利用向量的坐标运算解决若干问题     

徐祝庆 《数学教学研究》2007,(4):27-30

向量作为解决问题的一种基本工具,在数学与物理学中有着广泛的应用,特别是在解决数学问题中,其地位与作用是不可低估的,利有向量既可以解决立体几何问题,同样也可以解决不少复杂的代数与解析几何问题.下面介绍利用向量的坐标运算解题的若干范例,供参考.1求角1.1在立体几何中求线线角例1(1995年全国高考试题)如图1所示,A1B1C-ABC是直三棱柱,∠BCA=90°,点D,F分别是A1B1、A1C1的中点,若BC=CA=CC1,则BD与AF所成角的余弦值是多少?图1解根据题意,以C为原点,以CB,CA,CC1所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系.因为BC=CA=CC1,不妨设…  相似文献   

从特殊情况获取信息     

马明 《时代数学学习》2006,(4)

问题圆内接四边形的两条对角线互相垂直,试证该四边形的对边平方和等于定值.自己试一试,如果思维陷入困境,再读下面的.已知条件很清楚,而结论中的“定值”等于多少,题中并未说明.如果能先把这个“定值”寻求到,问题就趋于明朗化,解题就有了方向.方法是从特殊情况获取信息.这里的特殊情况是“两条对角线正好是圆的两条直径”.根据图1,有AB=CB,在直角三角形BCD中,BC2+CD2=BD2,所以这个“定值”应是“直径的平方”.在一般情况下,此结论成立吗?这就是我们要证明的.图1图2如图2,作直径DB′,如能证得CB′=A B,结论就被证实了(作直径DB′…  相似文献   

特征分析思想在解数学竞赛题中的应用     

周瑜君 《中等数学》2005,(11):13-15

本文结合例题介绍特征分析思想的应用.1关系式特征数学竞赛题中,常会给出一些关系式,有的时候可恰当地转化关系式的形式,使之与我们学过的某些知识建立起联系,从而找到解题的切入点.例1已知a、b、c为△ABC的三边长,且满足a2=b2 bc.求证:∠A=2∠B.分析:考虑到已知条件给出的关系式的特征a2=b2 bc=b(b c),a.a=b.b b.c.比较这两种特征,我们可以联想到相似三角形中的比例关系,同时可以构造图形来解此题.图1证明:如图1,延长CA到D,使得AD=AB=c,则CB2=CA.CD.所以,CB为△ABD的外接圆过点B的切线.注意到∠ABC=∠ADB=∠ABD,故即∠A=2∠B…  相似文献   

线段的调和分割在证明两角相等中的应用     

沈文选  ;羊明亮 《中学数学研究》2009,(8):31-33

设PC、PD分别为△PAB的∠APB的内、外角平分线,由三角形内、外角平分线性质,可得AC／CB=PA／PB=AD／DB,更一般地,若两点C、D内分与外分同一线段AB成同一比值,即AC／CB=AD／DB,则称点C、D调和分割线段AB．显然,当C、D调和分割AB时,也有A、B调和分割CD：CA／AD=CB／BD,如图1,其中PA,PB,PC、PD也称为调和线束．  相似文献   

发挥新教材的优势 利用向量研究空间图形     

梁克强 《数学教学通讯》2005,(1)

新教材的特点之一是引入向量,并且用坐标表示向量.这便为用“数”的方法,研究立体几何“形”的问题,建立了崭新的平台.1垂直用空间向量的观点处理立体几何的线面关系,把几何问题代数化,降低立体几何的难度.图1例1如图1,已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是菱形,且∠C1CB=∠C1CD=∠BCD=60°,当CDCC1的值为多少时,能使A1C⊥平面C1BD?请给出证明.解:设CDCC1=x,CD=2,则CC1=2x.因为BD⊥平面ACC1A1,所以BD⊥A1C.所以只须求满足:A1C.C1D=0即可.设AA1=a,AD=b,DC=c,则A1C=a+b+c,C1D=a-c.所以A1C.C1D=(a+b+c)(a-c)=a2…  相似文献   

法向量求二面角在2007年高考中的体现     

陈方涛 《河北理科教学研究》2008,(3)

高中立体几何引入了空间向量,大大降低了立体几何解题的难度.随着新课程改革的进行,向量的应用将会更加广泛,这在2007年高考数学解答题中得到了充分的体现.本文试以2007年各地高考题为例,介绍法向量在求二面角中的应用.  相似文献   

向量考题分类剖析     

贺明荣 《中学理科》2007,(12):21-24

向量是高中数学的重要组成部分,它具有几何、代数等多种形式,渗透于高中数学的各个领域,构成中学数学知识的一个交汇.本文例谈2007年高考向量试题的考查视角.视角一:向量的基础知识【例1】(2007年上海高考)直角坐标系xOy中,i,j分别是与x,y轴正方向同向的单位向量.在直角三角形ABC中,若AB=2i j,AC=3i kj,则k的可能值个数是().A.1B.2C.3D.4解析:由AB=2i j,AC=3i kj得BC=AC-AB=i (k-1).j.若∠A为直角,则AB.AC=0,即2.3 1.k=0,∴k=-6;若∠B为直角,则BA.BC=0,即(-2).1 (-1).(k-1)=0,∴k=-1;若∠C为直角,则CA.CB=0,即(-3).(-1) (-k)…  相似文献   

2007年平面向量考題例析     

张梦芬  郭兴甫 《高中数理化》2007,(10)

平面向量是高中数学新教材新增的内容,由于向量具有"数"和"形"的特点,因此很多问题如三角函数、数列、解析几何、立体几何等都与向量知识结合.向量当作数学解题的一种工具,在数学解题中的作用越来越被人们重视,更受命题者的青睐.本文就2007年全国部分省市高考中的向量问题分析说明,以期对同学们2008年高考一轮的复习有所帮助.  相似文献   

遇“斜”化“直” 柳暗花明     

刘顿 《初中生世界(初三物理版)》2004,(27)

掌握了解直角三角形的知识后,我们手中又多了一个解题工具.但是解题中经常遇到的三角形并不是直角三角形,这时怎么办呢?遇到这种情况,不妨根据题意,结合图形,遇“斜”化“直”,即会柳暗花明.现举几例说明.例1(2002年重庆市中考试题)如图1,在△ABC中,∠A=30°,tanB=13,BC=10√,则AB的长为.分析在△ABC中,由条件∠A=30°,tanB=13,可想到遇“斜”化“直”的方法.即过点C作CD⊥AB于D.于是在Rt△BDC中,CDDB=13.设CD=x,则DB=3x(x>0).由勾股定理得x2+(3x)2=(10√)2,即x=1(负根舍去).在Rt△ADC中,∠A=30°,所以AD=3√·CD=3√.因此…  相似文献   

“三招”破解向量问题     

于仁 《数理化解题研究》2013,(8):9

向量是代数与几何的结合,具有"数"和"形"的双重特征,不少向量问题,如何找到解题突破口呢?第一招:图形法,用平面几何的知识解决例1已知|a|=1,|b|=1,a⊥b,(a-c)·(b-c)=0,则向量c的模最大值是____.解析作OA=a,OB=b,且OA⊥OB,如图1,设C为平面内的某一点,则OC=c,于是CA=a-c,CB=b-c,由于(a-c)·(b-c)=0,知CA⊥CB,故0、A、C、B四点共圆,则线段AB为圆的直径,弦OC的最大值不超过直径,所以向量c  相似文献   

这个结论真好(初三)     

郑闪  陈金亮 《数理天地(初中版)》2004,(8)

结论如图1,C是线段AB上的一点,D是CB的中点,则AB AC=2AD.证明AB AC=(AC CB) AC =2AC 2CD=2AD.这个结论简单易懂,恰当地应用对解题帮助很大,请  相似文献   

四点共圆的又一判定定理及其应用     

《中学数学杂志》2018,(2)

<正>定理如图1,AZ是∠XAY的平分线,B,C,D分别是AX,AZ,AY上的点,且满足AB≠AD,CB=CD,则A,B,C,D四点共圆.证明因为AB≠AD,不妨设AB>AD,不失一般性.在AB上截取AE=AD,连结EC(如图1).因为AZ是∠XAY的平分线,所以△AEC≌△ADC(SAS),所以∠AEC=∠ADC,CE=CD.因为CB=CD,所以CE=CB所以∠CEB  相似文献   

空间角与距离的常用方法展示     

聂文喜 《中学生阅读》2008,(4)

空间角与距离既是立体几何的重点,也是学习的一个难点,本文结合2007年高考试题,展示空间角与距离的常用方法,希望对同学们的高考复习有所启示.异面直线所成的角【例1】(2007年高考全国卷Ⅰ第7题)如右图,正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2AB,则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为()A.51B.52C.53D.54分析1以D1为角的顶点,连结CD1,利用平行四边形A1BCD1平移直线A1B.解法1:由题意设AB=a,则AA1=2a,如右图,连结CD1、AC,则由A1D1CB为平行四边形得CD1与A1B平行且相等,∠AD1C(或其补角)为两异面直线所成的角.在△AD1C中,AC=2a,AD1=5a,D1C=5a,∴由余弦定理得cos∠AD1C=2(5a)2-(2a)22&#215;5a&#215;5a=180aa22=54.∴选D.分析2以B为角的顶点连结BC1,利用平行四边形ABC1D1平移直线AD1.解法2:如右图,连结BC1、A1C1,则由AB∥C1D1且AB=C1D1知ABC1D1为平行四边形,∴BC1∥AD1,∴∠A1BC1(或其补角)是异面直线A1B与AD1所成的角,在△A1BC1中,易求得cos∠A...  相似文献   

求解高考几何题的向量方法     

董超慈  杨寿有 《高中数学教与学》2002,(5):20-24

<正> 向量是一个很有用的数学工具,它的应用非常广泛.在高中数学中运用向量知识解题,特别是几何问题,思路清晰、目标明确、易于掌握.本文举例介绍求解高考几何问题的向量方法.例1 (1988年高考题)在棱长都相等的四面体ABCD中,E、F分别是棱AD、BC的中点,连接AF、CE(如图1),求异面直线AF与CE的所成角.  相似文献   

点击以图形为载体的平面向量问题     

侯建国 《高中生》2009,(10):19-20

以三角形为载体的平面向量问题 例1（2009年高考天津文科卷）若等边△ABC的边长为2√3,平面内一点M满足^→CM=1/6^→CB＋2/3^→CA,则^→MA·^→MB=____.  相似文献   

“共线向量定理”在解题中的应用     

赵玉华 《中学数学杂志》2007,(3):54-56

近几年的高考试题，很多都是以向量知识为背景，与三角函数、数列、解析几何、立体几何等知识交汇的综合性问题向量作为数学的一种工具，在中学数学解题中的作用越来越被人们所重视本就“共线向量定理”在解题中的应用加以探究，不妥之处敬请同行斧正。[第一段]  相似文献   

高考全国卷（新课程）理科（20）题别解     

卓杰 《中学数学月刊》2004,(8):5-6

空间向量的引入给立体几何解题注入了活力,使立体几何解题方法多样化,既可以用几何法,也可以用向量法;既可以用向量的坐标运算,也可以用向量的几何运算.本文就2004年高考全国卷数学(新课程)理(20)题给出不同于评分答案的几种解法,供读者参考.  相似文献   

向量的乘积在数学解题中的应用     

宋丽艳  刘秀娟 《中国农村教育》2008,(7):126-128

向量是联系代数和几何的桥梁,也是数学研究的一种有力工具。向量具有几何形式和代数形式的“双重身份”,数形结合使得向量的应用更为广泛,是中学数学立体几何、解析几何、不等式、三角函数等知识的一个交汇点,因此也愈来愈成为高考的命题热点。所以“向量”在数学中的位置也就显得越来越重要了．本文主要讨论向量的乘积运算在数学解题中的巧妙运用。  相似文献   

例析运用法向量求二面角     

陈方涛 《中学数学研究(江西师大)》2008,(4):33-35

高中立体几何引入了空间向量,大大降低了立体几何解题的难度.随着新课程改革的进行,向量的应用将会更加广泛,这在2007年高考数学解答题中得到了充分的体现.但在平时教学中,我们的应用还不够,特别是法向量的应用,教科书中只给了一个概念.实质上,法向量的灵活应用,将使得原本很繁琐的推理,变得思路清晰且规范.本文以2007年各地高考题为例,介绍法向量在求二面角中的应用.  相似文献   

话说45°和2^1/2     

郑晓峰 《数理化学习(初中版)》2015,(4):15-16

对于一些几何题,我们有时感觉无从下手,一点思路也没有,几何题中的一些"特殊条件"往往是解题的金钥匙.在这个所谓的"特殊条件"中其中有一类是45°和蕴含着的潜在信息,便是有效的解题技巧,现举一例与大家分享.题目:如图,⊙O为△ABC的外接圆,已知CA=CB,∠ACB=90°,点D为半圆上任意一点（D与C在AB两侧）,连结AD、BD、CD,求证AD+BD=2^1/2 CD.  相似文献