利用空间向量轻松求解夹角     

陈炳先 《高中生之友》2004,(1)

一求异面直线的夹角例1如图1,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是直角梯形,∠BAD=90°,AD∥BC,AB=BC=a,AD=2a,且PA⊥底面ABCD,AE⊥PD于E,PD与底面成30°角.求异面直线AE与CD所成的角.分析:如图1建立空间坐标系.依题意知A(0,0,0),B(a,0,0),C(a,a,0),D(0,2a,0).在Rt△ADE中,∵∠PDA=30°,∴ED=3姨a,作EF⊥AD于F,则EF=3姨2a.在Rt△AEF中,AF=12a,∴E(0,12a,3姨2a).∴cos〈AE,CD〉=AE·CDAECD=2姨4.则异面直线AE与CD所成角的大小为arccos2姨4.点评:本题关键在于求E点坐标,进而求AE的坐标表式以便应用空间向量的夹角…  相似文献   

求异面直线所成的角     

徐琳 《数理化学习(高中版)》2004,(24)

按异面直线所成角的定义,求异面直线所成角的关键是如何通过平移直线,使其相交.本文结合实例,介绍几种平移策略. 一、构造三角形中位线进行平移例1 如图1,在正四面体ABCD中,E、F分别是棱BC、AD的中点,求AE与CF所成角的大小.  相似文献   

例说破解异面直线所成角问题的三类方法     

《高中数学教与学》2019,(15)

<正>题目将正方形ABCD沿对角线BD折叠成空间四边形A'BCD,当所得四面体A'BCD的体积最大时,直线A'B与CD所成的角为.分析所得四面体的体积最大时,显然平面A'BD⊥平面CBD.设正方形ABCD的对角线AC、BD交于点O,取OA=OB=OC=OD=1.下面求异面直线A'B与CD所成角的大小.一、平移法解法1如图1,设A'C、A'D的中点分别为E、F,连结OE、OF、EF.  相似文献   

立体几何解题中的平行移动问题     

李文忠 《雁北师范学院学报》1996,(6)

立体几何中许多问题涉及到作已知直线(线段)的平行线.对此,学生感到困难的是不知如何作平行线实现问题的转化,也有的学生随意作平行线以致无法计算.本文通过例题介绍两种作平行线段的常用方法。 1 利用三角形中位线定理进行平移 例1 (如图1所示)空间四边形ABCD中,AD=BC,M,N分别为AB,CD的中点.求证;MN和AD所成的角等于MN和BC所成的角。 分析:按异面直线所成角的定义,需平行移动线段AD使之与MN相交。由于M是AB中点,自然会想到用构造三角形连结中位线的方法。 证明:设BD中点为E,连结ME,由三角形中位线定理得;ME≤1/2AD 于是∠EMN就是MN与AD所成的角。 同理,连结NE易得∠ENM是MN与BC所成角.∵AD=BC ∴ME=EN 从而∠ENM=∠EMN 命题得证。 例2 (88年上海高考题)如图2所示,在棱长都相等的四面体A—BCD中,E,F分别为棱AD,BC的中点,连AF,CE,求异面直线AF、CE所成角的大小。 解:连结DF,取DF中点O,连EO,则EO=1/2AF。  相似文献   

一个例题的引申变化与拓展应用     

邬熔炉 《数理化解题研究》2008,(8):2-4

一、原题如图,(?)O 是ΔABC 的内切圆,切点分别为 D、E、F,设ΔABC 的周长为 l.求证:AE+BC=1/2l. 证明:连结 OE、OF、OA.∵⊙O是△ABC 的内切圆,E、F 为切点,∴∠AEO=∠AFO=Rt∠.又∵OE=OF,OA=OA,∴△AOE≌△AOF∴AE=AF.同理,BD=BF,CD=CE.  相似文献   

立体几何中常见的七种变形     

张婷婷 《数理天地(高中版)》2014,(12):16-17

1．平移 例1 如图1．在棱长为2的正方体ABCD-A1B2C1D1中,O是底面ABCD的中心,E、F分别是CC1、AD的中点,求异面直线OE和FD1所成的角的余弦值.  相似文献   

巧用向量解立体几何题     

董凰 《高中生》2004,(7)

一、求角例1在三棱锥S-ABC中,∠SAB=∠SAC=∠ACB=90°,AC=2,BC=13姨,SB=29姨.求异面直线SC与AB所成角的大小.解在Rt△ABC中,AC=2,BC=13姨,∴AB=17姨.在Rt△SAB中,SB=29姨,∴SA=23姨.在Rt△SAC中,可求得SC=4.S C·A B=(S A+A C)·(A C+C B)=S A·A C+A C2+S A·C B+A C·C B=0+4+0+0=4.∴cosθ=S C·A BS C·A B=4417姨=17姨17.故异面直线SC与AB所成的角为arccos17姨17.注求异面直线所成的角,可构造向量,将异面线所成的角转化为两向量的夹角,利用向量数量积的式求解.例2如图,在直三棱柱…  相似文献   

一道习题的运用     

冯占怀 《中学理科》2003,(7):9-10

立体几何中有一道习题 ,若用该题的结论来解课本中的其他习题 ,比常规解法显得简便得多 .先看该题 :题目　AB和平面α所成的角是θ1 ,AC在平面α内 ,AC和AB的射影AB′成角是θ2 ,设∠BAC =θ ,求证 :cosθ1 ·cosθ2 =cosθ .证明　如图 1 ,过AB上一点D向平面α作垂线DE ,垂足为E ,显然点E在直线AB′上 ,过E向AC作垂线EF ,垂足为F ,连结D、F ,根据三垂线定理 ,AC ⊥DF .在Rt△ADE中 ,cosθ1 =AEAD,在Rt△AEF中 ,cosθ2 =AFAE,在Rt△ADF中 ,cosθ =AFAD,∴cosθ1 ·cosθ2 =AEAD·AFAE =AFAD =cosθ.结论得证 .…  相似文献   

正方形中的旋转     

范子坚 《时代数学学习》2000,(12)

我们来分析一道几何题的证明: 如图1,自正方形ABCD的顶点A作两条射线分别与BC、CD交于E、F,且∠EAF=45°,求证:BE+DF=EF.按常规使用拼接法,即将线段BE与DF拼接在一起,为此延长FD至G使得DG=BE.连结AG,易知Rt△ADG  相似文献   

学立体几何,你会出这样的吗?(高二)     

李松林 《数理天地(高中版)》2002,(6)

1.概念不清例1 若空间四边形ABCD中,E、G、F分别为AD、DB、BC的中点,∠EGF是异面直线AB与CD所成的角吗?为什么?错解因为E、G、F分别为图1AD、DB、BC的中点,所以EG∥AB,GF∥DC,故∠EGF是AB与CD所成的角.剖析对异面直线所成角的概念只注意了平行条件而忽略了角的允许值范围,根据定义直线EG和FG所夹的锐角(或直角)才是AB与CD所成的角,而题中没有给出∠EGF的范围,故不能确定该角是否为AB与CD所成的角.  相似文献   

利用向量方法求空间角问题例析     

《中学生数理化(高中版)》2016,(4)

<正>一、求异面直线所成的角例1如图1,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥底面ABCD,E是PC的中点。已知AB=2,AD=2x2^(1/2),PA=2。求:(1)△PCD的面积。(2)异面直线BC与AE所成的角的大小。  相似文献   

离子浓度的大小比较     

王延花 《中学生数理化(高中版)》2013,(3)

因为EF //AB,所以EF∥面ABCD. 所以点E、F到面ABCD的距离相等. 因为F为PD中点,PA⊥底面ABCD, 所以点F到面ABCD的距离为1/2PA=1, 所以点E到面ABCD的距离d=1. 因为VE-ABC =VC-ABE, 所以1/3d·S△ABC=1/3CH·S△ABE,CH=√2. 又AC=2√5,所以sin∠CAH=CH/AC=√10/10. 故直线AC与面ABEF所成角的正弦值为√10/10.  相似文献   

运用向量法巧解计算题     

李强 《数理化解题研究》2008,(4)

本文就求异面直线的夹角,求直线与平面所成的角,求二面角,求点到平面的距离这几种题型,说一下它们的向量解法.1.求异面直线所成的角求异面直线所成的角时,只要找出这两条直线所在的向量,那么这两个向量所成的角(或其补角)就是异面直线所成的角.例1 如图,在Rt△AOB 中,∠OAB=π/6,斜边AB=4,而 Rt△AOC 可以通过 Rt△AOB 以直线 AO 为  相似文献   

与中点有关的辅助线     

朱定符 《中学生理科月刊》1999,(8)

在几何问题中,中点问题是一类常见的问题.与中点有关的辅助线有以下几种.一、已知三角形两边中点,连结两个中点构造三角形的中位线例1 如图1,□ABCD的对角线BD、AC相交于点O,DB=AB,E是AB的中点,DE交AC于点F.求证:(1)∠BDE=∠DCA;(2)FD=FA.(温州97年中考题)分析 因为ABCD平行四边形,故O是BD中点,又E是AB的中点,连结OE,则OE是△ABD的中位线,可证ADOE是等腰梯形.证明 连结OE.  相似文献   

一道2012年兰州市初中毕业考试题解法探究     

裴建新 《数理化学习(初中版)》2013,(9):22-23

题目:如图,Rt△ABC中,∠ABC=90°,以AB为直径的圆O交AC于点D,E是BC的中点,连结DE、OE.(1)判断DE与圆O的位置关系系并说明理由;(2)求证:BC2=2CD·OE;(3)若tanC=52,DE=2,求AD的长.  相似文献   

关于三角形有关比例的两个定理及应用     

孙大志  于志洪 《中学数学教学》1995,(2)

定理1 △ABC中,AD是中线,F为AD上任一点、BF交AC于E,若AE(?)EC=m,则AF:FD=2m.证 过D作DG∥BE交AC于G(如图),则AF:FD=AE:EG.∵ D为BC中点,∴AF/FD=AE/((1/2)EC),即AF:FD=2m.定理2 △ABC中,D为BC上一点,E为AC上的一点,AD、BE交于点F,若AE:EC=m,CD:DB=n,则AF:FD=m(1 n).证明 过D作DG∥BE交AC于G(如图),则  相似文献   

构造平行四边形解题     

安义人 《时代数学学习》2004,(10)

平行四边形是一种特殊的四边形,它具有很多独特的性质.在解答一些与线段有关的证明问题时,从构造平行四边形入手,常可化难为易.例1　如图1,△ABC中,AB=AC,E是AB上一点,F是AC延长线上一点,BE=CF,EF交BC于D.试说明DE=DF.　解　过E作EG∥AC交BC于G,连结CE,FG,则∠EGB=图1∠ACB.因为AB=AC,所以∠ABC=∠ACB=∠EGB,所以EG=BE.　因为BE=CF,所以EG=CF.又EG∥CF,所以四边形EGFC为平行四边形.因此DE=DF.例2　如图2,△ABC中,D,E分别为AB,AC的中点.说明:DE∥BC.图2解　延长DE到F,使FE=DE,连结AF,CF,CD.因为…  相似文献   

一道考题的解法研究     

王东青 《数理天地(初中版)》2014,(11):28-28

题目 如图1,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC于点D,点O是AC边上一点,连接BO交AD于点F,OE⊥OB交BC边于点E．  相似文献   

数学问题与解答——2002年第2期问题解答     

《数学教学》2002,(4)

558.△ABC为锐角三角形,求证:■在正四面体P-ABC中,点D、E依次在对棱PA、BC上,且PD=i/mPA,BE=j/nBC,这里m、n、i、j都是正整数,1≤i≤m-1,1≤j≤n-1,求异面直线AE与CD所成角的余弦值.  相似文献   

空间角与距离的常用方法展示     

聂文喜 《中学生阅读》2008,(4)

空间角与距离既是立体几何的重点,也是学习的一个难点,本文结合2007年高考试题,展示空间角与距离的常用方法,希望对同学们的高考复习有所启示.异面直线所成的角【例1】(2007年高考全国卷Ⅰ第7题)如右图,正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2AB,则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为()A.51B.52C.53D.54分析1以D1为角的顶点,连结CD1,利用平行四边形A1BCD1平移直线A1B.解法1:由题意设AB=a,则AA1=2a,如右图,连结CD1、AC,则由A1D1CB为平行四边形得CD1与A1B平行且相等,∠AD1C(或其补角)为两异面直线所成的角.在△AD1C中,AC=2a,AD1=5a,D1C=5a,∴由余弦定理得cos∠AD1C=2(5a)2-(2a)22&#215;5a&#215;5a=180aa22=54.∴选D.分析2以B为角的顶点连结BC1,利用平行四边形ABC1D1平移直线AD1.解法2:如右图,连结BC1、A1C1,则由AB∥C1D1且AB=C1D1知ABC1D1为平行四边形,∴BC1∥AD1,∴∠A1BC1(或其补角)是异面直线A1B与AD1所成的角,在△A1BC1中,易求得cos∠A...  相似文献