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《数学通报》2 0 0 1年 2月号数学问题1 3 0 0 :设 a,b,c,d∈R,且 a b c d=2 ,ab ac ad bc bd cd=- 83 ,求 b c d的最大值和最小值 .除了《数学通报》上已给出的一种解法之外 ,本文再给出这一问题的两种解法 .为此 ,我们先计算 a2 b2 c2 d2 =(a b c d) 2- 2 (ab ac ad bc bd cd) =2 2 - 2·(- 83 ) =2 83 .解法 1 ∵b c d=2 - a,b2 c2 d2 =2 83 - a2 .构造函数 f (t) =(t- b) 2 (t- c) 2 (t- d) 2 ,则f(t) =3 t2 - 2 (b c d) t (b2 c2 d2 )=3 t2 - 2 (2 - a) t (2 83 - a2 )≥ 0 ,∴Δ=4 (2 -… 相似文献
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文 [1 ]给出∑ 1a2 的上界估计 ,即设a、b、c为△ABC的三边长 ,R、r分别表示△ABC的外接圆、内切圆半径 ,则有∑ 1a2 ≤(R2 +r2 ) 2 +Rr(2R - 3r) 2R2 r3 (1 6R - 5r) .①文 [2 ]将①式加强为∑ 1a2 ≤ 14r2 .②本文给出∑ 1a2 的下界估计∑ 1a2 ≥ 12Rr.③证明 :∑ 1a2 =b2 c2 +a2 c2 +a2 b2a2 b2 c2≥(bc) (ac) +(ac) (ab) +(bc) (ab)a2 b2 c2=c+a +babc .由三角形中的恒等式a +b +c =2p(其中p为半周长 ) ,abc =4Rrp代入上式即得③ .有趣的是由②和③可得2r≤ 12r∑ 1a2≤R .这里又出现了欧拉不等式的一个隔离 .sum((1/(a~2))的下界… 相似文献
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杨志明 《中学数学研究(江西师大)》2013,(10):22-24
2013年OlympicRevenge 第3题为:
已知a,b,c,d是满足ab+ ac+ad+ bc+ bd+ cd
=6的正数,求证:1/a2+1+1/b2+1+1/c2+1+1/d2+1≥2.(1)
文[1]退化思考得到
命题4 已知a,b,c是满足ab+bc+ca =3的正数,求证:1/a2+1+1/b2+1+1/c2+1≥3/2.(2)
在(2)式中令a=√tanA/2,b=√3tanB/2,c=√3tanC/2,则命题4可变为: 相似文献
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1柯西不等式的证明定理(柯西不等式)若a,b,c,d都是实数,则(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2,当且仅当ad=bc时,等号成立.证法1(比较法)因为(a2+b2)(c2+d2)-(ac+bd)2 相似文献
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九年级数学练习题中有一道题为:如图,△ABC中,∠C=90.,AB=c,A C=b,BC=a,求其内切圆⊙O的半径r.
解法一:根据三角形面积求连结AO、BO、CO.
∵SΔAOC=1/2AC·r
SΔBOC=1/2 BC·r
S△AOB=1/2AB·r
∴SΔABC=1/2AC·r+1/2BC·r+1/2AB·r=1/2r(a+b+c)
又S△ABC=1/2BC·AC=1/2ab
∴1/2r( a+b+c)=1/2ab
∴r=ab/a+b+c
解法二:利用切线长性质求
作OD⊥AC,OE⊥BC,OF⊥AB,则四边形DCEO为正方形. 相似文献
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《湖南教育》2006,(24)
37.已知正方形ABCD与正方形BEFG相连,且正方形ABCD的边长为a,求S△AFC.解:如图,连接BF,易证得AC∥BF.过点B、F分别作AC的垂线,垂足分别为M、N,则BM=FN.显然,则有S△AFC=S△ABC=12a2.38.若a,b,c∈R ,ab bc ca=1,求证:aa #!1 a2 b #!b1 b2 c #!c1 c2≤1.证明:分母有理化,得a$#!1 a2-a% b$#!1 b2-b% c$#!1 c2-c%≤1.上式等价于a#!1 a2 b#!1 b2 c#!1 c2≤1 (a2 b2 c2).(*)注意到1 a2=ab bc ca a2=(c a)(a b),1 b2=ab bc ca b2=(a b)(b c),1 c2=ab bc ca c2=(b c)(c a).那么,应用二元均值不等式,有a#!1 a2 b#"1 b2 c##1 c2=a#!(… 相似文献
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命题 设△ABC的三边长、外接圆半径、内切圆半径分别为a、b、c、R、r.则有b2 c22bc ≤ R2r.①证明 : 记△ABC的面积为S .由abc =4RS及S =12 r(a b c)知式①等价于b2 c22bc ≤abc(a b c)1 6S2 .②由海伦公式知1 6S2 =(a b c) (b c -a)·(c a -b) (a b -c) .③则式②等价于1 6S2 (b2 c2 ) ≤2ab2 c2 (a b c) (a b c) (b c-a) (c a -b)·(a b-c) (b2 c2 ) ≤2ab2 c2 (a b c) 2ab2 c2 - (b c -a) (c a -b)·(a b -c) (b2 c2 ) ≥0 b2 [ac2 - (b c-a) (c a -b)·(a b -c) ] c2 [ab2 - (b c-a)·(c a -b) (a … 相似文献
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定理设凸四边形ABCD的边长和面积分别为a,b,c,d和△,则有(a2 b2)(c2 d2)(b2 c2)(d2 a2)≥16△4.(1) 证明设四边形ABCD的对角线AC,BD的长分别为m,n,AC,BD交于O,夹角为θ,则ac bd≥mn. 相似文献
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本期问题初181已知圆内接六边形ABCDEF的各边均不相等,且BACB·DCED·FEAF=1.求证:AD、BE、CF三线共点.(吕建恒陕西省兴平市教研室,713100)初182找出所有满足下列条件的整数组:(1)a、b、c是正整数;(2)a+b+c=[a,b,c].(范兴亚谷丹北京市第四中学,100034)高181设a、b、c、d为正实数,且满足a2+b2+c2+d2=4.则a+b+c+d≥23(ab+bc+cd+da+ac+bd)≥abc+bcd+cda+dab≥4abcd.(厉倩湖南省长沙市第十五中学,410007)高182如图1,在△ABC中,AB>AC,图1AF、AF′分别是∠BAC及其外角的平分线.以FF′为直径作半圆,点P在半圆上且在△ABC内部.求… 相似文献
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《中等数学》2004,(4):47-49
R、r分别表示△ABC的外接圆、内切圆半径 .证明 :设BC =a ,CA =b ,AB =c ,AP交BC于点D .由重心性质知BD =DC .因为AG =23AD ,GD =13AD ,DP =BD·DCAD =a24AD,又AD2 =12 b2 c2 - 12 a2 ,所以 ,AG·GP =23AD 13AD a24AD =29AD2 16 a2=29× 12 b2 c2 - 12 a2 16 a2=19(a2 b2 c2 ) .易知a2 b2 c2 ≥bc ca ab .故AG·GP≥ 19(bc ca ab) .①设△ABC的三边BC、CA、AB上的高分别为ha、hb、hc.易证bc =ha2R ,ca =hb2R ,ab =hc2R .故bc ca ab =2R(ha hb hc) .②又ha=a b ca ·r,hb=a b cb ·r ,hc=a … 相似文献
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秦林英 《山西教育(综合版)》2000,(6)
一、重点提示与例析“比例线段”这一单元的重点是 :比例的基本性质 ;合比性质 ;等比性质 ;平行线分线段成比例定理 ;三角形一边的平行线的判定及性质。1 .比例的基本性质由 ab=cd通过等式变形可得到 bc=ad,显然 ,bc=ad也可推出 ab=cd,我们称有这种关系的两个等式 (或命题 )具有等价关系 ,记为 ab=cd bc=ad(比例基本性质 )。由 bc=ad共可得到八个等价的比例式 :ab=cd ac=bd db=ca ba=dc cd=ab bd=ac ca=db dc=ba,可以用对称的观点记忆 :对于每一个比例式 ab=cd,以“=”号为对称轴 ,左右可以整体交换 ;以“两条分数线所在直线为对称轴”,上下… 相似文献
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设△ABC的三边长、外接圆半径、内切圆半径、半周长与面积分别为a,b,c,R,r,s,Δ,∑表示循环求和.引理1在△ABC中,有Δ=abc/4R=sr=s(s-a)(s-b)(s-c);∑ab=s2+4Rr+r2;sin A/2=(s-b)(s-c)/bc. 相似文献
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1逆向思维的教材原型题与近年高考题
例1 (新课标选修4-5第25页习题
2.2第2题)已知a,b,c,∈R+,用综合法证:
(ab+a+b+1)(ab+ac+bc+c2)≥16abc.
证明 (ab十a+b+1)(ab+ac+bc+c2)=(a+1) (b+1)(a+c) (b+c)≥2√a×2b×2√ac×2√bc=16abc.
例2 (2010年重庆文科第10题)若a,b,c＞0,且a2+2ab+2ac+4bc=12,则ab+c的最小值是(). 相似文献
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79.已知a、b、c∈R ,且abc=8,求aabbcc的最小值.(湖南省武冈市十中422400邓集春提供)80.设a,b>0,求证:当λ>2,有$a aλb, $b bλa,≤λ,$λ2-1.(浙江省湖州市双林中学313012李建潮提供)81.若a、b、c、d为正实数,且a3 b3 c3 d3=4,能否确定23(ab bc cd da ac bd)与abc bcd cda dab的大小,若能,请写出大小关系并证明,若不能,请举出反例.(湖南长沙市十五中410007厉倩提供)82.已知a,b,c为正数,求证:b ac c ba a cb≥32 (a-b)22(a b c)2.(江西南昌大学附属中学330047宋庆提供)83.设AD、BE、CF是△ABC的内角平分线,且∠BAC=120°,连接DE、DF… 相似文献
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法国数学家笛卡儿曾指出:“没有任何东西比几何图形更容易印入脑际了。因此,用这种方式来表达事物是非常有益的。”以下,结合自己的教学实践和认识,谈谈构图在公式教学中的作用。一、运用构图,领会、记忆、运用公式。例如介绍乘法公式:m(a b c d)=ma mb mc md,(a b)(c d)=ac ad bc bd,(a b)~2=a~2 2ab b~2,(a-b)~2=a~2-2ab 相似文献
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简捷计算 ,对学生有极大的吸引力 ,它既可培养学习兴趣、训练敏捷思维 ,还可节约大量的学习时间 ,下面将几种实用性强、思维方法有代表性的简捷计算法介绍给学生 ,希望对今后的计算有所帮助。一、整体代换法例 1 .已知长方体三边 a、 b、 c的和为 1 2 m,一对角线长为 50 m,求它的表面积。此题按习惯思考 ,似乎应根据已知条件先求出 a、b、c再代值计算 ,其实只要把长方体表面积 (ab bc ac)看作一个整体就可得出结果。解 :由 a b c=1 2得 (a b c) 2 =1 4 4 .即 a2 b2 c2 2 (ab bc ac) =1 4 4 .而 a2 b2 c2 =50 ,∴ 2 (ab bc ac) =1 4 4 -… 相似文献