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文献[1]提供了一道奥赛题,这是一个三元对称不等式:题目设正实数 a,b,c 满足 a b c=1.证明:10(a~3 b~3 c~3)-9(a~5 b~5 c~5)≥1.(1)1 不等式的另证引理已知函数 f(x)=x 3x~2-x~3-3x~4,则当1≥x y≥x≥y≥0时,f(x)≥f(y)≥0.(2)证明当1≥x y≥x≥y≥0时,首先f(y)=y 3y~2-y~3-3y~4=y(1 3y)(1-y~2)≥0;其次f(x)-f(y)=(x-y) 3(x~2-y~2)-(x~3-y~3)-3(x~4-y~4)=(x-y){1-(x~2 xy y~2) 3(x y)[1-(x~2 y~2)]}.因为 x-y≥0,又1-(x~2 xy y~2)≥(x y)~2-(x~2 xy y~2)=xy≥0,1-(x~2 y~2)≥(x y)~2-(x~2-y~2)=2xy≥0,所以 f(x)-f(y)≥0,即 f(x)≥f(y)≥0.不等式《1)的证明为方便起见,记f(x)=x 3x~2-x~3-3x~4 相似文献
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戚有建 《中学数学研究(江西师大)》2014,(2):24-26
正一、题目展示题目设x,y,z为正数,求xy+yz/x~2+y~2+z~2的最大值点评:本题是一道调研考试题,考查的是多元函数的最值问题.本题结构简洁、表达流畅,看起来很平常,实际上却丰富多彩,有很大的教学价值和研究空间.二、解法研究分析1:(从不等式角度来考虑)观察目标式的结构特征,容易想到用基本不等式来求最值.解法1:由基本不等式得x~2+1/y~2≥2(1/2)~(1/2)xy, 相似文献
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一类五次系统的中心焦点判定 总被引：1，自引：0，他引：1
郑立文 《淮南职业技术学院学报》2001,1(1):96-99
给出五次系统x=λx-y+yR_2+xR_4,y=x+λy-xR_2+yR_4,R_2=b_1x~2++b_2xy+B_3y~2,R_4=a_4x~4+a_2x~3y+a_1xy~3+a_0y~4,在O(0,0)的各阶焦点量和O为中心的充要条件. 相似文献
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请看下面的问题:当变数x,y满足条件:4x~2-5xy 4y~2=5时,求函数W=x~2 y~2的最大值和最小值。显然这是一个条件极值问题。联想到x~2 y~2表示动点P(x,y)到原点的距离平方,因此本题实际上是求曲线4x~2-5xy 4y~2=5上的动点P(x,y)到原点的距离(的平方)的极值问题。从这个几何意义及方程4x~2-5xy 4y~2=5的对称性出发,我们至少可以得到以下四种解法: 相似文献
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灵活运用代数式x~2 xy y~2及其三个变形式x~2 xy y~2=(x (y/2))~2 (3~(1/3)y)~2≥0,x~ xy y~2=x~2 y~2-2xycos120°,x~2 xy y~2=(x-y)~2 3xy≥3xy能使某些问题化生为熟、化难为易,现以高考、竞赛题为例说明如下。 相似文献
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袁荣贵 《中学数学教学参考》2006,(6)
一、精心选一选(每小题3分,共24分)1.下列变形,属于因式分解的是( ).A.2xy(x+3x~2y)=2x~2y+6x~3y~2B.(x-4)~2=x~2-8x-16C.5a~2-10a=5a(a-2)D.ax~2+bx+c=x(ax+b)+c2.把多项式-5ab+10abx-25aby 因式分解的结果是( ).A.-ab(5+10x-25y) B.-5ab(1-2x+5y)C.-5ab(2x-5y) D.-5ab(1-2x-5y)3.多项式-4xy~2+12x~2y~2-16x~3y~2z 的公因式是( ). 相似文献
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早在初中代数课上,就已经知道了两数和的平方公式 (x y)~2=x~2 2xy y~2(1)、这一公式的应用是极其广泛的。在这里,我们介绍它的部分应用。 一、推证公式问题 以下乘法公式 (x-y)~2=x~2-2xy y~2 (x y)(x-y)=x~2-y~2 (x y)~3=x~3 3x~2y 3xy~2 y~3 (x-y)~3=x~3-3x~2y 3xy~2-y~3 (x-y)(x~2 xy y~2)=x~3-y~3 (x y)(x~2-xy y~2)=X~3 y~3等都可运用公式(1)来推导 例1、求证:(x y)(x-y)=x~2=y~2 证:令a=(x y)/2,b=(x-y)/2, 则两数x、y的平方差,x~2-y~2=(a b)~2-(a-b)~2运用公式(1)有x~2-y~2=4ab据假设条件,得x~2-y~2=4(x y)/2·(x-y)/2,即x~2-y~2=(x y)(x-y) 例2、求证:(x-y)~3=x~3-3x~2y 3xy~2-y~3 证:将上式右端进行配方变换即得证 x~3-3x~2y 3xy~2-y~3 =x~3-2x~2y xy~2-x~2y 2xy~2-y~3 =x(x-y)~2-y(x-y)~2 =(x-y)~3 类似地,乘法公式都可用公式(1)来推导,此外,还可推证一些多项因式的乘法 相似文献
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正随着新课改的不断深入,很多教师越来越重视课本中的例题教学了.大家的共识是:对课本中的例题进行变式教学,有利于提高数学课堂的教学效益.现举一例,说明如下.例题计算:(x-3)(x+3)(x~2+9).(苏科版七年级(下).解原式=(x~2-9)(x~2+9)=x~4-81.变式1计算:(1)(xy-3)(xy+3)(x~2y~2+9);(2)(x-3y)(x+3y)(x~2+9y~2);解(1)原式=(x~2y~2-9)(x~2y~2+9)=x~4y~4-81; 相似文献
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本刊95年第3期“集锦栏”中,有如下两个代数不等式: 若x,y,x∈R~ ,则 (1)(x~2 xy y~2)~(1/2) (y~2 yz z~2)~1/2 (z~2 zx x~2)~(1/2); 本文就上述不等式作两点探讨。 相似文献
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一、要注意不等式成立的条件例1已知x,y缀R+,且1x+4y=1,求x+y的最小值.错解∵x,y∈R+,∴0<1x·4y≤眼12穴1x+4y雪演2=14,即xy≥16.∴x+y≥2xy姨≥216姨=8,∴x+y的最小值是8.分析上面解法中,连续进行了两次不等式变形:x+y≥2xy姨与2xy姨≥216姨,且这两个不等式中的等号不能同时成立.因为第一个不等式当且仅当x=y时等号成立,第二个不等式当且仅当1x=4y时等号成立,即只有x=2且y=8时等号成立.因此,x+y不可能等于8.正解∵1x+4y=1,∴x+y=(x+y)·穴1x+4y雪=yx+4xy+5≥2×yx·4xy姨+5=9.上式当且仅当yx=4xy,即y=2x时等号成立.将1x+4y=1与y=2x联立,… 相似文献
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李林修 《青岛职业技术学院学报》1996,(1)
通常我们求二元函数s=f（x,y）的最值,一般具有约束条件g（x,y）=0（或g（x,y）≤0）,这类二元函数的最值称二元函数的条件最值。一般采用消元法,即从s=f（x,y）中消去一个变量,化为一元函数后,使用判别式法,不等式法,几何法等解之,但必须注意在约束条件下的x,y的取值范围对结果的影响。 1、函数法 例1已知x+2y=4,求x~2+y~2的最小值。 解:由x+2y=4,得x=4-2y,代入s= x~2+y~2中,得s=（4-2y）~2+y~2=5y~2-16y+16=5（y-8/5）~2+16/5。 相似文献
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我们知道,等式两边平方后,等式仍然成立,在初中代数中相等式的这种性质来解题,常常能使学生不易入手的复杂问题变得简单明白,现举例说明。 1 用来求整式的值 例1:已知:x y=1/2……①,x~2 y~2=1/3……②,求:8(x~4y十xy~4)的值。 解:把①两边平方得x~2 2xy y~2=1/4③,把②代入③得2xy=1/4-1/3,xy=- 1/(24),8 相似文献
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隐函数是表示函数关系的一种特殊形式。在讲解隐函数及其求导法时,有不少隐函数的例题和习题,在这些题目中,有些是我们熟知的,如x~2+y~2=R~2、(x~2)/(a~2)+(y~2)/(b~2)=1;有些可转化为显函数x=(?)(y),如y=1+xe~y、ye~x+lny=1……;有些可化为参数方程或极坐标方程,如arctg y/x=ln(x~2+y~2)~(1/2)(对数螺线)、(x~2+y~2)~(1/2)=a arctg y/x(阿基米德螺线),等等,这些都是我们较了解的。但象xy=e~(x+y),x~y=y~x等隐函数却比较陌生,有的学生甚至认为是虚设的。因此,有必要讨论一下这两个函数的性质及其图象。 相似文献
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在六年制重点中学高中数学课本《解析几何》(平面)一书第194页上,有这样一道习题: 23.证明:(A_1-C_1)B_2=(A_2-C_2)B_1≠0时,二次曲线 A_1x~2+B_1xy+C_1y~2+D_1x+E_1y+F_1=0 A_2x~2+B_2xy+C_2y~2+D_2x+F_2y+F_2=0的交点同在一个圆上。这道题的题意是清楚的: 即:(A_1-C_1)B_2=(A_2-C_2)且≠0是二次曲线 A_1x~2+B_1xy+C_1y~2+D_1x+E_1y+F_1=0 (1) A_2x~2+B_2xy+C_2y~2+D_2x+E_2y+F_2=0 (2)的交点在同一个圆上的充分条件。换句话说:只要有了条件(A_1-C_1)B_2=(A_2-C_2)B_1≠0(1)和(2)就有交点,且交点在同一个圆上。但笔者认为:(A_1-C_1)B_2=(A_2-C_2)B_1≠0这个条件对本题的结论既不充分也不必要。 相似文献
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第21届俄罗斯中学数学奥林匹克第三阶段八年级第6题是: 证明 对于任何实数x,y,有2x~4 2y~4≥xy(x y)~2 。 文[1]、[2]介绍了它的证法,本文从指数方面给出其推广并加以证明。 推广 证明:对于任何实数x,y,0≤n∈N,有 (1) 证 当xy≤0时不等式显然成立。 当x,y同为正(同为负时可转化为同为正)时,(1)两边同除以2(2n-1)xy得 令,则 相似文献
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1.若遇a≤x~2 y~2≤b(a,b∈R~ ),可作代换x=t·cosφ,y=tsinφ,其中a~(1/2)≤t≤b~(1/2) 例1 已知1≤x~2 y~2≤2,求w=x~2 xy y~2的最值. 解:∵1≤x~2 y~2≤2,∴设x=tcosθ,y=tsinθ,其中1≤t≤2~(1/2),∴w=t~2cos~2θ t~2cosθsinθ t~2sin~2θ=t~2·(1 (1/2)sin2θ),而(1/2)≤1 sin2θ≤(3/2),∴(1/2)≤w≤3. 2.若遇b~2x~2 a~2y~2=a~2b~2(a,b∈R~ ),可作代换x=acosθ,y=bsinθ(此处要注意解析几何中椭圆、双曲线的参数方程的应用) 例2 已知x、y满足x~2 4y~2=4,求w=x~2 2xy 4y~2 x 2y的最值. 相似文献