2/b~2=1相交于A、B两点,P是AB中点,如果l的斜率为k_1(k_1为常数,且不为零),直线OP的斜率为k_(OP)(k_(OP)为常数)则k_1·k_(OP)=b~2/a~2  相似文献   

利用曲线系思想解一类轨迹问题     

肖丽鲜 《福建中学数学》2006,(11)

1命题命题1若A B是椭圆22C1:ax2+by2=1的一条弦,且弦AB的中点为M(xM,y M),则椭圆22222C:(2x M x)(2y My)a b?+?=1经过A、B两点.证明设点A(x A,y A)、B(x B,y B),则由M是弦AB的中点,可知,x B=2x M?xA,y B=2y M?yA,由点B在椭圆C1上,知(2x M?x A)2/a2+(2y M?y A)2/b2=1,所以点A在椭圆C2上.同理可知点B也在椭圆C2上,故椭圆C2经过A,B两点.类似地有:命题2若AB是双曲线22C1:ax2?by2=1的一条弦,且弦AB的中点为M(xM,y M),则双曲线22222C:(2x M x)(2y My)1a b???=经过A,B两点.命题3若AB是抛物线y2=2px的一条弦,且弦AB的中点为…  相似文献   

题库(十三)     

郑雄 《中学生百科》2005,(30)

1.已知AB是椭圆的一条弦,向量OA+OB=2OM,且OM=(2,1),以M为焦点,以椭圆的右准线为相应准线的双曲线与直线AB交于点N(4,-1).(1)求椭圆的离心率e1;(2)设双曲线的离心率为e2,e1+e2=f(a).求f(a)的解析式,并求它的定义域或值域.2.在△ABC中,已知B(-3,0),C(3,0),D为线段BC上一点,AD·BC=0,△ABC的垂心为H,且AH=3HD.  相似文献   

一个椭圆性质猜想的证明及推广     

高用  邱雨浓 《中学数学研究》2014,(17)

正文[1]最后提出了一个猜想:若A,B分别是椭圆x2/a2+y2/b2=1(ab0)一直径的两端,P为椭圆上的任意一点(不与A,B重合).直线PA,PB与AB的共轭直径所在直线分别交于C、D,则椭圆在点P处的切线平分线段CD.首先给出共轭直径的定义:定义一椭圆(双曲线),其中心为O,过O任作一直径AB,再作AB的平行弦EF,取EF的中点M,连接OM得椭圆(双曲线)的另一直径CD,则AB、CD称为椭圆(双曲线)的一对  相似文献   

垂径定理在圆锥曲线中的推广和运用     

陈爱荣 《中学数学研究(江西师大)》2008,(1):18-19

圆有个很重要的性质叫"垂径定理":若AB为⊙O的一条弦,P为AB的中点,则k_(OP)·k_(AB)=-1.这一性质可以在圆锥曲线中进行推广,而且有很好的应用价值.(为叙述方便,下文把推广的结论都称作定理.)定理1若点P在椭圆(x~2)/(a~2) (y~2)/(b~2)=1(a>0,  相似文献   

对圆的弦中点坐标与弦的斜率关系的联想     

吴梅红 《中学教研》2004,(4):23-25

1问题众所周知,圆具有如下的性质:如果.AB是圆O:x2 y2=r2的一条弦(不包括直径),M(x0,y0)是弦AB的中点,那么OM⊥AB,从而当x0y0≠0时,有kOM·kAB=-1,而,故,也就是说:知道了弦的中点坐标我们便可以直接写出此弦的斜率.  相似文献   

一个结论的推广(高二)     

李昌 《数理天地(高中版)》2005,(5)

结论 从圆O外一点P引圆的两条切线 PA、PB,切点分别为A、B,则切点弦AB被直线 OP垂直平分. 此结论可推广到椭圆、双曲线和抛物线. 1.从不在椭圆(x2)/(a2) (y2)/(b2)=1(a>b>0)对称轴 上的任意一点P引椭圆的两条切线PA、PB,切 点分别为A、B,则切点弦AB被直线OP平分,且 直线AB和OP的斜率之积为定值-(b2)/(a2).  相似文献   

一题多解,活跃思维     

杨美璋 《中学生数理化(高中版)》2002,(12)

例直线l:y=-1/2x 2与椭圆(x2)/(a2) (y2)/(b2)=1交于A、B两点,O为坐标原点,M为线段AB的中点.若|AB|=5~(1/2),直线OM的斜率为1/2,求椭圆的方程.  相似文献   

多树一果味更美——多姿多彩的“椭圆幂定理”赏析     

《中学数学教学参考》2007,(5)

有这样一个命题:椭圆 x~2/a~2 y~2/b~2=1(a>b>0)短轴为 AB,M 为椭圆上非 A、B 的点,MA、MB 与 x 轴交于点 E、F,则 OE·OF=a~2.此命题看似平凡,却"来头"不小,值得研究.推广1:把短轴 AB,长轴 CD 换成一般的共轭直径,得到如下性质:定理1 AB、CD 是椭圆 x~2/a~2 y~2/b~2=1(a>b>0)的共轭直径,M 为椭圆上非 A、B 的点,直线 MA、MB 分别交 CD 所在直线于点 E、F,则 E、F 在点 O 的同侧,且 OE·OF=OD~2(图1).证明:设 A(acos α,bsin α),则 B(-acos α,-bsin α),M(acos β,bsin β).由 AB、CD 共轭,知 k_(AB)·k_(CD)=-(b~2/a~2),又 k_(AB)=bsin α/acos α,  相似文献   

双曲线与渐近线有关的一个性质及应用     

姜坤崇 《河北理科教学研究》2014,(1):42-44

正在对圆锥曲线的研究过程中,笔者偶尔发现了双曲线与渐近线有关的一个性质,兹介绍如下.1性质及证明定理给定双曲线E:(x~2)/(a~2)-(y~2)/(b~2)=1(a0,b0),M(x_0,y_0)是不在E及渐近线(包括E的中心O)上的任意一点,过M作E两条渐近线的平行线,分别交E于A、B两点,则(1)线段AB的中点C在直线OM上;(2)当  相似文献   

错在哪里     

《中学数学教学》2018,(2)

<正>1江苏省海州高级中学佟成军(邮编:222062)题目在平面直角坐标系xOy中,已知圆C:x²+(y-1)2+(y-1)²=5,A为圆C与x轴负半轴的交点,过A作圆C的弦AB,记线段AB的中点为M,若OA=OM,则直线AB的斜率为__.错解如图1,取AM的中点为N,由OA=OM,知ON⊥AB.由题意知CM⊥AB,  相似文献   

对椭圆和双曲线的一个性质的补充     

翟茂渠 《中学数学教学》1994,(3)

作为对《椭圆和双曲线一个性质》（《中学数学》1992.10）一文的补充,本文介绍了椭圆和双曲线的如下性质:1、若椭圆x~2/a~2 y~2/b~2=1的动弦AB恒过定点M(a~2-b~2/a~2 b~2x_o,b~2-a~2/a~2 b~2y_o),则动弦AB对于该椭圆上的定点P(x_o,y_o)的张角必为直角。2、若双曲线x~2/a~2-y~2/b~2=1(a≠b）的动弦AB恒过定点M(a~2 b~2/a~2-b~2x_o,a~2 b~2/b~2-a~2y_o),则动弦AB对于该双曲线上的定点P(x_o,y_o)张角必为直角。3、等轴双曲线x~2-y~2=a~2的动弦AB对于该双曲线上的定点P(x_o,y_o)张角为直角的充要条件是动弦AB的斜率为-y_o/x_o。推论 等轴双曲线的动弦对于该曲线的顶点张角为直角的充要条件是动弦平行于双曲线的实轴。  相似文献   

椭圆的一个有趣性质及其应用     

张乃贵 《高中生》2004,(15)

性质椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上任意一点P与过中心的弦AB的两端点A、B的连线PA、PB与对称轴不平行,则直线PA、PB的斜率之积为定值.证明如图1所示,设P(x,y),A(x1,y1),则B(-x1,-y1).∴x2a2+y2b2=1,①∴x21a2+y21b2=1,②由①-②得x2-x21a2=-y2-y21b2,∴y2-y21x2-x21=-b2a2,∴KPA·KPB=y-y1x-x1·y+y1x+x1=y2-y21x2-x21=-b2a2为定值.这条性质是圆的性质“圆上一点对直径所张成的角为直角”在椭圆中的推广,它充分揭示了椭圆的本质属性,因而能简洁地解决问题.推论若M是椭圆的弦AB之中点,则直线OM与直线AB的斜率之积为定值.证明如图2所…  相似文献   

一个结论和两道高考题     

王勇 《数理天地(高中版)》2010,(1):17-17,16

关于有心圆锥曲线有如下结论： 如图1,设椭圆或双曲线E：sx^2＋ty^2=1的弦AB的中点是M,则 kAB·kOM=-s/t=e^2-1  相似文献   

建立极坐标系解圆锥曲线题刍议     

张斑竹 《中学教研》1989,(5)

利用极坐标系解圆锥曲线题的应用,课本上的介绍不多,应用时,应根据不同情形建立不同的极坐标系,以便灵活地解题。一、建立焦点极坐标系涉及与圆锥曲线的焦点弦有关的问题,应以焦点为极点的极坐标系(简称焦点极坐标系),这时椭圆、双曲线和抛物线有统一的方程ρ=(ep)/(1-ecosθ)。例1 过双曲线(x~2)/(a~2)-(y~2)/(b~2)=1的右焦点F的弦AB(AB不垂直于实轴),AB的中垂线交x轴于D,求证|FD|=e/2|AB|(e为离心率) 证明:如图,以右焦点F为极点,Fx  相似文献   

抛物线弓形求积法     

吴天 《临沂师范学院学报》1992,(Z1)

求由抛物线的一条弦,截这抛物线所得图形的面积. 如图1 设AB为抛物线的一条弦,OM为过它的中点M的直径,交抛物线于点O,则AB截这抛物线所得图形的面积S等于△ABO面积T的4/3即S=4/3T 1 坐标法  相似文献   

从蝴蝶定理的证明看曲线束的应用     

潘俊 《数学教学通讯》2007,(8):64-64,F0003

本文首先将给出一个常规化的证明,之后给出曲线束应用后的证明.(蝴蝶定理)如图1,设AB为圆O的弦,C是AB的中点,过C任意作两条弦DE,FG,连结EG,DF分别交AB于M、N.求证:CM=CN.  相似文献   

椭圆与双曲线中点弦的存在性研究     

苏庆飞 《数理化解题研究》2013,(5):1

为了不失一般性,我们将椭圆与双曲线方程统设为x²/m+y²/n=1,其中m,n不同时为负数,当m>0,n>0且m≠n时,方程表示椭圆;当m·n<0时,方程表示双曲线.首先来熟悉一下椭圆与双曲线的中点弦性质:设AB为圆锥曲线x²/m+y²/n=1的一条不垂直于坐标轴的弦,异于原点的点P（x₀,y₀）为AB中点,则k_AB·k_OP=-n/m.说明（1）此性质可由"点差法"很容易得  相似文献   

圆锥曲线一个有趣的三圆性质     

林新建 《中学数学研究(江西师大)》2008,(12)

性质1 如图1,抛物线E:y2=2px(p>0)的焦点为F,过焦点F作两条互相垂直的弦AB、CD,设弦AB、CD的中点分别为M、N,则线段MN恒过定点T(3p/2,0),且以AB、CD为直径的两圆公共弦中点的轨迹是以OT为直径的圆.  相似文献