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1.
张志刚 《中学数学研究(江西师大)》2023,(7):44-47
<正>1 题目呈现题目 (2022年高考北京卷第20题)已知函数f(x)=exln(x+1).(1)求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处切线方程;(2)设g(x)=f′(x),讨论函数g(x)在[0,+∞)上的单调性;(3)证明：对任意的s,t∈(0,+∞),有f(s+t)>f(s)+f(t).本题主要考查导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性及不等式的证明. 相似文献
2.
题目已知函数f(x)=lnx+kex(k为常数,e=2.71828…是自然对数的底数),曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与x轴平行.(Ⅰ)求k的值;(Ⅱ)求f(x)的单调区间;(Ⅲ)设g(x)=(x2+x)f′(x),其中f′(x)为f(x)的导函数.证明:对任意x>0,g(x)<1+e-2.本题是2012年山东高考数学理科试题函数问题压轴题,在知识上主要考查函数的定义域、单调性,导数、导数的几何意义,不等式的证明; 相似文献
3.
范明辉 《中学数学研究(江西师大)》2023,(1):52-53
<正><正>一、试题呈现(2022年第七届湖北省高三调研模拟考试第22题)已知函数f(x)=xex-1,g(x)=a(lnx+x).(1)若不等式f(x)≥g(x)恒成立,求正实数a的值;(2)证明：x2ex>(x+2)lnx+2sinx．二、试题分析本题属于探索创新情境,以指数函数和对数函数为载体,考查导数在不等式恒成立求参数值的问题以及证明不等式的问题中的应用,涉及到函数的单调性、极值、最值等知识, 相似文献
4.
范广法 《河北理科教学研究》2014,(6):46-48
正题1设函数f(x)1=lnx+1/x,已知xf(x1)=f(x2),x2x10.求证:x1+x22.参考答案的思路是用函数的单调性证明x1+x22,主要步骤有:一是引入函数g(x)=f(2-x)与h(x)=f(x)-g(x),并结合导数研究其单调性;二是证明当x1时h(x)0即f(x)g(x);三是结合已知并根据以上两步推出x1+x22.详细过程类似于 相似文献
5.
用导数证明不等式是证不等式的一种重要方法,证明过程往往简捷、明快,特别是证明超越不等式,更是如鱼得水.证明的第一步要考虑如何构造函数,是证明的关键.若函数构造恰当,把不等式的证明转化为利用导数研究函数的单调性或求最值,从而证得不等式.本文谈谈在用导数证明不等式时,构造辅助函数的几种常用途径.途径一构造差函数直接作差,即构造差函数,是构造辅助函数的最主要方法.例1求证:不等式x-x22<1n(1+x)0,所以y=f(x)在(0,+∞)上单调递增,因为x>0,且f(x)在… 相似文献
6.
<正>以下是2011年辽宁的一道高考题.已知函数f(x)=lnx-ax2+(2-a)x.(1)(2)略;(3)若函数y=f(x)的图象与x轴交于A、B两点,线段AB中点的横坐标为x0,证明:f'(x0)<0.本题考察了形如f(x)=plnx+mx2+nx+c(p,m,n,c∈R)的导数题型.对导数问题,高考重点考查两方面内容:(1)函数的单调 相似文献
7.
《中学生数理化(高中版)》2016,(2)
<正>导数在研究函数性质中有哪些应用呢?下面结合具体的实例进行分析。一、利用导数研究函数的单调性例1设函数f(x)=aln x+x-1/x+1,其中a为常数。(1)若a=0,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;(2)讨论函数f(x)的单调性。 相似文献
8.
函数综合题以函数性质为依托,融导数、不等式、分类讨论和数学建模等知识于一体,以其抽象多变、解法灵活、能力要求高等特征而成为高考的热点试题.下面对近年常考的综合试题的考点进行解析,希望能对同学们复习备考有所帮助和启示.考点1 函数概念与性质综合题例1 (2001年新课程卷高考题)设a>0,f(x)=exa+aex是R上的偶函数.1求a的值;2证明f(x)在(0,+∞)上为增函数.解析:可严格按照定义去解决函数奇偶性、单调性问题;亦可用导数知识去证明单调函数.1解:由偶函数的定义得exa+aex=1aex+aex(a-1a)(ex-1ex)=0.∵上式对任意x∈R都成立,∴a-a-1=0,… 相似文献
9.
夏俊梅 《数理化学习(高中版)》2013,(2):30
题目:已知a,b是实数,函数f(x)=x2+ax,g(x)=x2+bx,f’(x)和g’(x)是f(x),g’(x)的导函数,若f’(x)g’(x)≥0在区间I上恒成立,则称f(x)和g(x)在区间I上单调性一致(1)设a>0,若函数f(x)和g(x)在区间[-1,+∞)上单调性一致,求实数b的取值范围;(2)设a<0,若函数f(x)和g(x)在以a,b为端点的开区间上单调性一致,求|a-b|的最大值. 相似文献
10.
在新课标中,应用导数研究函数的单调性进而证明不等式是近些年来高考中出现的新热点．导数为证明提供了“金钥匙”,解题如行云流水,简捷明快．现举几例,予以说明．例1若x＞-1,证明：In(x+1)≤x．证明：令f(x)=In(x+1)-x,则f(x)=1/(x+1)-1．令f′(x)=0,解得x=0．当-1＜x＜0时,f(x)＞0,所以f(x)在区间(-1,0)上单调递增．当x＞0时,f(x)＜0,所以f(x)在区间(0,+∞)上单调递减．所以,当x＞-1时,f(x)=In(x+1)-x≤f(0)=0,即In(x+1)≤x．方法步骤：(1)移项,使不等式一边为0,构造辅助函数； 相似文献
11.
蔡瑞卿 《中学数学研究(江西师大)》2023,(2):13-16
<正>一原题呈现题目已知f(x)=lnx+ax+1,f’(x)为f(x)的导函数．(1)若对任意x> 0都有f(x)≤0,求a的取值范围;(2)若0 相似文献
12.
王湘宏 《数学大世界(高中辅导)》2003,(11):16-17
导数具有丰富多彩的性质和特性,利用导数研究或处理以前学过的一些问题,既可以加深对导数的理解,又可以使得有些数学问题得到简化.下面选解评析几例. 一、判断或证明函数的单调性[例1] 已知a≥1,求证:函数f(x)=x2+1~(1/x2+1)-ax在[0,∞)上是单调函数. 相似文献
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导数的引入为高中数学注入了新的活力,使很多问题的讨论变得简单、方便的多了.同时,导数又是同学们后继学习的基础,因此,导数的应用成为近几年高考的热点.本文就导数在解题中的应用及注意事项作以例谈,供大家参考. 一、证明函数的单调性例1 (2001·新课程)设 a>0,f(x)=exa+aex 是R上的偶函数.(1)求a的值;(2)证明f(x)在(0,+∞)是增函数.解析 (1)依题意,对一切 x∈R 有 f(x)=f(-x),即exa+aex =1aex+aex 所以a-1aex-1ex =0对一切 x∈R 都成立.由此得到a-1a=0,即a2=1.又因为a>0,所以a=1.(2) f(x)=ex+1ex ,∵ f′(x)=ex-e-x=e2… 相似文献
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导数是新课标下的新增内容.导数的工具性拓展了导数的学习与研究空间,除了应用导数解决函数的单调性、最值外,在求函数的值域、证明不等式、距离等方面都有广泛的应用,在高考复习时要重视.一、应用导数的定义求函数的极限【例1】已知f(x)=lnx,求极限limx→1f(x)-f(1)x-1的值.解:∵f(x)=lnx,f′(x)=1x,∴limx→1f(x)-1x-1=f′(1)=1.点评:导数定义的等价形式为f′(x0)=limΔx→0f(x0+Δx)-f(x0)Δx=limx→x0f(x)-f(x0)x-x0.二、应用导数的工具性求函数的单调区间、最值及值域【例2】求函数f(x)=xcosx-sinx(x≥0)的单调递增区间.解:f′(x)=-xsi… 相似文献
15.
陈鸿斌 《中学数学研究(江西师大)》2021,(3)
1问题呈现问题1(2020全国Ⅱ卷文21)已知函数f(x)=2 ln x+1.(1)若f(x)≤2x+c,求c的取值范围;(2)设a>0,讨论函数g(x)=f(x)-f(a)x-a的单调性.问题2(2020天津卷20)已知函数f(x)=x 3+k ln x(k∈R),f′(x)为f(x)的导函数.(1)当k=6时,(i)求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;(ii)求函数g(x)=f(x)-f′(x)+9 x的单调区间和极值. 相似文献
16.
《中学生数理化(高中版)》2016,(11)
<正>利用导数判断函数的单调性,进而确定函数的单调区间,这是导数的几何意义在研究曲线变化规律时的一个应用,它充分体现了数形结合的思想。特别要注意的是:(1)f(x)为增函数 f'(x)≥0且f'(x)=0的根有有限多个;(2)f(x)为减函数 f'(x)≤0且f'(x)=0的根有有限多个。例1若函数f(x)=x3-ax3-ax2+4在(0,2)上单调递减,求实数a的取值范围。 相似文献
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随着导数内容进入新教材,函数的研究范围也随之扩大,用导数的方法研究三次函数的性质,不仅方便实用,而且三次函数的性质变得十分明朗,本文给出三次函数的三大主要性质.1单调性三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a>0).(1)若b2-3ac≤0,则f(x)在(-∞,+∞)上为增函数;(2)若b2-3ac>0,则f(x)在(-∞,x1)和(x2,+∞)上为增函数,f(x)在(x1,x2)上为减函数,其中x1=-b-3ab2-3ac,x2=-b+3ab2-3ac.证明f′(x)=3ax2+2bx+c,Δ=4b2-12ac=4(b2-3ac).(1)当Δ≤0,即b2-3ac≤0时,f′(x)≥0在R上恒成立,即f(x)在(-∞,+∞)为增函数.(2)当Δ>0,即b2-3ac>0时,解方程f′(x)=0,… 相似文献
18.
题目 已知函数f(x)=ex-ln(x+m).
(Ⅰ)设x=0是f(x)的极值点,求m,并讨论f(x)的单调性;
(Ⅱ)当m≤2时,证明f(x)＞0.
(Ⅰ)略.
(Ⅱ)解法1 当m≤2,x∈(-m,+∞)时,恒有ln(x+m)≤ln(x+2),即只需证明m=2时成立,即ex-ln(x+2)＞0即可.
即证明ee|-x-2 ＞0.
设g(x)=eex-x-2,g’(x)=ex+ex-1,
因为g″(x)=ex+ex(1+ex)＞0,知g’(x)在(-2,+∞)上为单调递增函数. 相似文献
19.
20.
导数是高等数学的重要概念之一,它是研究可导函数的重要工具.在研究函数的单调性、极值、曲线的切线等方面都有它的一席之地.本文拟通过实例来剖析导数在初等数学中的一些应用.1 研究函数的单调性 利用导数研究函数的单调性,主要是根据下列结论:“设函数 y = f (x) 在某个区间内可导,若 f ′(x) > 0 ,则 f (x) 在此区间内为增函数;若 f ′(x) < 0 ,则 f (x) 在此区间内为减函数”.其一般步骤为:(1)求出导函数 f ′(x) ;(2)令 f ′(x) > 0 ,求出其解集,即为 f (x) 的单调递增区间;令 f ′(x) < 0 ,求出其解集,即 f (x) 的单调递减区间. … 相似文献