椭圆、双曲线的共轭直径及应用     

程惠才 《中学数学教学参考》1994,(7)

定义:连结椭圆上任意两点的线段叫弦.过椭圆中心的弦叫直径.类似地可定义双曲线的直径.如图1,平行于直径CD的弦的中点的轨迹AB和直径CD叫互为共轭直径.类似地可定义双曲线的共轭直径. 定理1 已知AB、CD为椭圆x~2/a~2 y~2/b~2=1的一对共轭直径,其斜率分别为k_(AB)、K_(CD),那么K_(AB)·K_(CD)=-b~2/a~2. 略证:如图1,设平行弦EF簇的斜率为k(即K_(CD)),则平行弦EF簇的方程为 y=kx t(t为参数).① 又椭圆方程为 x~2/a~2 y~2/b~2=1. ② ①代入②整理得 (a~2k~2 b~2)x~2 2a~2tkx a~2(t~2-b~2)=0. ③ 由韦达定理,得x_1 x_2=-(2a~2tk/a~2k~2 b~2). 设M(x′,y′)是EF的中点,则 x′=1/2(x_1 x_2)=-(a~2tk/a~2k~2 b~2) ④ 点M在EF上,则y′=kx′ t. ⑤ 由④、⑤消去参数t得 y′=-b~2/a~2k x′. ∵k_(AB)=k_(OM)=-(b~2/a~2k). ∴k_(AB)·k_(CD)=-(b~2/a~2k)·k=-(b~2/a~2). 推论1 AB是椭圆x~2/a~2 y~2/b~2=1的任意一条弦,P为AB的中点,O为椭圆的中心,则 K_(AB)·K_(OP)=-(b~2/a~2).  相似文献   

双曲线上轴对称点的两个定理及其应用     

陈甬 《中学数学研究(江西师大)》2006,(4):19-21

一、定理定理1 设双曲线 E:x~2/a~2-y~2/b~2=1(a>0,b>0,c=(a~2 b~2)~(1/2)和直线 l:y=kx t(k≠0),那么(1)当且仅当00,b  相似文献   

一个二次曲线平行弦中点的轨迹定理及应用     

张赞源 《中学教研》1990,(4)

一阶导数与二次曲线弦中点间存在着一种内在联系,这种联系为解决二次曲线中点弦一类问题开辟了一条较为简捷的路径.本文就以定理形式揭示这种联系并列举应用. 定理:椭圆x~2/a~2 y~2/b~2=1的以斜率为k的一组平行弦中点轨迹方程是x~2/a~2 yy_x~'/b~2=0(※)(|x|≤a,|y|≤b)其中y_x~'就是平行弦的斜率k,它等于直线(※)与椭圆交点处切线的斜率. 证明:设点P(x_0,y_0)是以k为斜率的弦P_1P_2的中点,点P_1(x_1,y_1),P_2(x_2,y_2)  相似文献   

巧用三角法解一道高考解析几何题     

余文 《中学数学教学》1997,(Z1)

1996年高考数学试题理工类(13)题(文科(14)题) 设双曲线x~2/a~2-y~2/b~2=1 (0相似文献   

对椭圆和双曲线的一个性质的补充     

翟茂渠 《中学数学教学》1994,(3)

作为对《椭圆和双曲线一个性质》（《中学数学》1992.10）一文的补充,本文介绍了椭圆和双曲线的如下性质:1、若椭圆x~2/a~2 y~2/b~2=1的动弦AB恒过定点M(a~2-b~2/a~2 b~2x_o,b~2-a~2/a~2 b~2y_o),则动弦AB对于该椭圆上的定点P(x_o,y_o)的张角必为直角。2、若双曲线x~2/a~2-y~2/b~2=1(a≠b）的动弦AB恒过定点M(a~2 b~2/a~2-b~2x_o,a~2 b~2/b~2-a~2y_o),则动弦AB对于该双曲线上的定点P(x_o,y_o)张角必为直角。3、等轴双曲线x~2-y~2=a~2的动弦AB对于该双曲线上的定点P(x_o,y_o)张角为直角的充要条件是动弦AB的斜率为-y_o/x_o。推论 等轴双曲线的动弦对于该曲线的顶点张角为直角的充要条件是动弦平行于双曲线的实轴。  相似文献   

快速解决圆锥曲线中点弦问题的方法     

饶文忠  董正洪 《理科考试研究》2014,(21)

正一、从一道课本习题的求解说起例1(人教A版选修2-1第80页,复习参考题A组第9题)经过点M(2,1)作直线l交双曲线x~2-y~2/2=1于A、B两点,且M为AB的中点,求直线l的方程.分析由双曲线关于x轴对称可知,当直线l的斜率不存在时,M不可能是AB的中点,故直线l的斜率k一定存在.又已知直线过点M(2,1),要求直线l的方程,只需求出其  相似文献   

双曲线的焦点弦长为定值时所对应弦的条数     

王映屏 《中学数学月刊》1997,(11)

本文研究过双曲线焦点的弦的长度为定值时,所对应的焦点弦的条数问题, 问题 设过已知双曲线(x~2/a~2)-(y~2/b~2)=1的右焦点的直线l被曲线截得的弦长为d,则这样的  相似文献   

过双曲线的中心能向双曲线引切线吗?     

王家凤 《中学数学教学》1984,(3)

题:求双曲线的两条互相垂直的切线的交点轨迹。解设双曲线的方程为x~2/a~2-y~2/b~2=1由于双曲线互相垂直的切线其斜率一定存在,且不等于零,故可设其斜率分别为k和-1/k,则两条切线方程分别为 y=kx±((a~2k~2)-b~2)~(1/2),①和 y=-(1/k)x±((k~2/a~2)-b~2)~(1/2)。  相似文献   

运用类焦点和类准线概念探究圆锥曲线两个统一性质     

顾元康 《中学数学研究(江西师大)》2013,(1):33-35

我们将点F(t,0)、直线l:x=(a~2)/t称为椭圆(x~2)/(a~2)+(y~2)/(b~2)=1(a>b>0)和双曲线(x~2)/(a~2)-(y~2)/(b~2)=1(a>0,b>0)的类焦点、类准线(椭圆中0<|t|a),相应的点G((a~2)/t,0)称为类准点;将点F(t,0)、直线l:x=-t(t>0)称为抛物线y~2=  相似文献   

垂径定理在圆锥曲线中的推广和运用     

陈爱荣 《中学数学研究(江西师大)》2008,(1):18-19

圆有个很重要的性质叫"垂径定理":若AB为⊙O的一条弦,P为AB的中点,则k_(OP)·k_(AB)=-1.这一性质可以在圆锥曲线中进行推广,而且有很好的应用价值.(为叙述方便,下文把推广的结论都称作定理.)定理1若点P在椭圆(x~2)/(a~2) (y~2)/(b~2)=1(a>0,  相似文献   

双曲线方程与其渐近线方程之间关系的讨论     

刘俊勋 《数学教学研究》1989,(3):16-17

1、问题的提出:《平面解析几何》课本的给出了双曲线方程x~2/a~2-y~2/b~2=1的渐近线方程x/a±y/b=0,即x~2/a~2-y~2/b~2=0。于是一些学生误认为,一般双曲线方程,只要令其常数为零,即得双曲线的渐近线方程,然而事实并非如此,因为双曲线方程与其渐近线方程相差一个常数。 2、《解析几何答疑解惑》(陕西人民教育出版社)p110有一个结论;以y=±3/5x为渐近线的双曲线方程为:  相似文献   

有关双曲线的一个命题     

朱克强 《中学教研》1990,(11)

我们知道,双曲线(x~2/a~2)-(y~2/b~2)=1,其渐近线(x~2/a~2)-(y~2/b~2)=0,及其共轭双曲线(x~2/a~2)-(y~2/b~2)=-1,这三个方程左边完全相同,右边三常数成等差数列。对这三个方程无论施行多少次相同坐标轴平移和旋转,方程左边总是一样,右边仍为常数,这三常数也成等差数列。任一双曲线及其渐近线以及共轭双曲线的方程都可以看作是标准型方程经有限次相同坐标变换后的结果。于是,对任一双曲线,其渐近线及其共轭双曲线方程,三者含变数的项完全一样,  相似文献   

关于圆锥曲线切线的一类轨迹     

苏立志  张艳华 《中学数学研究(江西师大)》2008,(7)

命题1设椭圆x~2/a~2 y~2/b~2=1(a>b>0)(或双曲线x~2/a~2-y~2/b~2=1(a>0,b>0))(一焦点为F (c,0)在点P(非长轴或实轴顶点)处的切线交y轴于点Q,过点Q作直线FP的垂线,垂足为  相似文献   

直线与圆锥曲线相切的充要条件及其应用     

李万昌 《数学教学通讯》1986,(6)

关于直线与圆锥曲线相切的充要条件有下述定理: 一、直线l:Ax By=1 (A·B≠0)与椭圆C:x~2/a~2 y~2/b~2=1相切的充要条件是 a~2A~2 b~2B~2=1。证明:(1)必要性: 由方程组消去y得关于x的一元二次方程 (a~2A~2 b~2B~2)x~2-2a~2Ax a~2(1-b~2B~2)=0。再由它的判别式等于0,得 a~2A~2 b~2B~2=1。 (2)充分性(略) 推论:直线l:Ax By=1与圆x~2 y~2=R~2相切的充要条件是: (A~2 B~2)·R~2=1 利用推论和平移,不难证明直线Ax By C=0  相似文献   

多树一果味更美——多姿多彩的“椭圆幂定理”赏析     

《中学数学教学参考》2007,(5)

有这样一个命题:椭圆 x~2/a~2 y~2/b~2=1(a>b>0)短轴为 AB,M 为椭圆上非 A、B 的点,MA、MB 与 x 轴交于点 E、F,则 OE·OF=a~2.此命题看似平凡,却"来头"不小,值得研究.推广1:把短轴 AB,长轴 CD 换成一般的共轭直径,得到如下性质:定理1 AB、CD 是椭圆 x~2/a~2 y~2/b~2=1(a>b>0)的共轭直径,M 为椭圆上非 A、B 的点,直线 MA、MB 分别交 CD 所在直线于点 E、F,则 E、F 在点 O 的同侧,且 OE·OF=OD~2(图1).证明:设 A(acos α,bsin α),则 B(-acos α,-bsin α),M(acos β,bsin β).由 AB、CD 共轭,知 k_(AB)·k_(CD)=-(b~2/a~2),又 k_(AB)=bsin α/acos α,  相似文献   

椭圆内接三角形中的一组等价命题     

朱引弟  王福楠 《中学数学月刊》1999,(6)

本文介绍椭圆内接三角形中与斜率有关的一组等价命题。 性质 设D,E,F分别是椭圆x~2/a~2 y~2/b~2=1(a>b>0)内接三角形ABC的三边中点,直线AB,BC,CA,OD,OE,OF,OA及  相似文献   

奇妙的“e^2—1”     

朱其录  申后坤 《数学教学通讯》2002,(1):39-40

大家都知道,圆具有如下性质:“如果AB是圆O的任意一条弦,M为AB的中点,那么AB上 OM,用‘斜率’的语言来叙述,即k_(AB·k_(OM)=-1.”其实,一般有心二次曲线均有类似的性质,用命题分述如下: 命题1:如果AB是椭圆x2/a2+y2/b2=1的任意一条弦,O为椭圆的中心,e为椭圆的离心率,M为AB的中点,即k_(AB)·k_(OM)=e2-1. 命题2:如果AB是双曲线x2/a2-y2/b2=1的任意一条弦,O为双曲线的中心,e为双曲线的离心率,M为AB的中点,即k_(AB)·k_(OM)=e2-1. 下面给出命题1的证明(命题2同理可证)  相似文献   

圆锥曲线的切线系     

唐斌南 《中学数学月刊》1995,(8)

先看一道解析几何习题:求证:直线y=kx m(m≠0)与椭圆x~2/a~2 y~2/b~2=1、双曲线x~2/a~2-y~2/b~2=1、抛物线y~2=2px相切的充要条件分别是k~2a~2 b~2=m~2、k~2a~2-b~2=m~2、k=p/2m(六年制重点中学课本《解析几何》复习参考题二第28题)。  相似文献   

一道高考模拟题引发的思考     

张超亮 《中学数学研究(江西师大)》2002,(1):15

广州市高考模拟考试中有这样一道题:过点M(-2,0)的直线l与椭圆x2+2y2=2交P1,P2两点,线段P1P2的中点为P,设直线l的斜率为k1(k1≠0),直线OP的斜率为k2,则k1k2的值等于( ).  相似文献   

双曲线渐近线方程统一形式的妙用     

《高中数学教与学》2016,(11)

<正>我们知道,双曲线(x~2)/(a~2)-(y~2)/(b~2)=1的渐近线方程为y=±(b/a)x.一般地,还有下面的一些结论:(1)双曲线(x~2)/(a~2)-(y~2)/(b~2)=λ(λ>0)的渐近线方程亦为y=±bax,即xa±yb=0,就是(x~2)/(a~2)-(y~2)/(b~2)=0.(2)双曲线(x~2)/(a~2)-(y~2)/(b~2)=λ(λ<0)的渐近线方程亦为(x~2)/(a~2)-(y~2)/(b~2)=0,故双曲线(x~2)/(a~2)-(y~2)/(b~2)=λ(λ≠0)的渐近线方程为  相似文献