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设P为△ABC内任一点,其垂足△A1B1C1称为△ABC的一阶垂足三角形,△A1B1C1的垂足△A2B2C2称为△ABC的二阶垂足三角形,△A2B2C2的垂足△A3B3C3称为△ABC的三阶垂足三角形.J.Neuberg证明了:△A3B3C3∽△ABC.本文确定相似比k. 相似文献
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1 三阶垂足三角形的性质 以三角形三条高的垂足为顶点的三角形常称之为垂足三角形,本文将此概念作一推广。从平面上一点P向△ABC各边作垂线,垂足为A_1、B_1、C_1且不共线,则称△A_1B_1C_1为点P关于△ABC的垂足三角形,或一阶垂足三角形。点P关于△A_1B_1C_1的垂足三角形△A_2B_2C_2称为二阶垂足三角形,点P关于△A_2B_2C_2的垂足三角形称为三阶垂足三角形。 相似文献
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关于垂足三角形旁切圆半径之间有下面一个恒等式: 定理 若△ DEF 是锐角△ ABC 的垂足三角形,且 BC = a,CA = b,AB = c , p = (a b c) /2, △ ABC 的面积、外接圆半径、内切圆半径分别为? 、R 、r ,△ DEF 的旁切圆半径依次为rd 、re 、rf ,则有 rd = re = 相似文献
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过三角形的重心向其三边引垂线，三个垂足构成的三角形叫做该三角形关于其重心的垂足三角形．重心垂足三角形有下列有趣结果：设θ是△ABC的内切圆半径，r’是△ABC关于其重心G的垂足三角形A'B'C'的内切圆半径．则r'等号当且仅当为正三角形时成立为证明这一结果，需用到以下事实：设△ABC的三个内角A，B，C所对应的边长为a、b、c，对应的中线长为等号当且仅当△ABC为正三角形时成立；号当且仅当△ABC为正三角形时成立．上述结论的证明是简单的，这里从略．证明如右图所示G是△ABC的重关于点G的垂足三角形，设（利用结论2）（利用… 相似文献
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第一试一、填空题(每小题8分,共64分)1.已知集合M是{1,2,…,2011｝的子集,且M中任意四个元素之和均不能被3整除.则｜M｜max=____2.若n∈N,n≥2,ai∈{0,1,…,9｝(i=1,2,…,n),a1a2≠0,且√a1a2…an - √a2a3 …an=a1,则n=____,其中,a1a2…an为由a1,a2,…an构成的n位数.3.在△ABC中,I是△ABC的内心.若AC+ AI=BC,AB+ BI=AC,则∠B=_____.4.对任意正整数n,记an为满足n｜an!的最小正整数.若an/n=2/5,则n=____. 相似文献
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AD、BE、CF 是锐角△ABC 的三条高,则△DEF 为△ABC 的垂足三角形(如图1),用S_(△ABC)、R 分别表示△ABC 的面积和外接圆半径.用 S_(△ABC)、L_(△DEF)分别表示△DEF 的面积和周长,则垂足三角形有如下性质: 相似文献
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胡耀宗 《湖南城市学院学报》1986,(6)
所谓垂足三角形是三角形的高线足所成的三角形。关于垂足三角形与原三角形的关系我们已经知道了一些,比如三角形的三条高线平分垂足三角形的内角或外角;锐角三角形的所有内接三角形中,垂足三角形的周界最小。这里,我们通过对垂足三角形面积和一些长度的计算,进一步说明垂足三角形与原三角形的关系。 1)已知△ABC的三内角为A、B、C,AD、BE、CF为三边上的高. 求证 垂足三角形与原三角形面积之比只与原三角形三个角的余弦有关. 证明 设△ABC的面积为S,垂足三角形DEF的面积为S_1,令A、B、C的对边分别为a、b、 相似文献
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设P为△ABC所在平面上的任意一点，A＇，B＇，C＇分别为P到BC，CA，AB各边所作垂线的垂足，则△A＇B＇C＇称为△ABC关于P点的垂足三角形.关于三角形与其垂足三角形面积之间的关系，文［1］，［2]等已给出讨论.但对于象周长、外接圆半径、内切圆半径等不变量，三角形与其垂足三角形之间有什么关系，在作者所见到的国内外文献中均未发现一般性的结论.对于特殊情形，当P为锐角三角形的垂心时，作者在［3］中得到了锐角三角形与其关于垂心的垂足三角形的不变量之间的若干关系式；当P为三角形的内心时，莫颂清在［4］中进行了相应的讨… 相似文献
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原题【2000年全国高中数学联赛加试试题】如图1,在锐角三角形ABC的BC边上有两点E,F,满足∠BAE=∠CAF,作FM⊥AB,FN⊥AC(M,N是垂足),延长AE交△ABC的外接圆于.求证:四边形DAMDN与ΔABC的面积相等. 相似文献
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《中学数学教学参考》2007,(Z1)
文[1]给出:若△DEF 是锐角△ABC 的垂足三角形,且记 BC=a,CA=b,AB=c,△ABC 的面积、外接圆半径分别为△和 R,△DEF 旁切圆半径依次为 r_D,r_E,r_F,则有(r_D)/(cot A)=(r_E)/(cot B)=(r_F)/(cot C)=△/R.(*)定理设△DEF 为锐角△ABC 的垂足三角形,记号同 相似文献
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《中学数学月刊》2006,(11):47-49
一、选择题(本题满分36分,每小题6分)1.若-2≤x+1-ax-1≤2对x∈R恒成立,则实数a的个数为()(A)0(B)1(C)2(D)无数个2.已知△ABC内接于单位圆,则长为sinA,sinB,sinC的三条线段()(A)能构成一个三角形,其面积大于△ABC面积的21(B)能构成一个三角形,其面积等于△ABC面积的21(C)能构成一个三角形,其面积小于△ABC面积的21(D)不一定能构成三角形3.已知α,β∈(0,2π),且sin2α=cos(α-β),则α与β一定满足()(A)α<β(B)α>β(C)α+β<2π(D)α+β>2π4.设an=n2+n+2(n=1,2,…),则在数列{an}中()(A)有无穷多个质数(B)有且只有有限多个质… 相似文献
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1.(巴西)试证存在平面上的有限点集A,使对每点X∈A,都存在A中的点Y_1,Y_2,…,Y_(1993),对每个i∈{1,2,…,1993},Y_i与X的距离都等于1。 注:此题是1971年第13届IMO第5题的特例。 2.(加拿大)设△ABC的外接圆半径R=1,内切圆半径为r,它的垂足三角形A′B′C′的内切圆半径 相似文献
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《中等数学》2003,(3)
(2 0 0 3- 0 3- 31 8:0 0～ 1 2 :30 ) 一、在锐角△ABC中 ,AD是∠A的内角平分线 ,点D在边BC上 ,过点D分别作DE⊥AC、DF⊥AB ,垂足分别为E、F ,连结BE、CF ,它们相交于点H ,△AFH的外接圆交BE于点G .求证 :以线段BG、GE、BF组成的三角形是直角三角形 .(熊 斌 命题 )二、设A { 0 ,1,2 ,… ,2 9} ,满足 :对任何整数k及A中任意数a、b(a、b可以相同 ) ,a +b +30k均不是两个相邻整数之积 .试定出所有元素个数最多的A . (陈永高 命题 )三、设A { (a1,a2 ,… ,an) |ai∈R ,i =1,2 ,… ,n} ,A是有限集 .对任意的α =(a1,a… 相似文献
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平面上的封闭图形，尽管形状多种多样，但就其边界而言，无非直直线段或曲线段两种。一个封闭的平面图形，其边界可以是若干条直线段，也可以是若干条曲线段，还可以是由若干直线段和若干曲线段构成。边界全部由直线段封闭的最简单图形是三边形（三角形），此外还有四边形、五边形，等等，我们统称这为多形边。一个由n条直线段封闭的n.边形，不论其形状怎样，总可以分划成(n-2)个三角形。若每个三角形的面积分另为△1，△2，…，△N－2，则N边形的面积Sn＝△1＋△2＋…＋△n－2＝i=1∑^n-2△i，所以有关三角形的性质、有关三角形的计算（角、边、形、心、圆心、面积等）就显得非常重要了。于是，《三角学》单独作为一门教学课程出现了。 相似文献
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文[1]给出了一个涉及垂足三角形内切圆半径的恒等式:设△DEF是锐角△ABC的垂足三角形,且BC=a,CA=b,AB=c,p=(a b c)/2,△ABC的面积、外接圆、内切圆半径分别为?、R、r,若△AEF、△BDF、△CDE的内切圆半径依次为rA、rB、rC,则cot cot cotA2B2C2r A r B rC=?r??R.(1)本文给出(1)式 相似文献
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命题设△D刀F为△ABC的内接二角形,BC=、.C几=乙,刀B=:,l为△D刀尸r认周长,叮l,} l一口c。:魂{一乙cosB十cc。:C.(1)其中等号当且仅当八ABC为锐角三角形,且△D刀F为垂足三角形时成立. 证设R为△ABC外接圆的半径,其它字母含义如图示,则 (a, 夕; ,7) (a: 口: 了2)F刀尸厂声」 =36 相似文献
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一、在锐角△ABC中 ,AD是∠A的内角平分线 ,点D在边BC上 ,过点D分别作DE⊥AC、DF⊥AB ,垂足分别为E、F ,连结BE、CF ,它们相交于点H ,△AFH的外接圆交BE于点G .求证 :以线段BG、GE、BF组成的三角形是直角三角形 .二、设A {0 ,1,2 ,… ,2 9},满足 :对任何整数k及A中任意数a、b(a、b可以相同 ) ,a +b + 30k均不是两个相邻整数之积 .试定出所有元素个数最多的A .三、设A {(a1,a2 ,… ,an) |ai∈R ,i=1,2 ,… ,n},A是有限集 .对任意的α =(a1,a2 ,… ,an)∈A ,β =(b1,b2 ,… ,bn)∈A ,定义 :γ(α,β) =( |a1 -b1 | ,|a2 -b2… 相似文献