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1.
本文运用数学分析中的方法和一些著名不等式才解决几个有关组合数的倒数的问题。文中的组合数记号鲤止里一m,l 2局( 1C,盖一; 1、.1.‘二二,~二,~~;.一~r~. L’;:二1~‘,_Zm+l 2C黯=”(”一1)…(倪一k+1) 幻—狡l’笼‘二井k二。‘2云一11=-lc 问题1.求S。公式。 l厂己十幻万万万石八+点的递推 七.=竺土里节 2局C,竺z=竺土15。_. 2.’.由(一)、(2)知:当n)2时,有套解:丫当n》2时,有②S。=军: 弋,11’户1疏=1+葱声1︷工k=卜层争=.l+告蕙粉宕无+l_,+i。三载=半s,_1将②式代入①式,得:。‘.n+l。万,=l+厄常合。一‘此即所求的递推公式。问题2… 相似文献
2.
.若,:)2,则13,1 .1_l,3石1又二万万十二二一石十”’十石二又几-.‘任n十l“州卜“r.,(1)’二+、渝J这是许多书刊上选用的一个不等式,它是不等式:.若n)2,则(月+l)(,:十2)甲、.产、.声 门J.在︸口自.卜/.、i,1_1 ..1,.下又二二二~二十二了下十’‘’十石二-又1。‘一“一l”十“I.十…+(Zn一])·2,:的加强。 本文指出,不等式(l)还可加强为: 若n》2,则 4_11__1,J了 公(二二;二+二下+…+‘二花厂(一-二~。 7、”+1’陀+2”Zn、2’并且有最佳结果: 7_1_1-一1,一 鑫,落支竺-今一兰+…丰份斗了In2 12、n+1’”+2‘’2”、一一沙眼一洁)十(汤一… 相似文献
3.
i.a,,a:,…,an为实数,如果它们中任意两数之和非负,那么对于满足 公1+劣:+…+x。=1的任意非负实数x;,x。,…,:。,有不等式 a:二‘+a:二:+…+a。x,势a,:全+aZ:雪十…十a。对成立. 请证明上述命题及其逆命题. 〔证一〕由题设二‘)o,a‘+a,乒O,(￡,j=i,2,…,n) az:2+a 2 xZ+”’+a”劣, =(a,xl+aZ劣:+…+a,x。)·1 二(a工x,+aZ劣:+…+a。劣。)(劣,+劣:+ …十二。) =a,:卜aZ:参+…+a。:盖共乙(。‘+。,):‘xJ)a,x矛+aZ:参 1,j一l ,簧J非负. 〔证二〕用数学归纳法 (i)n=2时,’.’a,+a:>o,劣1+xZ=1, ·’·。,2,+aZ‘:一(a,:扩+a::量) =a:公:… 相似文献
4.
资刊91年竿3期pZg提供了灼告溉率模型求无穷数列:宾+了2一头)经、十r;一』,丫,一{,).于,+…+‘”‘2,‘(一22/32‘火’2,/\3,/42’仁劲书:)…(卜;:)。、与、2+…之和的一种方法.下面应用递推关系给出另一种更为简捷的解法.月一1 “,=。打“一‘(”》2)。反复应用这个递推关系.得a.噢刀+l 玲一2“万一.a。一,=’~= 6a:r:(”+1)’6a2(解:当”)2时数列灼通项为a.一、‘二一二一;(一击).气一(‘一;加一;i)..·当”=1时,也有奋一;(;(卜南)一南) (卜劫瑞为‘’”·岩一妇一奋)磷。一黯·S,从而这个数列之和为s二l*二。s二粤 ~、~自一个无穷数列之… 相似文献
5.
艺{(1月一2十二,十i)己玉留1一〔1十2+·’·+(云一1)j三}二(l子2+…+时2︸rJ。(”+1) 自然数的立方和求法很多.本文给出一利,新领巧妙的方法.’.‘拌与云有相同奇偶性.故 可令,孟二占+t.i=“一t则一香‘(‘+1),‘一合‘(‘一‘) 云3=fZ·i二(‘+t)(s一t)=52一tZ王‘(‘+l)1‘一r乏*(:一、)‘」L‘“(l+2十…十i户一LI十2十一卜(‘一l)」2巧求sum from i=1 to n j_3@曹思江$湖南新化三中!417600~~ 相似文献
6.
求 1i兀厄+乏11,,,_~万十云兀飞+’‘·田徽限。先求其前n项和: 1习,=不厄+乏云+’‘’.’.s,二合(〔洽一寿〕+〔寿一捻〕+〔捻一寿〕 1+一气二一一,-弋下二. 称戈犯+1)-,.’通项。‘蔽汁石=专-:.。。二(于一分‘(合-+〔而标一而潇而〕)=抓寿一‘而气石面).jl+、、,产:i一3+(合一宁)+… limn.弓卜00。1O”=,~二.. 4 1 11\+.—一.甲甲一丁) 、介乃十_L/ 1_11民IJ不甲下一下,+万下子二厂+只尸下不二于+ 1.‘.0‘.0.任0.4.0”’的极限为奋 1称+1 1 imn.勺卜C心泞,二1。我们考虑下列的极限问题: 11丁闰犷七丁一二+二-二~:一:一+.’.1.乙.J.任… 相似文献
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题目:设a,,里+ 口2 +…证明:(1984年全国数学联赛试题)QZ、 aZ艺 d3+口.a*20舟+至…。沃R+.求证:+一+aZ一豆G” a一,十-‘二Q1)a:+a,+a一+,)Za。,儿=1,2.…”.当壳=月时.a。、,二a:”个不等式相加即得结果.上面结论还可进一步推广设a:.a:,·…a。〔R+,a:+aZ+…+a.=才则有ai’~02”a 21一,alz…a:干i,s+十a一仍ai之一a:f卜二a:l。》 1月爪一J一姓侨一, +…+,:谓果了+。。一,一1)一洽 >m万瑟共i)瓜实琵荞砚需 一fnz福票石豁;蕊 一睬漂于一杯兴~a.鹃‘丽不盖、‘s,、,一、‘1·、备 +lt硒条~十…十ls.万鲁奇 +(。小;,而共一》沪头。, 硕丽… 相似文献
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、、、.产了 曰.工 一C斋a介一rb,C弄一la”一,+工b,一1/汀、、 T定理若a,乙任R十,:任N,、lesse、es.12刀!T了!(n一尹)!一1否一a 刀!(z一1)!(左一T+1)!lesZ飞l、 r、、.声z T兴一‘,mlJ(a+“,”的二项展开式中,第‘项或第n十1项最小,当k任N时,第k项和第k+1项最大,当k磋N时,第〔K〕十1项最大。 证明:设T:十1二C扣”~’乙r,则(a十的”一:·!臼匕瑟少一1]一T(,:之,+守 a一卜b二艺 r二O 几十1C二扩一,b’二艺T:,所以Ta+b 了a(k一7)T:十1一T,二T(T竺丝_ 了,1)(i)当无任N时,l簇介0,所以当,一1,2,…,“一1时,T,十:… 相似文献
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一、溃空。1.分类;分步。2。排列;组合。(n+1)n。4 .111;1。5。 3。14或P会;补P6时C迄+C乏+C蓬。6 .P不一ZPP皇·P馨。 二、选择正确答案的代号,填入___内。 1。D。2。C。3。A,4。D。 三、计算下列各题。 1。31。2。x二4。3,n=7。4。m=34、n=140 四、证明下列各题。 1。证明:由组合性质可知,右边=C装亡圣+C缎一,+C货一,十C票孟=C黔今i十C臀==夕C黯幸1=左边。 2粉证明:由阶乘钓定义知,(n+1)r .n!r。心学一1》,二(压十工卜旧又一r咬! r!r.(r一1)I 扭一r十1).n!r!P沈石落,1化 一一l外U‘右边。3,证明:曲组合的定义知,又,.’CC盘一1+… 相似文献
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下面定理包括等比数列、等差数列在内的一类数列的求和公式,证明简单,应用方便。定理.没s一习。。,且 几=1 f(”)+口(ft)_“““=f(”千万一。.’则习。(‘)a、一f(n+‘)‘·+,一f‘,)a,·(,) 幽.1特别地,当试n)兰a护。,则s。二冬[f(。+,)a.+:一l(,)。门证明:由条件有,i(自+1)外+:=f(儿)a*+夕(k)a。,从而习,(k+‘)。+,二习f(‘)a。+习。(“)。。, 例3 .0,二(P+,)(P+。+l)…(P+”+口).(叮为整数,q共一2),求S。.自目1几=1为路1韶气卫二史士丝士夕士生,盯a。P十件(移一1+P)+(q+2)协+p并项即得,(。+,)a,+:一,(,。a,+习。(k,口。·f(”)二n+P… 相似文献
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_~‘___.2匕知a、O、‘夕U,则下〔万二~十 口,~‘ 2c+Q.三卜a+b气击、.这是一个常见的不等式·本文将证明它的推广形式‘’‘· 引理设a‘>o(s二1,2,…,n),二(N,S二ai+a:+…+a.,则有不等式(”一1)s用》(s一a1)m十O一aZ).+…+(s一a。)二 证:对。用数学归纳法.当。=1时,左边二(ft一1)s,右边=(s一a,)+(卜aZ)+…十(卜a.)二(移一1):.命题成立.假设二=权>1)时命题戍立,即(。一1)s‘)(s一a,)‘+(:一a:)‘+…+(S‘u。)“.那么(。一1)s为+i=[(:一a:)而+…+(s一a.)‘]·,‘》(s一a,)寿+,+(S一a:)人+‘+…+(卜a,)k+1.故命题对任意自然数。都成立. … 相似文献
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高中(甲种才劝代数第三册尸83.25(2)题:求证:C,,十ZC,,+3C,3+……十nC沪=n.2”一‘. 一般证法是采用教参上提示的: 由数c盒=、C之二{,将原式左边化为称性“补形”成为一个正方体: C月二C盆,C念二Cf. 万【ABC]二艺[A‘B’C‘]左边=”C月一,+C孟一,+……+C监})=n.2卜‘之c二味c众十.C:+e言.唇笔者通过构造一个数表给出了一种形象的解法 如图.将原等式左边写成如下形式并排成三角阵.…冲产民冲.p二,,刃}行亡二4e二+e二;改、。孟,e二,洛令哀。 C,而正方形数表整体为:困月执 一自八‘︸ 一。呼。. 一产又户L fl、 一+闷J,\ 一2汽二尸\ … 相似文献
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《中等数学》1987,(5)
(试题见上期)必1.十一XZ卜·’+‘x。{毛侧几.1.解乙p。(无)=nl,a IXI十aZXZ十‘”十a”劣朴惫=O劣2}十…+.x:’)P。(论)=C井·P,_*(o) 儿l无!(n一k)!P。_、(0), 石(无一1川:,}+ 镇(无一l)了”. 把区间〔o,(忍一1)份,每一小区间之长为杯介〕等分成沦’‘一1等 (无一1)了几 无”一1仙兄无尸。(无)。=0习k.丽而二丽了尸一,(o)刀!自=1 由于a‘二0,1,…,无一1“=1,所以一共有犷一l个数 口1劣1+口2劣么+二’+口。x.。根据抽屉原则,总有两个数 ”一1 云 七一1=----兰-----一,下一~(。一卫灭而一1)!(。一k)!Uaf:,一卜a茵二:十…+a二劣。一P(… 相似文献
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在中学阶段可用数学归纳法证明下列公式:1+2+3+…十?毛=儿(儿+1) 2(1)12一卜22+32+…+几, =音儿(。+‘)‘2、+‘,·‘2, ‘·+2吕+3a+…+?!:一专,!·(,!+,):(3) 然而这些公式是如何求得的呢?(1)是等差数列的和,(2)、(3)是高阶等差数列的和.关于高阶等差数列的求和问题,在中学教材中未作专门介绍.本文将给出求各种高阶等差数列前二项和的一种简易方法. 一、从一个组合公式谈起 利用组合数的性质,不难证明一个组合公式: 嘿十嘿、1+鳃*2十…十C器卜,二鳃段(4)公式(4)可缩写成: 必+,,峨+:,C聋*。,…,C史+:_,(6)由归纳假设知,(6)为k阶等差数列,… 相似文献
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何泉清 《第二课堂(小学)》2005,(4)
一、与导数概念有关的问题 例1已知函数f(x)=理+Cx十 limf少2咨丫)了(2:今)_ 山咔)公— 嘛2+…十)咐十…十’卿,。。N·,则 解…执了‘2+弩‘2一Ax,二2上丫尽十瓷子(2)十执f〔2‘(立,〕抓2) 二Zf’(2)+f‘(2)=3 .f‘(2). 又…f‘卜)=C二+Cx+.二+C支尹一,+.二十C扛“. …f,(2)=一;一(Ze:·22c··…,*己··…,·c, ;〔(卜2卜1〕=告(,一,)· :一im_f四如卜自2二鱼)=3r,(2)=3(3、l). 山、念“2 评析导数定义中的增量酝有多种形式,可以为正也可以为负,如 _执 f(x 0--m公)一(x0) 一m山 本题是导数的定义与二项式定理有关知识的综合题. 二、… 相似文献
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定理在复平面内,点A,对应复数二.,k~1,…,n.则Al…A二为正n边形的充要条件是艺z,一c卜。,1咦少‘月、万、_户22乙J孔二止一七.二“,1‘尹<盛‘.丫、么乙二,一C签二三.‘-JJ二,甘(,)l‘j<盖相似文献
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例l已知歹牵夏一“窗子诬一‘,,求i译石十击+r认的值· 解根据已知条件,由合比性质,得 忍x+y一‘,x十y十二并①②③ X劣+y+艺 yx+y十二 之 二+y+之①十②十③,得 召1十a’ b1+b’ C1十c. 己1+a b .c州卜万-节产一下.十二一气下一,一1。 1.,we夕1.冲一‘~_一一.,_,,_~了1‘1),!Z匕‘为1口一卜口一卜c~V,a口c7:U,习陀al几歹.州一一丁{一卜 、口‘,州告十引+c暗+翻+3的值· 解将3写成号十会十含,则原式一誉十令+含+粤+含十冬+生十口口至b十三 1,,.、.1,:,.、,1,.;.、八一一仁ad一D月一‘户七卜下万戈“一卜o--t esc夕一r气、“月一o州一c夕… 相似文献
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《平原大学学报》1995,(4)
,、;l.毛兰-二户不宝月月l叮乏了门.、坎浪址,、“..、.*.二.八完众认l矿二」洲升舟_扣或,乏奋才呀1卜t卜份以山,r,_八.牛朴l·浒.‘孟、充左‘月三人认.奴孟三导二il补朴仲味价;一‘梦一广l议I的心其三衣上~:”一户.一 ::..夕孙、-二栋禾思、朴匀l蔽吕秀声心比比奈宋先锋一〔卜”:之周世俊(1一扒.“张新泽‘权挤·,,。郑宏宇(2一4 岌讯列口一!飞,,.产.J.矛月___‘。1.柱_欢_,_﹄泞 一娇"价牡片协、知市场经济若干理论问题的思考.,..…、.…‘.,.…,.「1,‘少·、·一扮’办“;凡。.,,、公盖索八t”犷七二亚洲新兴工业{日也区还延发展的原… 相似文献
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一、命题及证明命题:{a‘},什‘}为两数列,若记凡二a:十 If,1\吕二—.1一—二 2\九/a,+…十a“ 则溉a‘石一风乙·+履风(b‘一6.+:)· 证:层“‘石‘二‘渔6:+“:6:+…+“·6· 二召沪:+(凡一S,)石:+…十(凡一凡一刃人 ==风(b:一b:)+s,(b,一b.)+… +凡一:(b一:一b.)+凡6. 一凡“·+强风(”。一b‘+小 …命题成立. 二、命题的应用 上述命题是一个非常有用的命题,用它可证明竞赛试题中一些较难的不等式,从它出发也可导出一系列著名不等式. 例1(1989年全国高中联赛试题)已知,‘(R(‘=’,2,一”,”,2),满足属I,‘卜‘, 例2(第27届IMO中国集训… 相似文献