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1.
设三角形 ABC外心为 O,重心为 W,垂心为 H ,则 O,W,H三点共线 ,且 |OH |=3|OW|,这便是著名的欧拉线问题 .但平面几何证法较麻烦 ,笔者用向量坐标法去证 ,感觉过程较为简洁 .证 以外心 O为原点 ,过 O平行于 BC的直线为 x轴 ,BC的中垂线为 y轴 ,建立直角坐标系 .设 AD是 BC上的高 ,并设各点坐图 1标如下 :A(a,b) ,B(- c,d) ,C(c,d) ,H (a,y) ,则 BH =(a+c,y- d) ,AC=(c- a,d- b) ,因为 BH⊥ AC,有 BH· AC=0 ,即 (a+c) (c- a) +(y- d) (d- b) =0 ,解之得 y=- a2 +c2 +bd- d2- d+b .因为 O是外心 ,所以|OA|=|OB|=|OC|,即 a… 相似文献
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李昭平 《数学大世界(高中辅导)》2006,(6)
2005年高考全国卷1(安徽、河南、河北、海南、山西)文科卷中有这样一道选择题:点O是△ABC所在平面内的一点,满足OA·OB=OB·OC=OC·OA,则点O是△ABC的()A.三条内角的平分线的交点B.三条边的垂直平分线的交点C.三条中线的交点D.三条高的交点将已知的向量等式变形:OA·OB=OB·OC 相似文献
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贵刊文[1]利用向量式给出了三角形“奇心”的定义：若O为△ABC所在平面内一点,且满足1/a·OA＋1/b·OB＋1/c·OC=0（a,b,c分别为内角A,B,C的对边）,则称点O叫做AABC的奇心． 相似文献
4.
一道IMO预选题的探索 总被引：2，自引：2，他引：2
第37届IMO预选题的第16题[1]为:设△ABC是锐角三角形,外接圆圆心为O,半径为R,AO交△BOC所在的圆于另一点A′,BO交△COA所在的圆于另一点B′,CO交△AOB所在的圆于另一点C′.证明:OA′·OB′·OC′≥8R3.①并指出在什么情况下等号成立?由于不等式①即OA′·OB′·OC′≥8OA·OB· 相似文献
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人教版九年义务教育初中几何第三册p .14 4页有这样一道例题 :已知 :如图 1,⊙O1 和⊙O2 外切于点A ,BC是⊙O1 和⊙O2 的公切线 ,B、C为切点 .求证 :AB⊥AC .图 1解题过程不难理解 ,关键在于作出两圆的内公切线 ,下面简证如下 :证明 :过点A作⊙O1 和⊙O2 的内公切线交BC于点O ,因为OB、OA是⊙O1 的切线 ,所以OB =OA .同理OC =OA ,所以OB =OC =OA .即OA =12 BC ,所以AB⊥AC .这个例题的基本特点是△ABC构成了直角三角形 ,我们不妨称△ABC为切点三角形 ,容易证明切点三角形具有如下性质 :( 1)切点三角形是以两圆的公共点… 相似文献
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2004年全国高中数学联赛第4题如下:设点O在ABC的内部,且有OA 2OB 3OC=0,则ABC的面积与AOC的面积之比为()(A)2(B)23(C)3(D)35命题组给出了一种解法,这里我们给出另一种巧妙的解法,这种解法要用到如下结论:设点P分AB的比为λ(≠-1),即AP=λPB,O为任意一点,则OP=OA1 λλOB.将题设条件OA 2OB 3OC=0变形,得OA1 22OB=-OC.①如图1,在AB上取一点P,使AP=2PB,则OP=OA1 22OB.②由①,②知OP,OC共线且|OP|=|OC|,所以S OAC=S OAP=32S OAB.S OBC=S OBP=31S OAB.∴S OBC∶S OAC∶S OAB=1∶2∶3,所以S ABC∶… 相似文献
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刘延彬 《中学数学研究(江西师大)》2006,(2):34-35
题目:△八工3C的外接圆的圆心为O,两条边上的高的交点为H,且OH=m(OA OB OC),则实数m=(2005年河南高考OB)二O, :.(m一1)〔〕A·(OCOBZ)=0, :.(m一1)〔〕A·(OC-OB) m(OCZ数学试卷巧题) 思路一:所给问题是一个填空题特例法来解决. 解法一:令△ABC为等腰直角三角形,则O为BC中点,A与H重合,故O月二m·乙一 B(〔无A OB OC)可变为aA=m OA,.‘.m=1. 思路二:考虑利用三角形故考虑用OB)二O冷A(H)(m一1)〔无A·BC=0 同理(m一1)OB·(执一1)(扒.CA=O (m一1)OC·(〔从(m一1)OC任3A=0①(口八一OC)=0净②OC一OB)二0冷③若三角形… 相似文献
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笔者将对本文中一些与三角形九点圆圆心关于三边的对称点有关的几何问题给出纯几何探讨.为了方便叙述,先对某些字母的几何意义做如下约定:
如图1,O、H、N分别为△ABC的外心、垂心、九点圆圆心,OA、OB、OC分别为△BOC、△COA、△AOB的外心,O'A、O'B、O'C分别为点O关于边BC、CA、AB的对称点,Na、N... 相似文献
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从近几年的新课程高考试卷来看,平面向量的考查以容易题、中档题为主,并多以小题形式出现,但不乏立意高、情景新、设计巧、富于创造性的题目.尤其是下列三个“看点”值得我们关注.一、以三角形“五心”为背景,强化与平几知识的综合在向量形式下,探究三角形“五心”满足的条件,既体现向量的工具作用,又强化与平几知识的联系.【例1】(2005年全国卷Ⅰ)△ABC的外接圆的圆心为O,两条边上的高的交点为H,OH=m(OA+OB+OC),则实数m=.分析:此题宜小题巧做,搞“特殊化”.考虑到问题中同时涉及三角形的外心和垂心,故不妨取直角三角形,得OH=OA+OB+… 相似文献
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单位向量是向量的一个重要概念,本文例谈对它的深层次理解巧解题.1应用单位向量定义从数上来深层次理解巧解题向量a为单位向量|a|=1;因为a|a|=||aa||=1,所以|aa|是非零向量a方向上的单位向量.例1(2002年全国高中数学联赛山东赛区预赛题)设O为△ABC内任一点,SA,SB,SC分别表示△BOC,△COA,△AOB的面积.求证:SA·OA SB·OB SC·OC=0.讲解由于三角形面积可用其内角的正弦表示,因此本题实质上是一个向量与三角的综合题.设∠BOC=α,∠COA=β,∠AOB=γ,e1、e2、e3分别表示OA、OB、OC上的单位向量,即e1=|OOAA|,e2=|OOBB|,e3=O… 相似文献
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刘正斌 《中学生数理化(高中版)》2014,(2):18-18
<正>题目:△ABC的外接圆的圆心为O,两条边上的高的交点为H,已知→OH=m(→OA+→OB+→OC),则实数m=.分析:作为填空题,要求m的值,可以考虑△ABC为直角三角形这一特殊情形(如图1).显然→OH=→OB,→OA+→OC=0,故→OB=→OA+→OB+→OC,即m=1.再对△ABC为其他特殊情形(等边三角形、顶角为30°的等腰三角形等)进行验证,由此可以推断在一般情形下亦有m=1. 相似文献
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《中学数学月刊》2005,(9)
2004年高中联赛向量题的别解及空间推广吴爱龙胡国胜熊全发(江西省丰城中学331100)题目设O点在△ABC内部,且有OA+2 OB+3 OC=0,则△ABC的面积与△AOC的面积的比为().(A)2(B)23(C)3(D)35文[1]运用三角形的重心性质给出其一简解及推广.本文另辟蹊径给出其另一简解,并由此将其予以空间推广.图1简解如图1,由OA+2 OB+3 OC=0,知12BO=14OA+34OC.因41+43=1,故在线段AC上必存在一点D,使OD=14OA+34OC,且有12BO=OD.进而知点B,O,D三点共线,且BD=3 OD.于是S△ABC=3S△AOC.选C.这里,巧用三点共线的充分条件使问题轻松获解,且易于… 相似文献
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2004年全国高中数学联赛第4题为:设O 点在△ABC内部且有(OA|→) 2·(OB|→) 3·(OC|→)= (0|→),则△ABC的面积与△AOC的面积的比为……………………………………………() (A)2; (B)2/3; (C)3; (D)3/5．向量是高中数学新增内容,在全国高中数 相似文献
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“如图1,在梯形A BC刀中,若A刀1 BC,AC和BD交于点O,则S么。,。=s。。。。。”这是部编几何第一册第2巧页的第10题。由此题又容易推出:S:·52=士OA厂沐、、::入.OD:i砍150。一a)·一卜OB·OCoin(180。一:才a)=士OA.O Bsin“·从么石去OC·ODsina=S。·S。=S:2。心 下面就应用_L述结论帅来解儿道姐妹竞赛题。 例1已知一凸五边形的面积为S,且相邻三顶点所成的三角形的面积都相等,求相邻三顶点所成三角形的面积。(1990年第一届“希望杯”数学邀请赛初二竞赛备选题)解如右FYI,设对角线A,滩3和摊:且交于O,’·‘S八』‘3””·‘… 相似文献
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四面体是三角形在空间的推广 ,因此三角形的许多性质可以推广到四面体上去 .本文以向量为工具 ,把三角形的余弦定理、勾股定理以及“在直角三角形中 ,30°的角所对的边是斜边的一半”等 4个定理推广到四面体上 .定理 1 (四面体的余弦定理 )四面体C-AOB中 ,若CO垂直于平面AOB ,平面AOC与平面BOC所成的二面角为α ,则四面体的四个面的面积之间有如下关系 :S2△ABC =S2△AOC S2△BOC S2△AOB -2S△AOC·S△BOCcosα证 以O为原点、OA为x轴 ,OC为z轴建立空间直角坐标系 ,设四个顶点的坐标分析为A(a ,0 ,0 ) ,B(b ,d ,0 )… 相似文献
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李伟 《数学学习与研究(教研版)》2013,(17):83
一、题目再现(2012新课标理数全国卷11题)已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上,△ABC是边长为1的正三角形,SC为球O的直径,且SC=2,则此棱锥的体积为().A.槡26B.槡36C.槡23D.槡22二、解法探究解法1(通过将点S到平面ABC的距离进行转化求解)由SC为球O的直径,知S到平面ABC的距离h为O到平面ABC的距离的2倍.连接OA,OB,OC,则OA=OB=OC=1. 相似文献
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章礼抗 《数理化学习(高中版)》2005,(20)
一、由向量运算性质来判断例1在ΔABC中,有AB→.BC→ AB→2=0,则△ABC为____三角形.分析:AB→.BC→ AB→2=0(?)AB→·(BC→ AB→)=0(?)AB→·AC→=0(?)AB⊥AC,则△ABC为直角三角形.例2已知0为△ABC所在的平面内一点,且满足(OB→-OC→)·(OB→ OC→-2OA→)=0,判断△ABC的形状. 相似文献
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《中学数学月刊》2005,(10)
正余弦和差化积公式的向量证明吴爱龙余建国(江西省丰城中学331100)曾兵(江西省丰城市第一中学331100)文[1]利用面积相等关系给出了正弦和差化积公式的一种构造证法,本文再给出正余弦和差化积公式的向量证法,供参考.图1证明如图1,设OA=(cosα,sinα),OB=(cosβ,sinβ)(0<β<α<π),则OA+OB=(cosα+cosβ,sinα+sinβ);OA-OB=(cosα-cosβ,sinα-sinβ).又以OA,OB为邻边作OACB,因为OA=OB=1,所以四边形OACB为菱形,作OE=BA,设AB与OC相交于D,则BA⊥OC,∠COB=α-2β,∠COx=α+2β,∠EOx=π2+∠COx=π2+α+2β;OC=2·OD=2co… 相似文献