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1.
构造向量求函数最值 总被引：2，自引：2，他引：2
函数最值问题 ,屡屡出现在国内外各类竞赛试题中 .适当构造向量 ,可使一类函数最值问题的思路清晰 ,解题方法简捷巧妙 ,并富于规律性、趣味性 .定理 m,n为两个向量 ,则| m| 2 ≥ ( m· n) 2| n| 2 .证明 设两向量的夹角为θ,则| m| 2 =| m| 2· | n| 2| n| 2 ≥ | m| 2 | n| 2 cos2θ| n| 2 =( m· n) 2| n| 2 ,证毕 .1 构造向量 ,求整函数最值例 1 求实数 x,y的值 ,使得 ( y- 1 ) 2 +( x+ y- 3) 2 + ( 2 x+ y- 6 ) 2 达到最小值 .( 2 0 0 1年全国初中数学联赛试题 )解 构造 m=( y- 1 ,x+ y- 3,2 x+ y-6 ) ,n=( - 1 ,2 ,- 1 ) ,依定理 … 相似文献
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陈静 《数理化学习(高中版)》2006,(11)
新教材中新增了向量的内容,其中两个向量的数量积有一个性质:a·b=|a|·|b|cosθ(其中θ为向量a与b的夹角),则|a·b|=||a|·|b|cosθ|,又-1≤cosθ≤1,则易得到以下推论:(1)a·b≤|a|·|b|;(2)|a·b|≤|a|·|b|;(3)当a与b同向时,a·b=|a|·|b|;当a与b反向时,a·b=-|a|·|b|;⑷当a与b共线时,|a·b|=|a|·|b|.下面例析以上推论在解不等式问题中的应用.一、证明不等式例1已知a、b∈R ,a b=1,求证:2a 1 2b 1≤22.证明:设m=(1,1),n=(2a 1,2b 1),则m·n=2a 1 2b 1,|m|=2,|n|=2a 1 2b 1=2.由性质m·n≤|m|·|n|,得2a 1 2b 1≤22.例2已知x y z=1,求… 相似文献
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雷文阁 《数理化学习(高中版)》2005,(Z1)
两个非零向量的数量积的定义式a·b= |a||b|cosθ含有"角"和"长度";而该式又可变形为a·btanθ=|a||b|sinθtanθ,此式与三角形正弦面积有关;数量积还有坐标形式a·b =x1x2 y1y2.因此,通过数量积可沟通长度、角、坐标及三角形面积之间的关系.利用数量积解题,可以避繁就简.以下列举其在圆锥曲线中的应用. 相似文献
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1 定理及推论 定理 在直角坐标系中,设;△OAB的顶点坐标为O(0,0),A(x_1,y_1),B(x_2,y_2),且点O,A,B按逆时针方向排列,记∠AOB=θ(下同),那么x_1y_2-x_2y_1=2S△OAB=|为OA|·|OB|·sinθ. 证明 设直角坐标系中,以坐标原点O为顶点,射线O_x为始边,OA,OB为终边的角分别记为θ_1,θ_2,不妨设θ_1,θ_2∈[0,2π),记|OA|=r_1,|OB|=r_2, 相似文献
5.
正1问题的提出随着高中数学课标课程的实施,使得许多新知识进入了高中数学教材,同时也进入了高考试题.其中,线性规划问题就是这样一种知识.线性规划问题几乎是每年高考必考的内容,而且其理论和方法在实际生活中有着广泛的应用.因而,线性规划问题解法的研究,就成为一个重要的课题.2理论基础①平面向量数量积的几何意义:数量积a?b等于a的长度|a|与b在a方向上的投影|b|cosθ的乘积.即a?b=|a|?|b|cosθ,θ∈[0,π].②平面向量数量积的坐标表示:两个向量的数量积等于它们对应坐标乘积的和.即设1 1a=(x,y),2 2b=(x,y),则1 2 1 2a?b=x x+y y. 相似文献
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单文明 《中学生数理化(高中版)》2014,(7):9-9
<正>我们知道,两个向量a,b的数量积a·b=|a||b|cosθ,对于一类利用已知向量a,b表示的向量c=xa+yb,可以分别让c与a,b作数量积运算,从而建立x,y之间的等量关系.利用这一方法,能够简单地解决一类高考向量问题.下面举例说明.例1给定两个长度为1的平面向量 相似文献
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金小欣 《数学大世界(高中辅导)》2005,(4):30-32
向量具有数字化的形式,同时又具有形象化的特征,故成为联系多项数学知识的媒介.一、与代数的交汇【例1】设实数x、y、z、a、b、c满足条件:(x2 y2 z2)(a2 b2 c2)=(ax by cz)2,求证ax=by=cz.证明:设m=(x,y,z),n=(a,b,c),且m与n的夹角为θ.∵m·n=｜m｜·｜n｜cosθ,m·n=ax by cz∴ax by cz=x2 y2 z2·a2 b2 c2cosθ由已知得cosθ=±1,即θ=0或π.∴m∥n由向量平行充要条件是ax=by=cz.评注:在等式证明中,利用数量积公式,建立数形对应关系,从而问题得解.【例2】已知a,b,c,d∈R,求函数f(x)=(x a)2 b2 (x-c)2 d2的最小值.解:设m=(x a,b),n=(c-x,… 相似文献
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向量是高中教材的新增内容 ,是数形结合的典型体现 ,向量与解析几何同源同宗 .用向量知识去解决两直线共线 (平行 )、垂直及夹角等问题比传统解几方法有着很大的优越性 ,对多数师生来说 ,向量方法还是一个有待发掘的宝库 .这里略举数例 ,以期抛砖引玉 .例 1 已知动点 ( x,y)满足 ( x - 2 ) 2 + ( y - 1) 2 =2 5,求 3x + 4y的取值范围 .解 :设 a =( 3,4 ) ,b =( x - 2 ,y - 1) ,a与 b的夹角为θ,则 3x + 4y =a .b + 10 =| a| | b| cosθ+ 10 =2 5cosθ + 10 .∴ 3x + 4y的最大值为 35,最小值为 - 15,即 3x+ 4y∈ [- 15,35] .例 2 ( 1995年… 相似文献
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第1点运算定义型()必做1定义平面向量的一种运算:ab=|a|·|b| sin〈a,b〉,则下列命题:1ab=ba;2λ(ab)=(λa)b;3(a+b)c=(ac)+(bc);4若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则ab=|x1y2-x2y1|. 相似文献
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用向量的数量积公式 a·b=|a||b|cosθ(θ为向量 a 与 b 的夹角)推导正弦定理、余弦定理及射影定理时,简洁、明快.如图所示AB=AC+CB,设x轴、y 轴方向上的单位向量分别为 i、j,将上式两边分别与 i、j 相似文献
12.
李太钊 《数学大世界(高中辅导)》2006,(6)
在平时考试及竞赛中,此类问题属于比较困难的,学生不易于理解,有时无法入手,现介绍下列几种求法,以供参考.一、向量法设向量m=(1,1),n=(x-p,q-x).∵m·n≤|m|·|n|,∴y=m·n≤12 12·(x-p)2 (q-x)2=2q-p.二、不等式法利用均值不等式2ab≤a b(a>0,b>0).∵y2=x-p q-x 2x-p·q-x≤ 相似文献
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本文结合示例介绍一个简单的向量形式的三角形面积公式.结论三角形ABC中,若AB=(x1,y1),AC=(x2,y2),则三角形ABC的面积S=21|x1y2-x2y1|.证明因AB=(x1,y1),AC=(x2,y2),则cosA=AB·AC|AB||AC|=x12x1 x2y12 y1xy222 y22.∵0相似文献
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向量内积(数量积)的定义及其坐标运算(a.b=|a||b|cosθ=x1x2+y1y2+z1z2)融向量、几何、代数知识于一体,成为许多数学知识的交汇点,是数形结合、转化的最佳纽带和桥梁,是用向量法计算立体几何中各种距离和夹角的最有力的基本工具,教学一线的教师教学中应给予足够的重视. 相似文献
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命题 :设点 P(x0 ,y0 ) ,⊙ O:x2 + y2 =r2 ,直线 l:x0 x + y0 y =r2则 1当点 P在圆上时 ,直线 l与⊙ O相切 ;2当点 P在圆外时 ,直线 l与⊙ O相交 ;3当点 P在圆内时 ,直线 l与⊙ O相离 .1 证明在直线 l上任取一点 Q(x,y) ,因为向量 OP =(x0 ,y0 ) ,OQ =(x,y)所以 OP .OQ =x0 x + y0 y =r2即 | OP| .| OQ| .cos∠ POQ =r2因为 l的一个方向向量 v=(-y0 ,x0 )所以 v.OP =0 OP⊥ l故圆心 O到 l的距离d =| OQ| .cos∠ POQ =r2| OP|| OP| >r时 ,d r;故命题为真 .2 画法已知点 P和⊙ … 相似文献
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《中学生数理化(高中版)》2016,(3)
<正>一、知识梳理1.平面向量的数量积。(1)定义:已知两个非零向量a与b,它们的夹角为θ,则数量|a||b|cosθ叫做a与b的数量积(或内积),记作a·b,即a·b=|a||b|cosθ,规定零向量与任一向量的数量积为0,即0·a=0。(2)几何意义:数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积。2.平面向量数量积的运算律。(1)a·b=b·a(交换律)。 相似文献
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玉邴图 《河北理科教学研究》2013,(6)
本文介绍一个最大角定理及其几个有趣的推论,供读者欣赏.
定理 设点A(x1,y1)和点B(x2,y2)在x轴的同一侧,P(m,0)是x轴上的一动点,则当且仅当m满足(m-x1y2-x2y1)2/ y2-y1=y1y2[(x2-x1/y2-y1)2+1]时,∠BPA取得最大值.
证明:设BA与x轴的交点为Q(n,0),则由米勒问题知当且仅当| PQ | 2=|AQ||BQ|时∠BPA取得最大值. 相似文献
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恰当地应用好向量和导数,许多最值问题便迎刃而解,并且利用向量和导数来求最值,容易被学生接受.为了便于比较.一、用|a||b|≥a.b求最值例1已知x,y,z∈R ,且x y z=1,求x1 4y z9的最小值.解:令a=(1x,2y,3z),b=(x,y,z),则|a|2=1x 4y 9z,|b|2=1,(a.b)2=(1 2 3)2=36.由|a|2|b|2≥(a.b)2得,1x 4y 9z≥36,当且仅当1x=2y=3z时等号成立,即x=16,y=31,z=21.∴1x 4y 9z的最小值为36.例2已知ai,bi∈R ,且∑ni=1ai=∑ni=1bi=1,求a1a 12b1 a2a 22b2 … ana 2nbn的最小值.解析:令p=(a1a1 b1,aa2 2b2,…,anan bn,q=(a1 b1,a2 b2,…,an bn),则|p|2=a1a 21b1 a… 相似文献