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在极限论中,有一条众所周知的重要原理,人们称它为“不等式求极限的迫敛性定理”。即设有三个函数f(x),g(x)与h(x),它们之间保持关系: g(x)≤f(x)≤h(x)如果已知当x→a(或x→∞)时,函数g(x)与h(x)有同一极限A,则函数f(x)也有极限A。 这条原理应用很广,甚至一些重要极限(例如)确定,都是以它为依据的。现在我们来讨论它在初等几何上的一些应用 (一)与多边形有关的几何田形 设n为正多边形的边数,a为边长,f与R分别为内半径(内切园的半径)与外半径(外接圆的半径),我们考虑下面的问题: (1)正多边形,正多边形的面积S与周长1,分别由公式给出。由于内半径r与边长a有关系 a=2r·tg0这里。是相邻的内半径与外半径的夹角,则正多边形的面积S与周长1,可以由内半径r表示如下:我们证明一个明显的事实: S_r=1(其中S_r表示S对r的导数) 我们仅就以正方形来加以证明。由于内半径r获得增量△r,而引起面积S的增量△S,满足不等式 1.△r<△S<1_1·△r即1<△S/△r<1_1 相似文献
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早在初中代数课上,就已经知道了两数和的平方公式 (x y)~2=x~2 2xy y~2(1)、这一公式的应用是极其广泛的。在这里,我们介绍它的部分应用。 一、推证公式问题 以下乘法公式 (x-y)~2=x~2-2xy y~2 (x y)(x-y)=x~2-y~2 (x y)~3=x~3 3x~2y 3xy~2 y~3 (x-y)~3=x~3-3x~2y 3xy~2-y~3 (x-y)(x~2 xy y~2)=x~3-y~3 (x y)(x~2-xy y~2)=X~3 y~3等都可运用公式(1)来推导 例1、求证:(x y)(x-y)=x~2=y~2 证:令a=(x y)/2,b=(x-y)/2, 则两数x、y的平方差,x~2-y~2=(a b)~2-(a-b)~2运用公式(1)有x~2-y~2=4ab据假设条件,得x~2-y~2=4(x y)/2·(x-y)/2,即x~2-y~2=(x y)(x-y) 例2、求证:(x-y)~3=x~3-3x~2y 3xy~2-y~3 证:将上式右端进行配方变换即得证 x~3-3x~2y 3xy~2-y~3 =x~3-2x~2y xy~2-x~2y 2xy~2-y~3 =x(x-y)~2-y(x-y)~2 =(x-y)~3 类似地,乘法公式都可用公式(1)来推导,此外,还可推证一些多项因式的乘法 相似文献
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