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裴多(Pedoe)不等式是指:设△ABC,与△A′B′C′的边长分别为α,β,γ与α′β′,γ′,面积分别为S与S′,那么α′~2(β~2 γ~2-α~2) β′~2(γ~2 α~2-β~2) γ′~2(α~2 β~2-γ~2)≥16SS′①其中等号当且仅当△ABC～△A′B′C′时成立。这个不等式自1979年传入我国后,以其外形的有趣对称,证法的多种多样引起了广泛的兴趣和讨论,出现了一些新的证法。本文用解析几何的方法给出它的证明。如图放置△ABC与△A′B′C′,则A与 相似文献
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吴卫兵 《黄冈师范学院学报》1993,(2)
设a,b,c,Δ与a′,b′,c′,Δ′分别代表△ABC与△A′B′C′的三边与面积,则著名的Pedoe不等式是: a′~2(-a~2+b~2+c~2)+b′~2(a~2-b~2+c~2)+c′~2(a~2+b~2-c~2)≥16ΔΔ′,式中等号当且仅当△ABC∽△A′B′C′时成立。文[1]证明了: 设△.表示a~(1/2),b~(1/2),c~(1/2)组成的三角形的面积,则有 相似文献
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二、学会反思解题过程,变式或推广已有问题反思解题过程主要指反思题意的理解过程、解法的思考过程、涉及到的知识和思想方法以及有联系的问题等,从而对已有问题进行变式或推广,从中归纳出具有普遍意义的结论,找到解决一类问题的方法和规律.因此不要轻视对解题过程的反思,它有利于学习能力的培养,有利于终身学习潜能的开发.例2如图2(1),△ABC的面积为S,A′,B′,C′分别为点A关于B、B关于C、C关于A的对称点,试探求△A′B′C′的面积S3与原△ABC的面积S的关系.若给定四边形ABCD,用上述类似方法得到的四边形A′B′C′D′的面积S4与… 相似文献
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求二面角的一般方法是根据定义找出二面角的平面角,然后通过论证计算求解,下面介绍一种较简捷的方法,即应用面积射影定理求解,可避免作、找、论证二面角的平面角.面积射影定理:若二面角M—a一N的大小为θ,在平面M内的一个三角形的面积为S,它在平面N上的射影面积为S′,则有:cosθ=S′/S.证:设平面M内的△ABC,且S_(△ABC)=S(1)若△ABC的边AB与交线a重合(如图1),设C在平面N上的射影为C′,则S_(△ABC′)=S′,在平面M内过C作CE(?)a于E,连C′E,则∠CEC′=θ,在Rt△CC′E中:C′E=CE·cosθ.∴cosθ=C′E/CE=(1/2C′E·AB)/(1/2CE·AB)=S′/S.(2)若△ABC的边AB∥平面N(如图2),则过AB作平面N′∥平面N,设C在平面N,N′内的射影分别为C′C″.A、B在平面N上的射影分别是A′、B′则△A′B′C′、△ABC″分别是△ABC在N、N′ 相似文献
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文[1]、文[2]分别给出了三角形外角平分线三角形的若干性质.它作为与一个三角形有着特殊关系的三角形,应有很多优美的性质,就像矿藏一样,不将这些矿藏从这个矿点里挖掘出来,总感到意犹未尽.基于这个想法,笔者进一步研究了三角形的外角平分线三角形.现将又得到的几个性质归结出来以飨读者.图1如图1,记△A′B′C′为△ABC的外角平分线三角形,△ABC的外接圆半径和内切圆半径分别为R、r,三内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c,S为其半周长,△为其面积;△A′B′C′的三内角A′、B′、C′所对边的长分别为a′、b′、c′,△′为其面积.则:… 相似文献
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运动可以归纳为平移、旋转、翻折3种基本变换的组合,它们共同的特点是:保持距离不变、夹角不变、面积不变、点的共线性不变、线的共点性不变。如△ABC经运动变为△A′B′C′,则△ABC≌△A′B′C′。 相似文献
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定理 设非钝角△ABC的垂心为H,AH、BH、CH与△ABC的外接圆的另一个交点分别为A′、B′、C′,记△ABC的三边长为 相似文献
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1.整数1,2,…,n的排列满足:每个数或者大干它之前的所有数,或者小于它之前的所有数.试问有多少个这样的排列? 2.△ABC是面积等于1的直角三角形.A′,B′,C′分别是A,B,C关于各自对边的反射点.求△A′B′C′的面积. 相似文献
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由正弦定理出发,我们可以得到如下定理:△ABC中,以sinA、SinB、sinC为边可以构造△A′B′C′。且△ABC∽A′B′C′,△A′B′C′外接圆直径为1。证明:设△ABC外接圆半径为R, sinA+sinB=1/2R (a+b)>1/2R·C=sinC。同理可证 sinA+sinC>sinB,sinB+sinC>sinA。因此以sinA、sinB、sinC为边可以构造△A′B′C′。由正弦定理 a/sinA=b/sinB=c/sinC,因此△ABC∽△A′B′C′,则A=A′,B=B′,C=C′。设△A′B′C′外接圆半径为R′,对△A′B′C′施行正弦定理,则sinA/sinA′=2R′=1。由这个定理出发,有下面的二个应用。一、关于三角形中一些恒等式和不等式的互证 相似文献
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三角形对称外心的性质及其应用 总被引：1，自引：0，他引：1
关于三角形内特殊点的发现及其性质的挖掘 ,可见文 [1 ]和文 [2 ] ,经过研究 ,本文得到了三角形的对称外心的性质及其应用 .定义 设△ ABC的外心为 O,点 O关于边图 1BC、CA、AB的对称点分别为 A′、B′、C′,连接AA′、BB′、CC′,则 AA′、BB′、CC′相交于一点O′,称此点 O′为△ ABC的对称外心 .证明 :如图 1 ,由平行四边形 OBA′C对角线互相平分知 A′C∥ OB,且 AC′=OB,同理得AC′∥ OB,且 AC =DB,故四边形 AC′A′C是平行四边形 ,所以 AA′和 CC′相交于中点 O′,同理可知 BB′也过点 O′,所以 AA′、BB… 相似文献
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张景中教授在《从数学教育到教育数学》(四川教育出版社,1989年出版)一书中,针对中学数学教育提出了欧氏几何以质量公理体系和以面积理论为核心的解题方法,其中重要的定理是:共边比例定理:若直线PQ和直线AB相交于M点,则S△PAB∶S△QAB=PM∶QM;共角比例题定理:若在△ABC和△A′B′C′中,∠A=∠A′,若∠A ∠A′=180°,则S△ABC∶S△A′B′C′=AB·AC∶A′B′·A′C′,这两个定理在几何证题中是行之有效的.笔者在此基础上提出两个定理:定理1等高不等底的两个三角形面积之比等于对应底边的比.定理2等底不等高的两个三角形面积… 相似文献
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一、填空题1 在△ＡＢＣ与△Ａ′Ｂ′Ｃ′中 ,∠Ａ =∠Ａ′,ＣＤ和Ｃ′Ｄ′分别为ＡＢ边和Ａ′Ｂ′边上的中线 .再从下列三个条件 :①ＡＢ =Ａ′Ｂ′,②ＡＣ =Ａ′Ｃ′,③ＣＤ =Ｃ′Ｄ′中任取两个为题设 ,另一个为结论 ,则最多可构成个正确的命题 . (2 0 0 1年北京市东城区中考题 )2 如图 1,∠ 1=∠ 2 ,要使△ＡＢＥ≌△ＡＣＥ ,还需添加一个条件 .(只需写一个 )(2 0 0 1年广西壮族自治区中考题 )二、选择题在△ＡＢＣ中 ,ＡＣ =5 ,中线ＡＤ =4 ,则ＡＢ边的取值范围是 ( ) .(Ａ) 1<ＡＢ <9 (Ｂ) 3<ＡＢ <13 (Ｃ) 5 <ＡＢ … 相似文献
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王冠中 《语数外学习(高中版)》2007,(2)
在《数学第二册(下B)》第81页有这样一道习题:已知△ABC的面积为S,平面ABC与平面α所成的锐角为θ,△ABC在平面α内的正射影为△A′B′C′,其面积为S,求证:S′=S·cosθ. 相似文献
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初中《几何》第二册(人教版)第49页有一道例题:已知,如图1,在△ABC 和△A′B′C′中,CD、C′D′分别是高,并且 AC=A′C′、CD= C′D′、∠ACB=∠A′C′B′,求证:△ABC≌△A′B′C′.证明过程详见课本.若把例题中条件∠ACB=∠A′C′B′换成 BC=B′C′,那么 相似文献
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《中学数学教学参考》2007,(7)
文[1]研究了三角形2号心的性质,本文做进一步探讨.定理1 设 P 为△ABC 所在平面内任一点,P 关于△ABC 的边 BC、CA、AB 的中点 D、E、F 的对称点分别为 A′、B′、C′,则(Ⅰ)AA′、BB′、CC′交于一点; 相似文献
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命题:△ABC的外接圆半径R与内切圆半径间成立不等式:R≥2r。证:(见原文图)过△ABC的顶点作对边的平行线,三直线围成△A′B′C′,则△ABC∽△A′B′C′,K=AB/A′B′=1/2。作外接圆的三条切线,分别平行于△A′B′C′的三边,围成△A″B″C″,(使△ABC的外接圆在为△A″B″C″的内切圆),△ABC∽△A″B″C″、 相似文献