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沈洁 《郧阳师范高等专科学校学报》1993,(2)
定理:设抛物线方程y~2=2px,若过抛物线焦点F(p/2,0),且倾斜角为α(α≠0)的直线,交抛物线于M(x_1,y_1)、N(x_2,y_2),则M、N点的坐标存在如下关系:x_1·x_2=p~2/4 ①y_1·y_2=-P~2 ②证明:过焦点F(p/2,0)且倾斜角为α的直线方程为: 相似文献
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二次曲线关于直线有对称点的问题是中学数学的主要题型。学生解这类题常感到困难。今归纳几种常见解法如下,供同行们参考。 方法一 利用判别式。 例1 设抛物线y=x~2-1上存在关于直线ι:y=ax对称的两点,求a的范围。 解 设A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)是抛物线y=x~2-1上关于直线l对称的两点,AB的 相似文献
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从抛物线y~2=2px外一点p(x_0,y_0)、向抛物线引两条切线,切点为A,B,则线段AB称为p点的切点弦、切点弦AB的方程是yy_0=p(x+x_0),证明如下: 设切点A、B坐标分别为A(x_1,y_1),B(x_2,y_2),则PA、PB方程分别为: 相似文献
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《中学生数理化(高中版)》2017,(12)
<正>在圆锥曲线的考查中,我们经常会遇到这样的一类问题:圆锥曲线上存在两点关于某条直线对称,求参数的取值范围。这类问题的解法是:设P(x_1,y_1),Q(x_2,y_2)是圆锥曲线上关于直线y=kx+b(k≠0)对称的两点,PQ的中点为M(x_0,y_0),则PQ的方程为y=-1/kx+m,利用点差法、中点坐标公式求得中点坐标,再根据中点与圆锥曲线的位置关系求解。例1已知抛物线C:y2=x与直线l: 相似文献
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例1 已知分别过抛物线 y~2=2px 上点 A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)的两条切线相交于 P(x′,y′).求证:x′=(y_1y_2)/2p,y′=(y_1 y_2)/2.证明如图1,由文献[1]可知过 A,B 两点的切线方程为:l_1:y_1y=p(x x_1);l_2:y_2y=p(x x_2).又 P 在 l_1,l_2上,有y_1y′=p(x′ x_1); (1)y_2y′=p(x′ x_2). (2)式(1)-式(2)得(y_1-y_2)y′=p(x_1-x_2).又 x_1=y_1~2/2p,x_2=y_2~2/2p,代入上式整理得y′=1/2(y_1 y_2), (3)将式(3)代入式(1)得1/2y_1(y_1 y_2)=px′ py_1~2/2p,由此得 x′=y_1y_2/2p,所以 相似文献
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<正>二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象是一条抛物线,为轴对称图形,对称轴为x=-b/2a.因此,我们就有结论:若A(x_1,y_1)、B(x_2,y_2)为抛物线上一对对称点,则有(x_1+x_2)/2=-b/2a,y_1=y_2.下面谈谈上述结论的应用.一、在求抛物线上点的坐标中的应用例1已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象是一条抛物线,为轴对称图形,对称轴为x=-b/2a.因此,我们就有结论:若A(x_1,y_1)、B(x_2,y_2)为抛物线上一对对称点,则有(x_1+x_2)/2=-b/2a,y_1=y_2.下面谈谈上述结论的应用.一、在求抛物线上点的坐标中的应用例1已知抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为x=-1,A(2,1)、B(m,1)为抛物线上 相似文献
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已知圆锥曲线M上存在关于直线系l_m对称的两点,求参变量m的范围,是解析几何中一类运用对称知识解题的习题。对这类习题,一般的解法是:设M上关于l_m对称的两点为A(x_1,y_1)、B(x_2,y_2),根据AB被l_m垂直且平分而列出四个方程所组成的四元二次方程组N: 相似文献
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张明 《数理化学习(初中版)》2011,(6)
我们知道,抛物线y=ax~2+bx+c是以直线x=-b/2a为对称轴的轴对称图形,它的顶点在对称轴上.由此可以讲一步得到如下结论:(1)抛物线上纵坐标相同的两点是对称点,抛物线上对称两点的纵坐标相同.(2)若抛物线上有两点(x_1,y_1),(x_2,y_1),则抛物线的对称轴为:直线x=x_1+x_2/2.解决有关抛物线的问题 相似文献
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任勇 《中学数学教学参考》1994,(3)
数学概念通常是以定义的形式表述的,因此利用定义解题能沟通数学问题内在的本质属性,常常能达到化繁为简、化难为易的效果。本文分类举例说明定义在解题中的运用。 1.利用圆锥曲线的定义 例1 在抛物线x~2=Ay上有两点A(x_1,y_1)和B(x_2,y_2),满足|AB|=y_1 y_2 2。求证:点A,B和这抛物线的焦点三点共线,(1989年广东理工类第二卷第四题 证明:如图,抛物线的焦点为F(0.1)。准线方程为y=-1.点A、B到准线的距离分别为d_1=y_1 1,d_2=y_2 1。 相似文献
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现行高中代数课本第二册行列式一章中有一道习题如下: 已知三角形三个顶点A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)。C(x_3,y_3),则三角形的面积 S=1/2(?)的绝对值。(P186第14题) 从该题的证明过程(这里从略)中可知:当A、B、C按逆时针方向排列时,取正号;当A、B、C按顺针方向排列时;取负号。由此题可立即推出;平面上三点(x_1,y_1),(x_2,y_2)(x_3,y_3)共线的充要条件是(?)=0。(P189第27题) 应用这两个公式来解有关三角形面积与三点共线的平面几何问题,可以使解题思路清晰,解答过程简捷。现举例说明如下: 例1 在四边形ABCD内,三角形ABD、BCD。ABC的面积之比是3:4:1,M、N分别在AC、CD上,满足AM:AC=CN:CD,且B、M、N三点共线,试证M、N分别为AC、CD之中点。(83年全国数学竞赛试题二,第三题)。 相似文献
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运用题组进行教学,可以把有关知识综合串联起来,有助于开拓学生的思路,培养综合运用的能力。本文介绍“圆锥曲线”中的两个题组。 (一)抛物线的焦点弦有着广泛的应用,围绕着焦点弦、切线、准线等可以组成很多题目。为了帮助学生理清头绪,我们首先复习统编教材上证过的两个题:(1)已知经过抛物线y~2=2px上两点P_1(x_1,y_1)和P_2(x_2,y_2)的两条切线相交于点M(x_0,y_0)。求证x_0=(y_1y_2)/(2p),y_0=(y_1 y_2)/2。(解几课本第120页第6题)(2)过抛物线y~2=2px的焦点的一条直线和这抛物线相交,两个交点的纵坐标为y_1、y_2。求证y_1y_2=-p~2。(解几课本第111页第8题)在学生掌握了这两题的证法和结论 相似文献
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程国正 《中学数学教学参考》1994,(8)
抛物线y~2=2px的焦点弦为AB,则y_Ay_B=-p~2,这是抛物线焦点弦的一条常用性质.对一般的弦而言,也有类似的性质,这里,我们给出一组充要条件,揭示弦的性质. 若AB为抛物线y~2=2px的弦,其中A(x_1,y_1)、B(x_2,y_2).则有: ∠AOB为直角x_1x_2 y_1y_2=0 y_1y_2 Ap~2=0; ∠AOB为锐角x_1x_2 y_1y_2>0 y_1y_2(y_1y_2 4p~2)>0; ∠AOB为钝角x_1x_2 y_y_2<0 y_1y_2(y_1y_2 4p~2)<0. 证明:cos∠AOB=|AO|~2 |BO|~2-|AB|~2/2|AO|·|BO|=2(x_1x_2 y_1y_2)/2|AO|·|BO|,故∠AOB为直角cos∠AOB=0x_1x_2 y_1y_2=0; ∠AOB为锐角cos∠AOB>0 x_1x_2 y_1y_2>0; ∠AOB为钝角cos∠AOB<0 x_1x_2 y_1y_2<0. 又A、B在抛物线上,故y_1~2=2px_1,y_2~2=2px_2,从而(y_1y_2)~2=4p~2x_1x_2,故x_1x_2 y_1y_2=1/4p~2·y_1y_2(y_1y_2 4p~2). 从而 x_1x_2 y_1y_2=0 y_1y_2 4p~2=0(显然y_1y_2≠0), x_1x_2 y_1y_2>0 y_1y_2(y_1y_2 4p~2)>0, x_1x_2 y_1y_2<0 y_1y_2(y_1y_2 4p~2)<0,得证. 应用这组充要条件,可方便地解决与抛物线弦相关的一类问题. 相似文献
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解几中的有关对称问题,课本中没有给出系统内容,但解题中又经常用到,本文将结合图形,根据对称特点,找出规律,予以总结.1.“点关于点”的对称.点 P(x_1,y_1)关于 M(x_0,y_0)的对称点 P 的坐标,可由中点坐标公式得出:P′(2x_0-x_1,2y_0-y_1).2.“点关于直线”的对称直线 l 外一点 P(m,n)关于直线.:Ax By C=0(A,B 不同时为零)的对称点 P′的坐标,可利用 PP′与 l 的位置关系——l 垂直且平分 PP′求得,实际上是转化为“点关于点”的对 相似文献
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贵刊1983年第5期刊登了《一类直线方程的四种求法》一文,该文介绍了解决如下问题的四种方法:过二次曲线C:F(x,y)=Ax~2+Bxy+Cy~2+Dx+Ey+F=0内部[指包含焦点的平面区域(不包括周界)]已知点M(x_0,y_0)作直线与曲线C相交于两点A(x_1,y_1),B(x_2,y_2),使得点M平分弦AB。对于这类问题,可作如下推广:过M作直线与曲线C相交于两点A(x_1,y_1),B(x_2,y_2),使得M点为弦AB的n等分点。当n≥3时,用《一类直线方程的四种求法》一文介绍的四种方法来求 相似文献
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抛物线上有关存在相异两点关于某直线(或某点)对称求参数范围的问题,一般都是利用构造判别式大于0(Δ>0)或利用对称中点M(x0,y0)位于抛物线焦点所在范围内构造y20与2p x0不等式进行求解.本文给出利用均值不等式解决此类型问题的一种新方法,其特点是思路明快,解法简捷.例已知抛物线C:y2=4x与直线l:y=2x+m,若C上总存在相异两点P、Q关于直线l对称,求m的取值范围.解设P(t2,2t),Q(s2,2s)(t≠s),则kpq·kl=-1且PQ的中点M∈l,所以2s-2ts2-t2·2=-1,2t+2s2=2·t2+2s2+m.即s+t=-4,s2+t2=-m-4.所以s2+t2=-m-4,2st=20+m.因为s2+t2>2st(s≠t),所以-m… 相似文献