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1.
本刊文[1]证明了关于圆内接正多边形的下述性质:正 n(n≥3)边形外接圆上任一点到该正 n 边形各顶点距离的平方和为2nR~2(其中 R 是外接圆半径).文[1]的证明比较繁复,今简证如下:在平面直角坐标系中,设任意给定的一个正 n 边形A_0A_1A_2…A_(n-1)各顶点的坐标是 A_k(Rcos(2kπ/n),Rsin(2kπ/n))(k=0,1,2,…,n-1)其外接圆上任意取定的一点 P的坐标是 P(Rcosθ,Rsinθ).显然点 P 到正 n 边形各顶点距离的平方和 S 是 相似文献
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扈保洪 《中学数学研究(江西师大)》2010,(5):21-24
命题设A_1A_2A_3…A_nA_1为正n边形,R为其外接圆半径,A为外接圆上任一点,记∑=(?)AA_k~(2l),l∈N_+,则∑=nR~(2l)C_(2l)~l.这是师五喜老师提供并证明的一个命题(见文[1]).笔者指出:只有当l相似文献
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定理经过正n边形(n>3)每一顶点的对角线长L_i=2Rsin i·180°/n,i=1,2,3,…,n-1(包括连结相邻顶点的线段)。证明:正n边形A_1A_2A_3…A_n如图1所示,设半径为R,L_1=A_1A_2=2R sin180°/n; △A_1A_2A_3中,由正弦定理得A_1A_3/sinA_2 相似文献
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P为正n边形外接圆上任意一点,那么点P与正n边形各个顶点连线的线段的平方和为2nR~2(R为正n边形外接圆的半径) 为了证明这个性质,首先证明两个三角恒等式 相似文献
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文[1]指出:在双心四边形 ABCD 中,若其外接圆半径为 R,面积为 S,内切圆半径为 r,则(16r~2)/S≤cotA/2 cotB/2 cotC/2 cotD/2≤(8R~2)/S(1)笔者经研究发现,在双心 n 边形中也有定理在双心 n 边形 A_1A_2…A_n 中,若其外接圆半径为 R,内切圆半径为 r,面积为 S,则有 相似文献
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问题设A_1A_2…A_n是平面n边形。如果它的内角∠A_1,…,∠A_n都相等,且A_1A_2,A_2A_3,…,A_(n-1)A_n,A_nA_1成等比数列,试证它是正n边形。当n=3时此问题是容易解决的,但对于一般情况却并不是很容易的,本文将用复数方法来证明。先证明以下结论。定理设A_1A_2…A_n是复平面内的n边形。z_1,z_2,…,z_n是顶点A_1,A_2,…,A_n对应的复数。则A_1A_2…A_n是正n边形当且仅当下式成立: 相似文献
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文[1］将欧拉（Ewler)不等式向双圆n边形（既有外接圆又有内切圆的凸n边形）推广，得到:Rcos≥r(1)近期，文[2］和[3］从“长度”出发，分别给出了不等式（1）的加强形式．本文拟建立它的一种新的面积隔离，即有定理设双圆n边形的面积、外接圆半径、内切圆半径分别为S、R、r，则当且仅当n边形是正n边形时不等式（2取）等号．证如图1，I为双圆n边形A_1A_2…A_n的内切圆圆心，令A_iA(i＋1)之长为a_i(i=1，2，……，n;A_(n l)≡A_1）.考虑到y=ctgx在（0，）上是下凸函数，且，从而由下凸函数的琴生不等式得：因此，有：下面分几种情形来证… 相似文献
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从正方形ABCD的顶点A任引两条射线，使其夹角为45°，分别与BC、CD交于点E、F．与BD分别交于点P、Q．求证：S_△AEF=2S△apq.这是1990年四川省的一道高中数学竞赛题，现在我们进一步推广便有：定理如图正n（n=2p，P≥1）边形A_lA_2…A_(n-1)A_n中，A_1A_k为其外接圆直径，若A_(k-1)A_k,A_kA_(k 1)上各有一点E、F，且边形中心O而垂直于A_1A_k的直线交A_1E于P，A_1F于Q，则有．证作出正n边形的外接圆O，设其半径在Rt△A_1OP中，A_1_P=r·seca1，同理A_1Q＝r·seca_2在Rt△A_lA_(k 1)F中，A_1F＝（下转第32页）（上接第… 相似文献
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文[1]、[2]中分别证明了有关正多边形充要条件的两个定理。 定理1 如果凸n边形A_1A_2…A_n满足: 1°A_1A_2=A_2A_3=…=A_nA_1; 2°∠A_1≥∠A_2≥…≥∠A_n那么A_1A_2…A_n是正n边形。 定理2 如果凸n边形A_1A_2…A_n满足: 1°∠A_1=∠A_2=…=∠A_n; 2°A_1A_2≤A_2A_3≤…≤A_nA_1。那么A_1A_2…A_n是正n边形。 相似文献
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《安顺学院学报》1999,(2)
定理1 过正n边形A_0A_1A_2…A_(n-1)的中心O任作一直线1与直线A_iA_(i+1)交于B_(i+1)(i=0,1,2,…,n-1,定义A_n=A_0),则sum from i=1 to m(1/OB_i~2)为定值。 证明 直线1一般情况仅能与正n边形A_0A_1A_2…A_(n-1)的两条边相交,而与其它(n-2)条边的延长线相交,不失一般性,我们没直线1与线段A_0A_1的延长线交于B_1(B_1也可以为无穷远点)。 1~0若n为偶数,则可设n=2m(m∈N)。由于正2m边形是以O为对称中心的中心对称图形,我们只要证明sum from i=1 to m(1/OB_i~2)壶为定值就可以了。 相似文献
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定理若点P为正多面体外接球上任一点,则该正多面体各顶点到球的过P点的切面的距离之和为定值。事实上,设正多面体顶点为A_1,…,A_n(n=4,8,6,20,12),外接球心为O。过A_1,…,A_n分别作球O的切平面,得球O的外切正n面体B_1…B_m(m为A_1,…,A_n的面数,m=4,6,8,12,20)。这时,P为正n面体 相似文献
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1987年上海市中学生数学竞赛中有这样一道试题:[1] 正七边形A_1A_2A_3A_4A_5A_6A_7,内接于单位圆⊙O中,P在OA_1的延长线上,且|OP|=2,则|PA_1|·|PA_2|…|PA_7|等于多少? 下面我们把这道富于思考性的试题推广成: 定理设正n边形A_1A_2A_3…A_n内接于圆x~2+y~2=R~2,P(rcosθ,rsinθ)为平面上任意一点,则|PA_2|·|PA_2|·…·|PA_n|=(r~(2n)-2r~nR~ncosnθ+R~(2n))~(1/2)。 相似文献
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对于平面几何中著名的Menelaus定理,文[1]曾将它推广到多边形,得到 定理 设n边形A_1A_2A_3…A_n的n条边A_1A_2、A_2A_3、…、A_(n-1)A_n、A_nA_1所在的直线都与直线l相交,交点分别为P_1、P_2、…、P_n(它们都不是已知n边形的顶点),则 相似文献
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本刊1987年第3期上《正n边形的一个有趣性质》一文,对正n边形进行了探讨,得出了当n为3k、4k、5k,k∈Z时,正n边形A_1A_2…A_n外接圆劣弧(?)上任一点P,到各顶点距离的关系式。至于n为3k、4k、5k以外的自然数时,P到各顶点距离的关系式又如何?该文尚未得出。正因为这样,该文最后指出:“目前还不能找一个统一的式子,表 相似文献
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徐道 《昭通师范高等专科学校学报》1990,(Z1)
本文得到一般n边形的Ceva定理: 定理1.设A_1A_2…A_n为一个平面内的n边形,O为平面内一点,且O与A_1,A_2,…,A_n中任两点不共线,若A_iO交A_jA_(j+l)(i=1,2,…,n;j≠i,i-I)于B_(ji),则 multiply from i=1 to n[(A_iB_(i.i-k)/B_(i.i-k) A_(i+1))·(A_iB_(i.i+1+k)/B_(i.i+1+k)A_(i+1))]=1, 约定:1.若l∥AB,则认为l与线段AB(或BA)的延长线相交于无穷远点S,且AS=SB,2.若i=mn+p,j=qn+t,m,q∈Z,p,t=1,2,…,n,则B_(ij)=B_(p.t),A_i=A_p。(下同) 相似文献
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设椭圆的参数方程为 0≤t≤2π。a>b>0。(1)又设A_1A_2…A_n为(1)的内接n边形,其中顶点A_1的坐标为A_i(acost_i,bsint_i),i=1,2,…n,其中t_1任意,t_2=t_1+(2π/n),t_3=t_2+(2π/n),…,t_(n+1)=t_n+(2π/n)(t_(n+1)=t_1+2π)。 相似文献
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定理 P是凸n边形A_1A_2…A_n内一点,记∠PA_iA_(i 1)=α_i,i=1,…,n(A_(n-1)≡A_1),则 sum from i=1 to n(ctgα_i)≥sum from i=1 to n(ctgA_i ncsc(2π/n))。 (1) 证明 由正弦定理,得 相似文献