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1.
《中学数学教学》2 0 0 2年第 6期有奖解题擂台( 5 8)中 ,杨先义老师提出如下猜想 :设a >0 ,b >0 ,c>0 ,a +b +c=1 ,则1b+c2 +1c +a2 +1a +b2 ≥2 74①ab +c2 +bc +a2 +ca +b2 ≥ 94②本文指出 ,猜想不等式①不成立 ,不等式②成立。在①式中 ,令a =0 6,b=0 3 6,c =0 0 4,得左边 =3 41 9455 1 5 2 8<2 74=右边 ;故不等式①不成立。下面证明不等式②成立 ,并修正①式。运用Cauchy不等式 ,得[a(b +c2 ) +b(c +a2 ) +c(a +b2 ) ]( ab+c2 +bc+a2 +ca +b2 )≥ (a +b +c) 2 =1 ,所以 ab +c2 +bc+a2 +ca +b2 ≥1ab +bc +ca +a2 b +b2 c+c2 a。… 相似文献
2.
一个不等式的推广 总被引：3，自引：0，他引：3
文 [1 ]给出了下面一个三角形不等式 :设△ABC的三边长分别为a、b、c ,则13 ≤ a2 +b2 +c2(a +b +c) 2 <12 ,①当且仅当a =b =c时等号成立 .本文将不等式①推广为 :设△ABC的三边长分别为a、b、c .对于任意正整数n ,n >1 ,有13 n - 1≤ an+bn+cn(a +b +c) n<12 n- 1,②当且仅当a =b =c时等号成立 .证明 :根据文 [2 ],有an+bn+cn3 ≥ a +b +c3n,当且仅当a =b =c时等号成立 .由此易知第一个不等式成立 ,取等号的条件也成立 .下面证明第二个不等式 ,这等价于an+bn+cn<12 n - 1(a +b +c) n.③用数学归纳法 .当n =2时 ,由式①知式③成立 .设n … 相似文献
3.
1原题再现(2013年高考新课标全国卷Ⅱ·理24)设a,b,c均为正数,且a+b+c=1.证明:(Ⅰ)略;(Ⅱa2/b+b2/c+c2/a≥1.2式(Ⅱ)溯源式(Ⅱ)最早以多元形式出现于1984全国高中数学联赛二试的一道试题:设x1,x2,......xn都是正 相似文献
4.
《中等数学》2014,(11):10-14
第一题 设实数a、b、c满足a+b+c=1,abc＞0.证明:
ab+ bc+ ca＜a/2abc+1/4.
证法1 因为abc＞0,所以,a、b、c三个数要么为一个正数和两个负数,要么均为正数.
对于前一种情形,不妨设a＞0,b＜0,c＜0.
则 ab+ bc+ ca=ab+c(a+b)=ab+c(1-c)
＜0＜abc/2+1/4.
对于后一种情形,由舒尔不等式有
a(a-b)(a-c)+b(b-a)(b-c)+c(c-a)(c-b)
≥0
(→)j(a +b +c)3-4(a +b +c)(ab +bc +ca) +9abc
≥0.①
记p =ab +bc +ca,q=abc.
由式①及a+b+c=1,得1-4p +9q≥0.
从而,p≤9q/4+1/4.
因为q=abc≤(a+b/3+c)3=1/27,所以,
√q≤√1/3＜2/9.
于是,9q＜2√q.
故p≤9q/4+1/4＜2√q/4+1/4=√q/2+1/4
(→) ab+bc+ca＜√abc+1/4. 相似文献
5.
题目已知a+Zb十3c一20,a+3b+sc一31,则a+b+c的值为.(1998年陕西省中考题) 本题已知两个三元等式,求含这三元的多项式的值,这类题在近年竞赛题中也经常出现.为了开拓同学们的解题思路,总结这类题的解题规律,现介绍几种方法,供大家参考. 解法1设a十b十c一k,从而解以下方程组 !a十Zb十3c=20,① 找a+3b+sc=31,② Ja十b十c一k.移 ②一①,得b+2c一 1 1.④ ①一③,得b+2c一20一k.⑤ ①一⑤,得一9十k一o,…k一9,即a十b十‘一9. 解法2把已知等式中的a、b看做未知数,‘看做常数,用c分别来表示a,b,解由它们组成的方程组,得 a一c一2,b一11一Zc. :。以+… 相似文献
6.
1.问题试题(2013年湖南卷理科第10题)设a,b,c∈R,且满足a+2b+3c=6,则a^2+4b^2+9c^2的最小值为______.2.问题解决视角1柯西不等式法解法1:由柯西不等式得(a+2b+3c)^2=(1×a+1×2b+1×3c)^2≤(1^2+1^2+1^2)(a^2+4b^2+9c^2)=3(a^2+4b^2+9c^2),即a^2+4b^2+9c^2≥12,当且仅当a=2,b=1,c=2/3时等号成立. 相似文献
7.
李益强 《中学数学研究(江西师大)》2003,(1):20-20
题1:设a>1,b>1,求证:a2/b-1+b2/a-1≥8.(第26届独联体数学奥林匹克竞赛题) 题2:已知实数a>1,b>1,c>1.求证:a3/b2-1+b3/c2-1+c3/a2-1≥9(√3)/2.当且仅当a=b=c时,等号成立(<数学通报>2000年第11期数学问题解答1284). 相似文献
8.
文[1]用高等数学方法证明了如下一个加强不等式,即命题1设a,b,c均为正数,且abc=1,若λ≤9,则1/a+1/b+1/c+λ/(a+b+c)≥3+λ/3.笔者发现这个不等式并不成立,反例如下:当a=b=2/3,c=9/4,λ=9时, 相似文献
9.
第42届IMO第2题简证 总被引：4，自引：0，他引：4
第 42届 IMO第 2题是 :对所有正实数 a,b,c,证明 :aa2 +8bc+bb2 +8ca+cc2 +8ab≥ 1.(1)这是一个形式优美的不等式 ,文 [1]介绍了一种基于反证法的证明 .笔者经过思考 ,给出了一种很简洁的直接证法 .证明 (a43 +b43 +c43 ) 2 - (a43 ) 2=(b43 +c43 ) (a43 +a43 +b43 +c43 )≥ 2 b23 c23 · 4a23 b13 c13=8a23 bc,∴ (a43 +b43 +c43 ) 2 ≥ (a43 ) 2 +8a23 bc=a23 (a2 +8bc) ,∴ aa2 +8bc≥ a43a43 +b43 +c43.同理可证 :bb2 +8ac≥ b43a43 +b43 +c43,cc2 +8ab≥ c43a43 +b43 +c43,以上三式相加 ,即证得 (1)式成立 .第42届IMO第2题简证@姜… 相似文献
10.
题目呈现(2020年全国高中数学联合竞赛B卷第10题)设正实数a,b,c满足a^2+4b^2+9c^2=4b+12c-2,求1/a+2/b+3/c的最小值. 相似文献
11.
文[1]给出了数学奥林匹克司题高229题:"已知a,b,c∈R+,abc=1,求证:1/a+1/b+1/c+3/a+b+c≥4"的简证后,又将之推广为:"已知a,b,c∈R_+,abc=1,0<λ<9/2,则1/a+1/b+1/c+λ/a+b+c≥3+λ/3"·笔者探究发现,该推广对λ=9/2也成立,而且从λ=9/2入手证明之更加简便.现介绍于后,以供参考. 相似文献
12.
王祥林 《数理化学习(初中版)》2002,(4)
二次函数的一般式:y=ax2+bx+c(a≠0) 顶点式:.y=a(x+b/2a)2+4ac-b2/4a=a(x+m)2+k(m=b/2a,k=4ac-b2/4a). 因式分解式:y=ax2+bx+c(x-a)(x 相似文献
13.
罗增儒 《中学数学教学参考》2003,(6)
我们在文 [1 ]的案例 3中 ,谈了数形结合的双向沟通 ,顺便对题目 (文 [1 ]例 3、4、5 ,此处统一为例 1 )例 1 已知a >0 ,b >0 ,c >0 ,求证 :( 1 )a2 +b2 +ab +b2 +c2 +bc>a2 +c2 +ac;( 2 )a2 +b2 -ab +b2 +c2 -bc ;≥a2 +c2 +ac,( 3 )a2 +b2 -ab +b2 +c2 -bc>a2 +c2 -ac.从特殊到一般作出了推广 :a2 +b2 +k1ab +b2 +c2 +k2 bc≥a2 +c2 +k3ac .①其中 |ki|<2 ,i=1 ,2 ,3 .这对b +k1a≥ 0且b +k2 c≥0 (特别地k1≥ 0 ,k2 ≥ 0 )时 ,结论是显然的 ,有左边≥a +c=a2 +c2 +2ac >右边 .但当k1、k2 中出现负数呢 ?文 [2 ]指出 ,推广式①并非永远… 相似文献
14.
文 [1]、[2 ]证明了下面的等式 :设 a,b,c,d∈ (0 ,+∞ ) ,且 c+d=1,c2a+d2b=1a+b,求证 :c4a3 +d4b3 =1(a+b) 3 . 1文 [2 ]还把 1式推广为 :cm + 1am +dm + 1bm =1(a+b) m. 2本文给出 1的不等式证法 ,并把 1,2式的条件推广 ,同时给出其应用 .1 简证 由 x2y≥ 2 x- y知c2aa+b≥ 2 c- aa+b,d2ba+b≥ 2 d- ba+b.因为 c+d=1,所以 c2aa+b+d2ba+b≥ 2 (c+d) - (aa+b+ba+b) =1.由等号成立条件知 c=aa+b,d=ba+b,故 c4a3 +d4b3 =a4a3 (a+b) 4 +b4b3 (a+b) 4 =1(a+b) 3 .2 推广定理 设 a,b,c,d∈ (0 ,+∞ ) ,m,n∈N* ,m≠ n,若 c+d=1且 cm + 1am … 相似文献
15.
1.引例2008年南京大学自主招生考试第二大题为:设a,b,c为正数,且a+b+c=1,求(a+1/a)2+(b+1/b)2+(c+1/c)2的最小值.该题是不等式的一个常见问题,可以用基本不等式或柯西不等式求解,还可以推广为: 相似文献
16.
在证明等比性质时 ,巧妙地运用了设 k方法 ,收到了出奇制胜的效果 .设 k法的实质是借用 k为参数 ,建立已知与未知之间的联系 ,达到解题目的 .现列举实例 ,介绍 .一、用设 k法求值例 1 ( 1999年天津市初二数学竞赛试题 )已知a + b - cc =a - b + cb =- a + b + ca ,求( a + b) ( b + c) ( c + a)abc 的值 .解 :设 a + b - cc =a - b + cb =- a + b + ca =k,则 a + b =( k + 1) c, 1a + c=( k + 1) b, 2b + c =( k + 1) a, 3由 1+ 2 + 3,得 ( k - 1) ( a + b + c) =1,∴ k =1或 a + b + c =0 .当 k =1时 ,a + b =2 c,b + c =2 a,c+ a =2 b,… 相似文献
17.
题目设a,b,c是正实数,且a+b+c=1,则有(1/(b+c)-a)(1/(c+a)-b)(1/(a+b)-c)≥(7/6)~3(1)当且仅当a=b=c=了1时取到等号.文[1][2]给出了不同的证明方法,本文再给出更简单的证明方法.证明:注意到b~2-b+1=(b-1/3)~2+1/9(8-3b)≥1/9(8-3b),同理有c~2-c+1≥1/9(8-3c), 相似文献
18.
邹守文 《中学数学研究(江西师大)》2003,(4):23-24
1.设a、b、c∈R+,文[1]、[2]分别证明了不等式: ∑√a/b+c＞2 ① ∑√(a/b+c)2≥3/3√4 ② 这里给出①、②式的推广. 相似文献
19.
一个数学问题的研究性学习 总被引：3，自引：0，他引：3
1 问题《数学通报》2 0 0 2年第 8期“数学问题解答”栏中的第 1 3 88题为 :已知x >0 ,y>0 ,且x +y =1 ,求证(x +y) ( 11 +x+11 +y)≤ 43 .①本题由黑龙江的刑进喜提供 ,证明发表在该刊第9期上 .证明 :由已知得①式 ( 1 +2xy) ( 32 +xy+22 +xy)≤1 63 ( 1 +u) ( 38+u2 +18+u2 )≤ 43(其中u =2xy) 3 ( 1 +u) 8+u2 ≤ 4u2 -9u +2 3 94( 1 +u) 2 +( 8+u2 )≤ 4u2 -9u +2 3 u2 -1 8u +1 7≥ 0 (u -1 ) (u -1 7)≥ 0 u≤ 1 2xy≤x +y .2 转化在①式 ,令x =aa +b,y =ba +b,可得等价不等式 :已知 a >0 ,b >0 ,求证(a +b)·( 1a +2b+12a +b)≤ … 相似文献
20.
正问题设a,b,c,0,a+b+c=3,求证:1/(2+2a+b2)+1/(2+b2+c2)+1/(2+2c+2a)+≤3/3.①这是2009年数学奥林匹克竞赛伊朗国家选拔考试中的一道试题.文[1]采用固定变量的方法给出了式①的一个证明,利用同样的方法,文[2]给出了该试题的如下推广: 相似文献