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雷元明 《数学学习与研究(教研版)》2013,(9):78
例1过原点作三次函数y=x3的图像的切线,能作几条?写出其方程.解设切点为P(x0,y0),∵y’=3x2,∴以P为切点的切线的斜率k=3x20,切线方程为y-y0=k(x-x0),即y=3x20x-3x30+y0=3x20x-2x30.由于切线过原点,∴0=3x20·0-2x30,∴x0=0,从而y0=0,k=0. 相似文献
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近几年来,关于函数图像的切线问题,逐渐进入高考试卷,并在不断加大考查力度和与相关知识融合的力度,已经成为高考的热点.导数为这类问题的解决提供了新思路、新方法、新途径,拓宽了高考的命题空间.下同介绍高考切线问题的七种类型,并力求运用导数知识解决问题的主要思想方法,供复习参考.1求过一点的曲线的切线方程例1(2007年浙江省高考题)曲线y=x3-2x2-4x+2在点(1,-3)处的切线方程是.解显然点(1,-3)在曲线y=x3-2x2-4x+2上.因为y′=3x2-4x-4,所以y′│x=1=-5,因此所求切线方程为y+3=-5(x-1),即5x+y-2=0.例2(2006年全国高考题)过点(-1,0)作抛物线y=x2+x+1的切线,其中一条为().(A)2x+y+2=0(B)3x-y+3=0(C)x+y+1=0(D)x-y+1=0错解y′=2x+1,y′│x=-1=-1.故过点(-1,0)的抛物线的切线方程是y-0=-1(x+1),即x+y+1=0,所以选C.正解显然(-1,0)不在抛物线y=x2+x+1上.设切点坐标为P(x0,y0),则y0=x20+x0+1.过点P的切线方程是y-(x20+x0+1)=(2... 相似文献
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一、曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的斜率是f'(x0).例1垂直于直线2x-6y+1=0且与曲线y=x3-3x2-1相切的直线方程是.解由题意可知,所求直线的斜率k=-3.而由y'=3x2-6x=-3,解得x=1.∴切点坐标为(1,-3).∴所求的切线方程是3x+y=0.例2对于函数y=x3+ax2+bx+c,试确定函数的图像有与x轴平行的切线的条件,并确定该函数在R上是增函数的条件.解若函数的图像有与x轴平行的切线,则方程y'=0有实数解;若该函数在R上是增函数,则y'>0.∵y'=3x2+2ax+b,得驻=4a2-12b≥0,即a2≥3b,∴函数y=x3+ax2+bx+c的图像有与x轴平行的切线的条件是a2≥3b.又若y'=3x2+2ax… 相似文献
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桑中强 《数学大世界(高中辅导)》2006,(3)
曲线y=f(x)在点x0的导数f′(x0)就是曲线在该点的切线的斜率,本文对用导数几何意义求切线引起的误解进行剖析.已知曲线C:y=2x-x3,求过点A(1,1)的切线方程.(2005年全国高考卷Ⅲ文科15题改编)误解:显然点A(1,1)在曲线C:y=2x-x3上,f′(x)=2-3x2∴f′(1)=-1∴过点(1,1)的切线方程为:y-1=-1(x-1),即y=-x 2解析:由于点A(1,1)恰好在曲线y=f(x)上,因此容易得到一条切线方程,即以点A为切点的切线.但本题求的是“经过点A的切线”,而不是“在点A处的切线”,因而不排除有其他切线经过A.因此本题切线应有两条,一条以点A为切点,另一条不以点A为切点但… 相似文献
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郑时坤 《数学大世界(高中辅导)》2006,(9)
高中《数学》第三册(选修Ⅰ)第37页例2已知曲线y=31x3上一点P(2,83).求:(1)过点P的切线的斜率(2)过点P的切线方程该例题教材给出的解法是错误的,现摘录如下:错解:(1)y′=(31x3)′=x2∴y′|x=2=22=4即过点P的切线的斜率为4(2)根据直线方程的点斜式,过点P的切线方程为y-38=4(x-2) 相似文献
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周德春 《数理天地(高中版)》2006,(10)
题1已知曲线C：f(x)=x~3-x 2,求经过点P(1,2)的曲线C的切线方程．学生的解答雷同：解由f′(x)=3x~2-1得切线的斜率k=f′(1)=2,所以过点P(1,2)的曲线C的切线方程为y-2=2(x-1),即y=2x．分析解题时犯了审题不清的错误．此处所求的切线只说经过P点,并没有说P点一定是切点．故切线的斜率k与f′(1)不一定相等． 相似文献
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正三次函数及其相关的问题,近年来在各级各类考查试卷中经常出现,其中大部分题型都可利用导数法来求解.本文介绍几种常见类型的求解方法,供参考.一、三次函数的切线例1已知函数f(x)=x3-x+2,试求过点P(1,2)的曲线y=f(x)的切线方程.解析设切点P0(x0,y0),由f'(x)=3x2-1,则f'(x0)=3x20-1,过点P0的方程为y-y0=f'(x0)(x-x0),即y-(x30-x0+2)=(3x20-1)(x-x0).又切线过点P(1,2),则2-(x30-x0+2)=(3x20-1)(1-x0),分解因式得(x0-1)2(2x0+1)=0,解之得x0=1或x0=-12.则f'(-12)=-14,f'(1)=2.故所求的切线方程为y-2=-14(x-1)和y-2=2(x-1). 相似文献
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数学爱好者2006·8例题过点P(3,1)作一条直线,使它夹在两直线2x-y-2=0,x y 3=0之间的线段AB恰被P点平分,求此直线的方程.分析1直线x=3与直线2x-y-2=0,x y 3=0的交点分别是(3,4),(3,-6),由于-62 4=-1≠1,所以x=3不是直线AB的方程.设出所求的直线为y-1=k(x-3),求出点A、B的坐标后 相似文献
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金小欣 《数学大世界(高中辅导)》2006,(11)
题目:在平面直角坐标系xOy中,有一个以F1(0,-3)和F2(0,3)为焦点、离心率为23的椭圆.设椭圆在第一象限的部分为曲线C,动点P在C上,C在点P处的切线与X、Y轴的交点分别为A、B,且向量OM=OA+OB,求(Ⅰ)点M的轨迹方程.(Ⅱ)|OM|的最小值.解析:(Ⅰ)解答过程见原《参考答案》.显见,《参考答案》中是采取“用导数求斜率”的方法得到过P点的切线方程为:y=-4yx00(x-x0)+y0(1)而另一种方法是基于如下的一般结论:设点(x0,y0)是曲线上任一点,用x0x、、y0y分别代替原曲线方程中的x2、y2项;用x02+x、y02+y分别代替原曲线方程中的x、y项,那么,所得方程… 相似文献
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在数学竞赛中,有些复杂的或具有某种特殊结构的方程用常规方法求解较繁难,但运用增元法可达到化繁为简,快速求解的目的.本文略举几例予以说明.1解整式方程例1解方程x=(x2+3x-2)2+3(x2+3x-2)-2.(1996年四川省初中数学竞赛试题)分析若去括号,会得到一元四次方程,对初中学生来说求解实非容易,故不可取.若注意到括号内整体特征,设y=x2+3x-2,从而将一元方程转化为二元二次方程组,易解.解设y=x2+3x-2,则有x=y2+3y-2,(1)y=x2+3x-2.(2)(1)-(2)得(x-y)(x+y+4)=0.当x=y时,由(2)解得x1,2=-1±3;当x+y+4=0时,将y=-(x+4)代入(2),解得x3,4=-2±2.2解分式方… 相似文献
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人教版全日制普高教材《数学》第二册(上),求圆的切线方程,就出现一道例题,一道练习题,一道复习参考题.下面笔者就经过点(x,y),求圆的切线方程给出几种解法,并比较最佳求法.已知圆的方程(x?a)2+(y?b)2=r2,求经过点M(x0,y0)的切线方程.分析根据圆的切线性质,过圆上一点有且只有一条直线和圆相切,过圆外一点有且只有两条直线和圆相切.解法一不妨设切线的斜率为k(若k无解,则表示相应切线斜率不存在,以下同),则切线方程为y?y0=k(x?x0),把y=kx?(kx0?y0)代入(x?a)2+(y?b)2=r2,得222(x?a)+[kx?(kx0?y0+b)]=r,整理得22(1+k)x?2[k(kx0?y0+b)+a]x+222… 相似文献
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求曲线的切线方程是导数的重要应用之一,用导数求切线方程的关键在于求出切点P(x0,y0)及斜率,其求法为:设P(x0,y0)是曲线y=f(x)上的一点,则以P为切点的切线方程为:y-y0=f’(x0)(x-x0).若曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))的切线平行于y轴(即导数不存在)时,由切线定义知,切线方程为x=x0. 相似文献
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陈新伟 《河北理科教学研究》2014,(5):50-53
正导数的几何意义就是曲线在该点处的切线斜率,下面笔者结合近几年高考例析导数的几何意义的多维应用.维度1抓住切点究两线题1(2013·天津文19选摘)已知函数f(x)=4x3+3x2-6x,求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程. 相似文献
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众所周知,过二次曲线Ax~2+Cy~2+Dx+Ey+F=0 (g)上一点P_1(x_1,y_1)的切线方程为Ax_1x+Cy_1y+D((x_1+x)/2)+E((y_1+y)/2)+F=0(h)。这是一个将切点(曲线上的点)的坐标x_1、y_1与切线上的点(曲线外的点)的坐标x、y联系起来的公式。当已知切点P_1的坐标P_1(x_1,y_1)时,将x、y看作变量,则(h)为过P_1的切线上点的坐标满足的方程,即过P_1的切线方程。当已知曲线外一点P的坐标P(x,y)时,将x_1、y_1看作变量,则(h) 相似文献
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一、整体换元法例1计算20+142√3√+20-142√3√.解:设20+142√3√+20-142√3√=x,两边立方,得20+142√+20-142√+3202-(142√)3√2(20+142√3√+20-142√√)=x3,∴x3-6x-40=0,∴(x-4)(x2+4x+10)=0.∵x2+4x+10=(x+2)2+6>0,∴x-4=0,∴x=4.故20+142√3√+20-142√3√=4.二、局部换元法例2解方程5x2+x-x5x2-1√-2=0.解:设y=5x2-1√,则原方程可化为y2+x-xy-1=0,∴(y-1)(y-x+1)=0,解得y=1或y=x-1.当y=1时,5x2-1√=1,解得x1,2=±10√5;当y=x-1时,5x2-1√=x-1,解得x3=12,x4=-1,经检验,x3=12,x4=-1是增根.故原方程的根是x1,2=±10√5.三、常值换元法… 相似文献
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《中学生数理化(高中版)》2016,(12)
<正>函数y=f(x)在点x0处的导数的几何意义,就是曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处切线的斜率。由导数的几何意义求切线的斜率,即是求切点处所对应的导数。因此,求曲线在某点处的切线方程,可以先求出函数在该点的导数,即为曲线在该点的切线的斜率,再用直线方程的点斜式写出切线方程,其步骤为:(1)求出函数y=f(x)在点x0处的导数f′(x0);(2)根据直线方程的点斜式,得切线方程 相似文献