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二维柯西不等式 :设ａ、ｂ、ｃ、ｄ∈Ｒ ,则有(ａ2 ｂ2 ) (ｃ2 ｄ2 )≥ (ａｃ ｂｄ) 2 .当且仅当 ａｃ =ｂｄ 时 ,不等式取等号 .1 推证几个重要结论命题 1 椭圆 ｘ2ａ2 ｙ2ｂ2 =1与直线Ａｘ Ｂｙ Ｃ =0有公共点的充要条件是Ａ2 ａ2 Ｂ2 ｂ2 ≥Ｃ2 .证明 由柯西不等式得(Ａｘ Ｂｙ) 2 =Ａａ· ｘａ Ｂｂ· ｙｂ2≤Ａ2 ａ2 Ｂ2 ｂ2 ｘ2ａ2 ｙ2ｂ2 .若 (ｘ0 ,ｙ0 )是已知椭圆和直线的公共点 ,则满足ｘ20ａ2 ｙ20ｂ2 =1、Ａｘ0 Ｂｙ0 Ｃ =0 ,则上述不等式左边为Ｃ2 ,右边为Ａ2 ａ2 Ｂ2 ｂ2 ,充分性得证 .若 (ｘ ,ｙ)是直线上… 相似文献
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一、选择题 (5分 × 12 =60分 )1.设集合Ｍ ={(ｘ ,ｙ)｜｜ｘ + ｙｉ｜=1},Ｎ ={(ｘ ,ｙ)｜｜ｘ + ｙ｜=1},其中ｘ ,ｙ∈Ｒ ,则Ｍ∩Ｎ的元素个数是 ( ) (Ａ) 0 (Ｂ) 1 (Ｃ) 2 (Ｄ) 42 .过点Ｐ(-2 ,1)且垂直于向量ａ=(2 ,1)的直线方程是 ( ) (Ａ) 2ｘ + ｙ=0 (Ｂ) 2ｘ + ｙ + 3 =0 (Ｃ) 2ｘ + ｙ + 4=0 (Ｄ) 2ｘ + ｙ -3 =03 .若ａ ,ｂ ,ｃ,ｄ都是实数 ,且满足以下三个条件 :①ａ +ｂ=ｃ +ｄ ,②ａ +ｄ<ｂ +ｃ,③ｄ>ｃ,则有 ( ) (Ａ)ａ >ｂ>ｄ >ｃ (Ｂ)ｂ>ｄ >ｃ >ａ (Ｃ)ａ>ｄ >ｃ>ｂ (Ｄ)ｄ >ｃ… 相似文献
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我们知道圆ｘ2 + ｙ2 =Ｒ2 在其上任一点 (ｘ0 ,ｙ0 )处的切线方程为ｘ0 ｘ+ ｙ0 ｙ=Ｒ2 如果对于直线Ａｘ+Ｂｙ +Ｃ =0 (Ｃ ≠ 0 )作如下变形 :Ｒ2 Ａ-ＣＲ2 ｘ +Ｒ2 Ｂ-ＣＲ2 ｙ =1.若点Ｐ(- Ｒ2 ＡＣ ,- Ｒ2 ＢＣ )满足圆的方程 ,则直线与圆相切于点Ｐ .椭圆 ｘ2ａ2 + ｙ2ｂ2 =1在其上任一点 (ｘ0 ,ｙ0 )处的切线方程为 ｘ0 ｘａ2 + ｙ0 ｙｂ2 =1,对于直线Ａｘ+Ｂｙ +Ｃ =0 (Ｃ≠ 0 )作如下变形 : ａ2 Ａ-Ｃａ2 ｘ+ｂ2 Ｂ Ｃｂ2 ｙ=1.若点Ｐ(- ａ2 ＡＣ , ｂ2 ＢＣ )满足椭圆方程 ,则直线与椭圆相切于点点Ｐ .双曲线ｘ2ａ2 - ｙ2… 相似文献
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众所周知 ,方程 (ｘ -ａ) 2 (ｙ-ｂ) 2 =ｒ2 (ｒ >0 )表示的曲线是以 (ａ ,ｂ)为心 ,以ｒ为半径的圆 ,此方程可变形为Ｆ(ｘ ,ｙ) =0 ,即 (ｘ-ａ) 2 (ｙ-ｂ) 2-ｒ2 =0 .1 非同心圆的等切线及其性质定理 1 到两个非同心圆的切线长相等的点在同一条直线上 . 图 1证明 如图 1,设圆Ｃ1和Ｃ2 的方程分别为Ｆ1(ｘ ,ｙ) =0和Ｆ2 (ｘ ,ｙ)=0 ,点Ｍ (ｘ ,ｙ)为到两圆切线长相等的任意点 ,∵ ｜ＡＭ｜2 =｜ＢＭ｜2 ,∴｜ＭＣ1｜2 -ｒ21=｜ＭＣ2 ｜2 -ｒ22 ,即 (ｘ -ａ1) 2 (ｙ-ｂ1) 2 -ｒ21=(ｘ-ａ2 ) 2 (ｙ-ｂ2 ) 2 -ｒ22 ,整理得2 (… 相似文献
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定理 1 如图所示 ,记椭圆Ｃ的切线ｌ与以椭圆长轴为直径的圆Ｏ从左至右依次交于Ａ、Ｂ两点 ,则直线Ｆ1Ａ ⊥ｌ且直线Ｆ2 Ｂ ⊥ｌ(其中Ｆ1、Ｆ2 表示椭圆的左、右焦点 ) .证明 当切点是椭圆的顶点时结论显然成立 ;当切点不是椭圆的顶点时 ,设Ｃ的方程为ｂ2 ｘ2 +ａ2 ｂ2 =ａ2 ｂ2 (ａ>ｂ >0 ) ,则圆Ｏ的方程为ｘ2 + ｙ2 =ａ2 .设直线ｌ与椭圆Ｃ的切点为Ｍ(ａｃｏｓθ ,ｂｓｉｎθ) ,则得切线ｌ的方程为ｂｃｏｓθ·ｘ +ａｓｉｎθ·ｙ=ａｂ . ①由①解出 ｙ并代入ｘ2 + ｙ2 =ａ2 ,整理得(ａ2 ｓｉｎ2 θ +ｂ2 ｃｏｓ2 θ)·ｘ2 - 2ａｂ2… 相似文献
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第 一 试一、选择题 (每小题 6分 ,共 36分 )1.方程 6× (5ａ2 +ｂ2 ) =5ｃ2 满足ｃ≤2 0的正整数解 (ａ ,ｂ,ｃ)的个数是 ( ) .(Ａ) 1 (Ｂ) 3 (Ｃ) 4 (Ｄ) 52 .函数ｙ =ｘ2ｘ - 1(ｘ∈Ｒ ,ｘ≠ 1)的递增区间是( ) .(Ａ)ｘ≥2 (Ｂ)ｘ≤0或ｘ≥2(Ｃ)ｘ≤0 (Ｄ)ｘ≤1- 2 或ｘ≥ 23.过定点Ｐ(2 ,1)作直线ｌ分别交ｘ轴正向和ｙ轴正向于Ａ、Ｂ ,使△ＡＯＢ(Ｏ为原点 )的面积最小 ,则ｌ的方程为 ( ) .(Ａ)ｘ +ｙ - 3=0 (Ｂ)ｘ +3ｙ - 5 =0(Ｃ) 2ｘ +ｙ - 5 =0 (Ｄ)ｘ +2ｙ - 4=04 .若方程ｃｏｓ 2ｘ +3ｓｉｎ 2ｘ =ａ +… 相似文献
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类似于圆 ,我们把椭圆 ｘ2ａ2 ｙ2ｂ2 =1或双曲线 ｘ2ａ2- ｙ2ｂ2 =1上任意一点到中心的连线段叫做椭圆或双曲线的半径 ,用ｒ表示 ,则有椭圆 :1ｒ2 =ｃｏｓ2 αａ2 ｓｉｎ2 αｂ2 (1)双曲线 :1ｒ2 =ｃｏｓ2 αａ2 - ｓｉｎ2 αｂ2 (2 )其中α为半径所在直线的倾斜角 ,(2 )中当α在[ａｒｃｔｇ ｂａ ,π-ａｒｃｔｇ ｂａ]时ｒ不存在 .1 公式证明设直线 ｙ =ｔｇα·ｘ交椭圆ｘ2ａ2 ｙ2ｂ2 =1于Ａ ,Ｂ的点 ,则｜ＯＡ｜ =｜ＯＢ｜ =ｒ .由ｘ2ａ2 ｙ2ｂ2 =1,ｙ =ｔｇα·ｘ ,可知 ｜ＯＡ｜=ｒ=ａｂｂ2 ｃｏｓ2 α ａ2 ｓｉｎ2 α,即… 相似文献
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一、选择题【理科】1 .圆 (ｘ -1 ) 2 ｙ2 =1的圆心到直线 ｙ =33ｘ的距离是 ( ) .Ａ .12 Ｂ .32 Ｃ .1 Ｄ .3基本解法 :由点到直线距离公式 ,知圆心 ( 1 ,0 )到直线 3ｘ -3ｙ =0的距离ｄ =33 9=12 ,故选Ａ .巧思妙解 :如图 1 ,可得圆心Ａ到直线ｌ的距离 |Ａ 相似文献
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1 求证 :ｓｉｎ2 0 0 3° >12 ·ｃｏｓ2 0 0 2°。 (不要使用计算器等工具。)2 试求出两条抛物线 ｙ2 =2 5 -6ｘ与ｘ2 =2 5 -8ｙ的所有的交点的坐标。 (不要使用一元四次方程求根公式。)3 试求出所有的有序正整数对 (ａ ,ｂ) (ａ≤ｂ) ,使得ａ能整除ｂ2 +ｂ +1 ,且ｂ能整除ａ2 +ａ +1。4 试求出所有的函数 ｆ :Ｒ -{0 ,1 }→Ｒ -{0 },使得对于任何的满足“ｘ·ｆ(ｙ) ,ｙ -ｘ∈Ｒ -{0 ,1 }”的ｘ∈Ｒ -{0 },ｙ∈Ｒ -{0 ,1 },都有 ｆ(ｘ·ｆ(ｙ) ) =(1 -ｙ)·ｆ(ｙ -ｘ)。5 试求出所有的函数 ｆ :Ｒ→Ｒ ,使得对于任何的ｘ、ｙ∈… 相似文献
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定理 二次函数 ｙ =ａｘ2 ｂｘ ｃ的值域是[0 , ∞ )的充要条件是ａ>0且ｂ2 - 4ａｃ=0 .证明 因为 ｙ =ａｘ2 ｂｘ ｃ =ａ(ｘ ｂ2ａ) 2 4ａｃ-ｂ24ａ ,ｘ∈Ｒ ,所以二次函数ｙ=ａｘ2 ｂｘ ｃ的值域是 [0 , ∞ ) ｙ的最小值是 0 ,无最大值 ａ>0且ｂ2 - 4ａｃ=0 .下面举例说明定理的应用 .例 1 已知 ｆ(ｘ) =2ｘ2 ｂｘ ｃｘ2 1(ｂ <0 )的值域为[1,3] ,求实数ｂ,ｃ的值 .解 ｆ(ｘ)的定义域为Ｒ .由 1≤2ｘ2 ｂｘ ｃｘ2 1≤ 3,得ｘ2 ｂｘ ｃ- 1≥0且ｘ2 -ｂｘ 3-ｃ≥ 0 .所以 ｆ(ｘ)的值域为 [1,3] ｙ1=ｘ2 ｂｘ ｃ- 1和 … 相似文献
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解析几何是用代数方法来研究几何问题的一门数学学科,它通过研究方程的特征间接地来研究曲线的性质,其中包含了大量的辩证思想.而“动中寻静,静中求动”,可以说是解析几何解题思想的大花园中的一朵奇葩.例1 已知圆Ｃ:(ｘ-1)2+(ｙ-2)2=25及直线ｌ:(2ｍ+1)ｘ+(ｍ+1)ｙ=7ｍ+4(ｍ∈Ｒ).(1)证明:不论ｍ取什么实数,直线ｌ与圆Ｃ恒相交.(2)求直线ｌ被圆Ｃ截得最短弦长长度及此时的直线方程.分析及解:(1)若按常规思路,只须证圆心Ｃ(1,2)到ｌ的距离恒小于半径即可.但注意到ｌ的方程写成ｘ+ｙ-4+ｍ(2ｘ+ｙ-7)=0后,可发现ｌ是过直线ｘ+ｙ-4=0与直线2ｘ… 相似文献
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一类分式不等式的一种证法 总被引：2，自引：0，他引：2
在分母为多项式的分式不等式中 ,有些不等式 ,通过变量代换 ,把分母化为单项式 ,灵活运用均值不等式或适当的放缩 ,便能得到简洁明快的证法 .举例如下例 1 已知△ＡＢＣ的三边长为ａ,ｂ ,ｃ ,求证 :ａｂ ｃ -ａ ｂｃ ａ -ｂ ｃａ ｂ -ｃ≥ 3.证 设ｂ ｃ-ａ =2ｘ ,ｃ ａ -ｂ=2ｙ ,ａ ｂ-ｃ=2ｚ,ｘ ,ｙ ,ｚ >0 .令不等式的左端为Ｍ ,则Ｍ =ｙ ｚ2ｘ ｘ ｚ2ｙ ｘ ｙ2ｚ= (ｙ2ｘ ｘ2ｙ) (ｚ2ｙ ｙ2ｚ) (ｘ2ｚ ｚ2ｘ)≥ 2 ｙ2ｘ· ｘ2ｙ 2 ｚ2ｙ· ｙ2ｚ 2 ｘ2ｚ· ｚ2ｘ= 1 1 1=3.例 2 设ｘ ,ｙ ,ｚ∈Ｒ ,求证 :ｘ2ｘ ｙ ｚ ｙｘ 2ｙ… 相似文献
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蒋祝权 《中学数学教学参考》2001,(6)
定理 设四边形ＡＢＣＤ的边为ａ、ｂ、ｃ、ｄ ,外接圆半径为Ｒ ,则Ｒ =(ａｂ ｃｄ) (ａｃ ｂｄ) (ａｄ ｂｃ)4 ｐａｐｂｐｃｐｄ,其中 ｐ为半周长 ,ｐａ=ｐ -ａ ,等等 .证明 :如图 ,用余弦定理 ,得ｃｏｓＡ =ａ2 ｄ2 -ｘ22ａｄ ,ｃｏｓＣ =ｂ2 ｃ2 -ｘ22ｂｃ .应用ｃｏｓＡ ｃｏｓＣ =0 ,记ｋ1=(ａｂ ｃｄ) (ａｃ ｂｄ) ,ｋ2 =ａｄ ｂｃ,则解得ｘ2 =ｋ1ｋ2.应用三角形外接圆半径公式 ,得Ｒ△ＢＣＤ=ｘｂｃ4 ｐ′ｐｘ′ｐｂ′ｐｃ′ ( ｐ′=12 (ｘ ｂ ｃ) ,ｐｘ′=ｐ′ -ｘ ,等等 ) ,则有Ｒ2 =Ｒ△ＢＣＤ2 =ｘ2 ｂ2 ｃ21 6ｐ′… 相似文献
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本文用初等方法导出函数 ｆ(ｘ) =ａｘ ｂ ｃｘ ｄ(ａ >0 ,ｃ<0 )的几个优美性质。1 ｆ(ｘ)不是单调函数显然 ,函数的定义域为 [-ｂａ ,-ｄｃ]。任给ｘ1、ｘ2 ∈ [-ｂａ ,-ｄｃ],且ｘ1<ｘ2 ,则ｆ(ｘ1) -ｆ(ｘ2 ) =(ａｘ1 ｂ ｃｘ1 ｄ) -(ａｘ2 ｂ ｃｘ2 ｄ)=(ａｘ1 ｂ 相似文献
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近几年的高考、会考试题都考查到对称性问题 .对称性问题从曲线角度分为曲线自身的对称与两曲线之间的对称 ;从点的角度分为点关于点的对称与点关于直线的对称(曲线关于直线、点对称可转化为点关于直线的对称、点关于点的对称 ) .一、几个结论(1 )点Ａ(ｘ0 ,ｙ0 )关于Ｐ(ａ ,ｂ)对称点Ａ′的坐标为 (2ａ-ｘ0 ,2ｂ-ｙ0 ) .(2 )点Ａ(ｘ0 ,ｙ0 )关于直线ｌ:ａｘ+ｂｙ+ｃ=0 (其中｜ａ｜ =1 ,｜ｂ｜ =1 )对称点Ａ′(ｘ0 ′,ｙ0 ′)的坐标满足ｘ0 ′=-ｂｙ0 -ｃａ ,ｙ0 ′=-ａｘ0 -ｃｂ .(3 )函数 ｙ =ｆ(ａ+ｍｘ)与函数 ｙ=ｆ(ｂ-ｍｘ) (ａ、ｂ、… 相似文献
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文 [1]应用待定系数法和柯西不等式给出了下面函数的最小值 .定理 1 函数ｙ=ａｓｉｎｘ+ｂｃｏｓｘ,ｘ∈ (0 ,π2 ) ,ａ、ｂ为正常数 ,则 ｙｍｉｎ =(ａ23 +ｂ23 ) 32 .本文应用二元赫尔德 (Ｈｏｌｄｅｒ)不等式给出上面定理 1的推广 .定理 2 函数ｙ =ａｓｉｎｔｘ +ｂｃｏｓｔｘ(ｘ∈ (0 ,π2 ) ,ａ、ｂ为正常数 ,且ｔ∈Ｒ ,(ｔ≠ 0 ,2 ) ,在ｘ =ａｒｃｔａｎ(ａｂ) 12 -ｔ处取得最值 (ａ22 -ｔ+ｂ22 -ｔ) 2 -ｔ2 ,其中(1)当ｔ∈ (0 ,2 )时 ,ｙ取最大值 ;(2 )当ｔ∈ (2 ,+∞ )时 ,ｙ取最小值 ;(3)当ｔ∈ (-∞ ,0 )时 ,ｙ取最小值 .引理 … 相似文献
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我们知道 ,若圆Ｃ1:ｘ2 ｙ2 Ｄｘ Ｅｙ Ｆ =0和圆Ｃ2 :ｘ2 ｙ2 Ｄ1ｘ Ｅ1ｙ Ｆ1=0相交于两点 ,那么过两点的圆系方程为ｘ2 ｙ2 Ｄｘ Ｅｙ Ｆ λ(ｘ2 ｙ2 Ｄ1ｘ Ｅ1ｙ Ｆ1) =0 (不含圆Ｃ2 ) (λ∈Ｒ)《解析几何》课本第 70页第 3题 已知一个圆的直径的两个端点是Ａ(ｘ1,ｙ1) ,Ｂ(ｘ2 ,ｙ2 ) ,证明 :圆的方程是 (ｘ -ｘ1) (ｘ -ｘ2 ) (ｙ-ｙ1) (ｙ -ｙ2 ) =0 .结合以上两个结论可得 :命题 :过两已知点Ａ(ｘ1,ｙ1) ,Ｂ(ｘ2 ,ｙ2 )的圆系方程为 (ｘ -ｘ1) (ｘ -ｘ2 ) (ｙ -ｙ1) (ｙ-ｙ2 ) λ(ａｘ ｂｙ ｃ) =0 . ①(λ∈Ｒ… 相似文献
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在直角坐标系中 ,若以原点为极点 ,ｘ轴的正半轴为极轴建立极坐标系 ,那么可得两坐标系下圆锥曲线的方程对应如下 :ｘ2ａ2 ｙ2ｂ2 =1 1ρ2 =ｃｏｓ2 θａ2 ｓｉｎ2 θｂ2 ;ｘ2ａ2 - ｙ2ｂ2 =1 1ρ2 =ｃｏｓ2 θａ2 - ｓｉｎ2 θｂ2 ;ｙ2 =2ｐｘ ρ=2 ｐｃｏｓθｓｉｎ2 θ .我们称上述极坐标方程为圆锥曲线的非统一极坐标方程 ,其中 ρ的几何意义是 :圆锥曲线上的点与极点所连线段的长 .利用这一特性求解与圆锥曲线上的点与极点所连线段有关的圆锥曲线问题干净利落 .例 1 如图 1,已知直线ｌ过坐标原点 ,抛物线Ｃ的顶点在原点 ,焦点在ｘ… 相似文献
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一、选择题1 θ∈ ( 0 ,π2 ) ,直线ｘ +ｙｔａｎθ +1=0的倾斜角是 ( )(Ａ)θ (Ｂ) π2 -θ(Ｃ) π2 +θ (Ｄ)π -θ2 设点Ｐ(ａ ,3)在直线ｆ(ｘ ,ｙ) =0上的射影是θ( 1,ａ) ,则ｆ(ｘ ,ｙ)可以是 ( )(Ａ) 2ｘ - ｙ +3 (Ｂ)ｘ +2 ｙ - 3(Ｃ) 2ｘ - ｙ +7 (Ｄ)ｘ +2ｙ - 73 直线ｌ:ａｘ +ｙ +2 =0与线段Ｐ1Ｐ2 总有交点 ,若Ｐ1( - 2 ,1) ,Ｐ2 ( 3,2 )则实数ａ的取值范围是 ( )(Ａ)ａ≥ 32 (Ｂ)ａ≤ - 43(Ｃ)ａ≤ - 43或ａ≥ 32(Ｄ) - 32 ≤ａ≤ 434 两条直线Ａ1ｘ +Ｂ1ｙ +Ｃ1=0 ,Ａ2 ｘ +Ｂ2 ｙ+Ｃ2 =0… 相似文献
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1 已知ｘ2 ｙ2 +ｘ2 +ｙ2 -4ｘｙ -8ｘ -8ｙ + 2 5=0 ,求ｘ、ｙ的值 .2 已知ａ、ｂ、ｃ都是正实数 ,且ａ >ｂ.求证 :ａ2 +ｃ2 -ｂ2 +ｃ2 <ａ-ｂ.3 已知 2 5ａ -5ｂ +ｃ =0 (ａ≠ 0 ) .求证 :ｂ2 ≥ 4ａｃ.4 已知△ＡＢＣ的三边ａ、ｂ、ｃ满足不等式ａ+ｂ +ｃ + 1 7≤ 4ａ -8+ 6ｂ-3+ 8ｃ-1 ,试判定△ＡＢＣ的形状 .5 若ｘ1、ｘ2 是方程ｘ2 + 5ｘ -7=0的两个根 ,则 (2ｘ21+ 1 3ｘ1-1 9) (2ｘ22 + 1 3ｘ2 -1 9)的值是.参考答案1 已知等式可变形为 (ｘｙ -3) 2 + (ｘ +ｙ) 2-8(ｘ +ｙ) + 1 6 =0 ,即 (ｘｙ -3) 2 + (ｘ +ｙ -4 ) 2=0 .∴ ｘ… 相似文献