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1.
笔者在研究三角形中的不等式时得到下面几个有趣的三角形不等式,即
定理1 在△ABC中,设a,b,c分别为BC,CA,AB的边长,相应于顶点A,B,C,△ABC的中线长为ma,mb,mc;内角平分线长为wa,wb,wc;高线长为ha,hb,hc,旁切圆半径为ra,rb,rc,△ABC的面积为S,则4S√m2a/r2a+m2b/r2b+m2c/r2c≥ab+bc+ac≥4S√m2a/ω2a+m2b/ω2b+m2c/ω2c≥4√3S.(1) 相似文献
2.
文[1 ]证明了不等式bct2a cat2b abt2c≥4 .①其中ta、tb、tc 分别是△ABC的三条角平分线长,a、b、c为三边长.本文将其加强为:命题 设ta、tb、tc 分别是△ABC的三条角平分线长,R、p分别是三角形的外接圆半径和半周长.∑表示循环和.则有∑bct2a≥34Rp23.②证明:记△ABC的内切圆半径及三个旁切圆半径分别为r、ra、rb、rc.则有∑bct2a≥33abctatbtc2 (均值不等式) .由文[2 ]知,rarbrc≥tatbtc,从而,∑bct2a≥33abcrarbrc2 =334Rrpp2 r2 =3 4Rp23.易知②强于①.一个几何不等式的加强@张宁$宁夏回族自治区中卫县宣和镇张洪学校!751706[1… 相似文献
3.
设△ABC的三边a,b,c对应的高为ha,hb,hc,对应的旁切圆半径为ra,rb,rc,则有R.R.Janic不等式[1]:≥.3ra rb rc①2hb hchc haha hb文[2]考虑了不等式①的加强形式:ra?rb?rc≥.1②hb hchc haha hb8本文将不等式②类比到三维空间的四面体,得到.定理设四面体A1A2A3A4体积为V,外接球半 相似文献
4.
R.R.Janic不等式是: (a2)/(rbrc)+(b2)/(rcra)+(c2)/(rarb)≥4,①其中ra、rb、rc分别是ABC的三边a、b、c所对应的旁切圆半径. 相似文献
5.
H．Demir和D．C．B．H．Marsh曾建立了如下不等式：若ha，hb,hc，ra，rb,rc分别为△ABC三边a，b，c上的高和旁切圆半径，则有：ra/ha＋rb/hb＋rc/hc≥3.[第一段] 相似文献
6.
文 [1]得出H .Guggenheimer不等式rnahna+rnbhnb+rnchnc≥ 3 (n≥ 1) .①文 [2 ]将式①加强为rarbrchahbhc≥ 1.②本文将证明两个更强的结论 .命题 1 设△ABC的高和旁切圆 ,外接圆 ,内切圆半径分别为ha、hb、hc,ra、rb、rc,R ,r .在n≥ 1时 ,有rnahna+rnbhnb+rnchnc≥ 3 2R -r3rn.③引理[3 ] 设p为△ABC的半周长 ,则有∑ara=2p( 2R -r) .④其中“∑”表示循环和 .命题的证明 :由三角形中的恒等式aha=2pr等和式④ ,以及不等式 an+bn+cn3 ≥a +b +c3n 知rnahna+rnbhnb+rnchnc=∑rnahna=∑(ara) n(aha) n=∑(ara) n( 2pr) n ≥ 3( 2pr)… 相似文献
7.
设ta、tb、tc分别是ABC的三条角平分线长,a、b、c为三边长,R、r、p分别是三角形的外接圆半径、内切圆半径、半周长,∑表示循环和.文[1]证明了不等式bct2a cat2b abt2c≥4.文[2]将此不等式加强为∑bct2a≥34Rp23.本文给出它的最佳形式∑bct2a=Rr 2.证明:由三角形角平分线长的公式知ta=2bccosA2b c. 则t2a=4b2c2cos2A2(b c)2=2b2c2(1 cosA)(b c)2=2b2c2(b c)21 b2 c2-a22bc=bc(b c a)(b c-a)(b c)2=4bcp(p-a)(2p-a)2.故bct2a=(2p-a)24p(p-a)=14·pp-a 12 p-a4p.同理,cat2b=14·pp-b 12 p-b4p,abt2c=14·pp-c 12 p-c4p. 于是,有∑b… 相似文献
8.
本文约定△ABC各元素 :三边长a、b、c ,半周长p ,面积S ,高ha、hb、hc,外接圆半径R ,内切圆半径r ,旁切圆半径ra、rb、rc.文 [1]提出Jani′c不等式rahb+hc+rbhc+ha+rcha+hb≥ 32 .①文 [2 ]给出式①的加强式rahb+hc· rbhc+ha· rcha+hb≥ 18.②本文给出式②的一个逆向不等式rahb+hc· rbhc+ha· rcha+hb≤ R16r.③简证 :注意到rrarbrc =S2 ,abc4R =S ,12 aha=12 bhb =12 chc =S及平凡不等式 (x+y) (y +z) (z +x)≥ 8xyz (x、y、z∈R+ ) ,则rarbrc(ha+hb) (hc+ha) (hb+hc)≤ rarbrc8hahbhc=rarbrc·abc64S3=S2r·4RS64S3 =R16r.不等… 相似文献
9.
文[1]建立了如下一个几何不等式:
设ABC的三边长分别为a、b、c,旁切圆半径分别为ra、rb、rc.则
∑(a)/(ra)≥23.
(1)
文[2]对不等式(1)加强为:
∑(a)/(ra)≥(2(4R+r))/(4R2+4Rr+3r2).
(2)
其中R、r分别为ABC的外接圆半径与内切圆半径,∑表示循环和,下同.
本文将(2)加强为:
∑(a)/(ra)≥24-(2r)/(R).
(3)
证明:设ABC的半周长为s,由
ra=(sr)/(s-a),rb=(sr)/(s-b),rc=(sr)/(s-c)
和三角恒等式a2+b2+c2=2(s2-4Rr-r2),可知
∑(a)/(ra)=(1)/(sr)[(a+b+c)s-(a2+b2+c2)]
=(2(4R+r))/(s).
由O.kooi不等式
2s2(2R-r)≤R(4R+r)2.
可知(1)/(s)≥(4R-2r)/((4R+r)R).
故(2(4R+r))/(s)≥(24R-2r)/(R)
=24-(2r)/(R).
则不等式(3)成立.
下面证明(3)比(2)强.
显然,仅需证
4-(2r)/(R)≥(4R+r)/(4R2+4Rr+3r2)
成立.
将上式平方整理得R≥2r.
由Euler不等式可知,上式成立.
这说明(3)强于(2). 相似文献
10.
丁遵标 《河北理科教学研究》2006,(2):53-53
匡继昌教授在编著的《常用不等式》一书中,收录了下面的一个旁切圆半径不等式:笔者现给出其最佳形式:定理．其中△ABC的三边长分别为a、b、c,半周长为p,面积为S,外接圆半径为R,内切圆半径为r,旁切圆半径分别为ra、rb、rc,∑为循环和． 相似文献