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本文试以一道典型的平面几何证明题为例 ,从求证结论的结构特征入手 ,通过构造几何模型来解决问题 .目的在于开拓思路 ,引导创新 .已知 :在△ ABC中 ,∠ A =2∠ B,a、b、c为∠ A、∠ B、∠ C的对边 ,求证 :a2 =b2 + bc.本题通常采用“作线段 b + c,构造相似三角形”或“综合运用角平分线、合比、相似等性质”来证 .笔者对本题作了较为深入的探讨 ,发现了许多新颖、巧妙的证法 ,现将较为典型且具有代表性的证法介绍如下 ,供读者参考 ,以期起到抛砖引玉的作用 .1 构造相交弦定理模型思路 1 原结论可变形为 ( a + b) .( a -b)= b .c,,于… 相似文献
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题 在△ABC中 ,∠A =80° ,a2 =b(b +c) ,求∠B。解 在△ABC中 ,cosB =a2 +c2 -b22ac =c2 +bc2ac =c +b2a ,所以b +c=2acosB ,故a2 =b(b+c) =b·2acosB ,a =2bcosB ,即sinA =2sinB·cosB =sin2B。考虑到∠A的值及 2∠B的范围 ,可得 :∠A =2∠B或∠A +2∠B =1 80°,故∠B =40°或∠B =5 0°。解答错了 !错在哪里 ?我们检验一下 ,当∠B =5 0°时 ,∠C =5 0° ,可得b =c。故a2 =b(b +c) =b2 +c2 ,此三角形应为直角三角形 ,且∠A应等于 90°,与已知条件矛盾。问题出在哪里呢 ?实际上由b +c =2acosB到a =2bcosB为同一条件叠代 ,是… 相似文献
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题1在△ABC中,∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c,AD为BC边上的高,且AD=BC,求b/c+b/c的最大值.解法1由AD=BC,可得S△ABC=1/2a2=1/2bcsinA,从而得a2/bc=sinA① 相似文献
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邓持海 《数学大世界(高中辅导)》2003,(6):39-39
余弦定理:△ABC中,∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c,则a2=b2+c2+2bccosA,b2=a2+c2-2accosB.c2=a2+b2-2abcosC.该定理可以变形为:b2+c2-a2=2bccosA ①a2+c2-b2=2accosB ②a2+b2-c2=2abcosC ③该组变式在 相似文献
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在三角形中刻画边角关系最重要的定理是正弦定理和余弦定理.但在近几年高考数学试题中经常出现三角形中角的正切问题.为此我们向读者介绍下面的一个正切公式:定理设非直角△ABC的三个内角A、B、C所对的边为a、b、c,S为其面积,则有:tanA=b2+4c2S-a2;tanB=a2+4cS2-b2;tanC=a2+4bS2-c2.证明由余弦定理cosA=b2+2cb2c-a2及面积公式S=12bcsinA得:tanA=csionsAA=b22+bccsi2n-Aa2=b2+4c2S-a2.同理可证其它两式.这个公式刻画了三角形(非直角三角形)的三个角正切值与其面积、三边的关系.在解有关三角形正切问题中有着很广泛的应用.现举几例予以说明.例1(2005年天津卷理17题)在△ABC中,∠A、∠B、∠C所对的边长分别为a、b、c,设a、b、c满足条件b2+c2-bc=a2和bc=21+3,求∠A和tanB.解由余弦定理得:cosA=b2+2cb2c-a2=bc2bc=21.故∠A=3π.由正切公式得:tanB=a2+4cS2-b2=4×21bcsin3πa2+c2-b2=2c23-bcbc=2c3-bb=2.bc3-1=3... 相似文献
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王辉 《数理化学习(初中版)》2000,(12):13-15
在2000年全国奥林匹克数学竞赛预赛试题中有这样一道题：设a,b,c分别是△ABC的三边的长且a/b=a+b/a+b+c,则它的内角∠A、∠B的关系是（ ） 相似文献
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同学们在运用勾股定理及其逆定理解题时常常出现这样那样的错误 .本文拟对相关错解作出分析 ,以提高同学们对这两个互逆定理的认识与运用 . 一、未注意确定斜边 例 1 在△ABC中 ,∠A =90°,a ,b,c是∠A、∠B、∠C的对边 ,且a=8,b=6,求c.错解 由勾股定理 ,得c2 =a2 +b2 =82 + 62 =1 0 0 ,故c=1 0 .剖析 在直角三角形中运用勾股定理时 ,首先应弄清哪个角是直角 ,从而判断哪条边是斜边 .上述错解错在死搬硬套勾股定理表达式“c2 =a2 +b2 ”上 .其实 ,由∠A=90°可知a应是斜边 ,由勾股定理应得a2 =b2 +c2 ,故c2 =a2 -b2 =82 -62… 相似文献
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本文结合例题介绍特征分析思想的应用.1关系式特征数学竞赛题中,常会给出一些关系式,有的时候可恰当地转化关系式的形式,使之与我们学过的某些知识建立起联系,从而找到解题的切入点.例1已知a、b、c为△ABC的三边长,且满足a2=b2 bc.求证:∠A=2∠B.分析:考虑到已知条件给出的关系式的特征a2=b2 bc=b(b c),a.a=b.b b.c.比较这两种特征,我们可以联想到相似三角形中的比例关系,同时可以构造图形来解此题.图1证明:如图1,延长CA到D,使得AD=AB=c,则CB2=CA.CD.所以,CB为△ABD的外接圆过点B的切线.注意到∠ABC=∠ADB=∠ABD,故即∠A=2∠B… 相似文献
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1.已知一边b,此边的邻角∠A及其余两边的和a+c,求作此三角形。注:此题若用已知周长去取代其中已知的a+c,实质相同。解:以b,a+c为两边,∠A为夹角作三角形。b的对角∠P就确定了。以CP为 相似文献
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《时代数学学习》2004,(4):46-49
初二年级第2试一、选择题(每小题7分,共56分)以下每题的4个结论中,仅有一个是正确的,请将正确答案的英文字母填在题后圆括号内.1.已知1a+1b+1c=0,a2+b2+c2=1,则a+b+c的值等于().(A)1(B)-1(C)1或-1(D)02.已知整数a,b,c,d满足abcd=25,且a>b>c>d,那么｜a+b｜+｜c+d｜等于().(A)0(B)10(C)2(D)123.如图1,∠ABC=31°,又∠BAC的平分线AE与∠FCB的平分线CE相交于E点,则∠AEC等于().(A)14.5°(B)15.5°(C)16.5°(D)20°图1图24.计算机中的堆栈是一些连续的存储单元,在每个堆栈中数据的存入、取出,按照“先进后出”的原则.如图2,堆栈(1)的… 相似文献
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杨峰 《中学数学教学参考》2003,(10):62-62
定理 在△ABC中 ,∠A =n∠B ,a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边 ,a、b、c的关系记为 fn=fn(a ,b,c) =0 ,则有 (记N =14( 2n + ( -1 ) n +1+ 1 )fn=∑nk =1( -1 ) k- 1C2k - 1n b[4a2 c2 -(a2 -b2 +c2 ) 2 ]k - 1(a2 +c2 -b2 ) n- 2k+1-a( 2ac) n - 1.证明 :由 (cosB +isinB ) n =∑nk=0 Ckncosn -kB·(isinB) k=cosnB +isinnB ,得 sinnB =∑Nk=1C2k- 1n ( -1 ) k- 1sin2k- 1B ·cosn - 2k+1B .①又由sinAsinB=sinnBsinB =ab ,sinnB =absinB ,代入①即得∑Nk=1( -1 ) k - 1C2k- 1n sin2k- 2 B·cosn - 2k+1B -a =0 .②由余… 相似文献
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初学平面向量这部分内容时,同学们常常会出现各种错误.现列举几种常见错误,供大家辨析.一、两向量夹角的意义不清例1△ABC三边长均为2,且BC=a,CA=b,AB=c,求a.b+b.c+c.a的值.错解:∵△ABC三边长均为2,∴∠A=∠B=∠C=60°,|a|=|b|=|c|=2.∴a.b=|a|.|b|cosC=2,同理可得b.c=c.a=2,∴a.b+b.c+c.a=6.图1评析:这里误认为a与b的夹角为∠BCA,两向量的夹角应为平面上同一起点表示向量的两条有向线段间的夹角,范围是[0,π].因此a与b的夹角应为π-∠BCA.正解:如图1,作CD=BC,a与b即向量BC与CA的夹角为180°-∠BCA=120°.∴a.b=|a|.|b|cos12… 相似文献
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张翠兰 《中学数学研究(江西师大)》2020,(1):31-32
2013年北京理科第15题:在ΔABC中,a=3,b=26,∠B=2∠A.(Ⅰ)求cos A的值;(Ⅱ)求c的值.有高三备考资料中,关于此题给出的参考答案如下(不妨称解法1):(Ⅰ)∵a=3,b=26,∠B=2∠A,∴由正弦定理得3 sin A=26 sin 2A,化简得cos A=63. 相似文献
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同学们在学习用推理方法研究三角形时,常碰到在已知条件或待证结论中有二倍角(∠A=2∠B)的情形,很多同学对此不知从何入手,其实只要对二倍角加以分析,就不难找到解题的切入点.下面以2005年天津市中考题为例,介绍三种思考方法,意在抛砖引玉.例(2005年天津市中考题)在△ABC中,∠A、∠B、∠C所对的边分别用a、b、c表示.(Ⅰ)如图1,在△ABC中,∠A=2∠B,且∠A=60°.求证a2=b(b+c).(Ⅱ)如果一个三角形的一个内角等于另一个内角的2倍,我们称这样的三角形为“倍角三角形”.(Ⅰ)中的三角形是一个特殊的倍角三角形,那么对于任意的倍角三角形ABC,… 相似文献
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一个三角形不等式的巧证 总被引：1，自引：0，他引：1
《数学教学》2 0 0 1年第 2期问题 532是 :在△ ABC中 ,∠ A,∠ B,∠ C的对边 BC=a,CA= b,AB=c,试证明 :2 bcos C2 +2 ccos B2 >a+b+c. (1 )这是一个形式优美的不等式 ,第 3期给出化边为角的常规的证明方法 ,下面我们给出另一种简便证法 .分析 观察不等式 (1 ) ,我们设想 ,如果能够构造出以 2 bcos C2 ,2 ccos B2 ,a+b+c为边长的三角形 ,则 (1 )式成立就不言而喻了 ,于是我们自然得到如下证法 .图 1证明 过 A点作直线 l∥ BC,BB′平分∠ABC,CC′平分∠ ACB,且 BB′∩ l=B′,CC′∩ l=C′.再过点 B作 BD∥ CC′,BD∩ l=D… 相似文献
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余长生 《山西教育(综合版)》2000,(8)
在解有“比”的习题时 ,设 K可以使含“比”的项用 K的代数式表示 ,有利于思路的展开 ,达到顺利解题的目的。例 1 .在△ ABC中 ,已知∠ A∶∠ B∶∠ C=1∶ 2∶ 3,求 a∶ b∶ c。略解 :设∠ A=K,则∠ B=2 K,∠C=3K,由∠ A ∠B ∠ C=1 80°,得∠ A=30°、∠ B=60°、∠C=90°。设 a=K′,则 c=2 K′。∴b=3 K′,∴ a∶ b∶ c=K′∶ 3K′∶ 2 K′=1∶ 3∶ 2。 例 2 .如图 ,在△ ABC中 ,∠ ACB =90°,CD⊥ AB,若 AC=6,sin B=35。求 CD。略解 :由∠ACB=90°,CD⊥AB易得∠ B=∠ ACD。∵ sin B=35,∴ sin∠ ACD=ADAC=35… 相似文献
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贵刊1990年第4期P23介绍了这样一题:“正数a、b、c、A、B、C满足条件a+A=b+B=c+C=k,求证aB+bC+cA相似文献
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定理设△ABC的三个内角A、B、C的对边分别是a、b、c,则b~2=a~2+ac的充要条件是∠B=2∠A. 这是一道脍炙人口的名题,通常被人们视为平几中一题多解的典范,而往往忽视了它的潜在功能.本文就其应用介绍如下: 一、解三角形例1 若△ABC的三边长为连续整数,且最大角∠B是最小角∠A的两倍,求三角形的三边长. (第10届IMO试题) 解:设AB=X,则AC=I十1,M=I—l,由定理得 (。+1)2一k-])’+k-1),化简整理得X’-SX一0, ∴\X=0(舍去)或X一5.故 AB=5.M=4,AC=6. 例2 在△ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c,若角A、B、C的大小成等比数列且b~2-a~2=ac,则 相似文献