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靳秀清 《山西教育(综合版)》2001,(6)
在△ ABC中 ,∠ C=90°,CD⊥ AB于 D,AM是∠ BAC的平分线 ,交 CD于 E,交 BC于 M,过E作 EF∥ AB交 BC于 F。求证 :CM=BF。证法一 :(运用三角形知识 )证明 :过 M作 MN⊥ AB于点 N。∵∠ 1=∠ 2 ,易证△ ACM≌△ ANM,∴CM=MN。 ( 1)又 CD⊥ ABMN⊥ AB CD∥ MN, ∠ 3=∠ 5∠ 4 =∠ 5 ∠ 3=∠ 4 CE=CM。 ( 2 )由 ( 1)、( 2 )得 CE=MN。在 Rt△ EFC和 Rt△ NBM中 ,EF∥ AB ∠ B=∠ CFE,∠ CEF=∠ MNB,CE=MN Rt△ EFC≌ Rt△ NBM,∴ CF=BM,∴ CM=BF。 证法二 :(运用四边形知识 )证明 :过 M… 相似文献
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今年全国高中数学联赛阅卷工作已结束 ,加试题第一题是平面几何问题 ,阅卷中发现不少考生构思巧妙、解法新颖 .现根据我们收集、整理 ,总结出 10种较简捷的解法 ,供读者参考 .图 1第一题 :如图 1,在△ ABC中 ,∠ A =60°,AB>AC,点 O是外心 ,两条高BE,CF交于点 H ,点 M,N分别在线段 BH ,H F上 ,且满足 BM =CN .求 :MH + N HOH .解法 1:如图 1,延长 BE交△ ABC的外接圆于 G,延长 CF交外接圆于 K ,连 KB、GC,过O作 OT⊥ BH于 T,作 OI⊥ CF于 I,则∠ BKC =∠ BGC =∠ A =60°又由 BE⊥ AC,CF⊥ AB知 A、F、H、E四… 相似文献
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黄细把 《中学课程辅导(初二版)》2006,(9):18-19
利用三角形全等可证明线段相等,以及证明与线段相等有关的线段和、差、倍、分等问题;还可证明两角相等,以及证明与两角相等有关的线段平行、线段垂直等问题.例1如图,∠BAC=90°,AB=AC,F是BC上一点,BD⊥AF于D,E为AF延长线上一点,CE⊥AE,求证:DE=AE-CE.证明:∵CE⊥AE,BD⊥AF于D,∴∠AEC=∠BDA=90°.∴∠1=90°-∠3=∠2.在△AEC和△BDA中,∵∠1=∠2,∠AEC=∠BDA,AC=AB,∴△AEC≌△BDA.∴CE=AD.∵DE=AE-AD,∴DE=AE-CE.例2如图,在△ABC中,D是AB的中点,DE∥BC交AC于E,F是BC上的点,BF=DE,求证:DF∥AC.证… 相似文献
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王庆金 《中学数学研究(江西师大)》2014,(1):F0004-F0004
正原赛题如图1,△ABC为锐角三角形,AB≠AC.以BC为直径的圆分别交边AB和AC于点N和M.记BC的中点为O,∠BAC和∠MON的角平分线交于R.求证:△BNR的外接圆和△CMR的外接圆有一个公共点在BC边上.证明:如图1,连结MN、BM、CN,则∠BMC=∠CNB=90°.记BM与CN的交点为H(△ABC的垂心),即知A、M、H、N四点共圆(记为⊙O_3).设∠BAC的角平分线交BC于点W,则AW经过 相似文献
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2011日本数学奥林匹克有如下一道题:
设H是锐角△ABC的垂心,M是边BC的中点,过点H作AM的垂线,垂足为P.证明:AM·PM=BM2.
证法1 如图1,设BH与AC交于点X,AH的中点为N.
因为∠AXH=∠APH=90°,所以,点P、X在以AH为直径的圆上(若AB=AC,则P、H重合,X也在以AH为直径的圆上).于是,∠AXN=∠XAN. 相似文献
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王盛裕 《数理天地(初中版)》2002,(3)
中线线定理的表述是:设△ABC的三边AB=c,BC=a,AC=b,BC边上的中线长为ma,则ma2=1/2b2+1/2c2-1/4a2. 中线长定理有广泛的应用,下面举例说明. 例1 如图1,在△ABC中,∠BAC=90°,MN是BC边上的点,且BM=MN=NC,如果AM=4,AN=3,则MN=____. 解设AC=b,AB=c,BM=MN=NC=a,AM,AN分别是△ABN和△ACM的中线,则有42=1/2c2+1/2·32-1/4(2a)2, 32=1/2b2+1/2·42-1/4(2a)2, 相似文献
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李庆社 《数理化学习(初中版)》2006,(4)
正方形是我们最熟悉的几何图形之一·一些几何图形,若能根据题目所给条件,恰当地添补成正方形,则可收到事半功倍的解题效果·下面略举几例·例1△ABC中,AB=BC,∠ABC=90°,E在AB上,BM⊥CE交AC于M,且AE∶AB=999∶解29:91·求AM∶MC·如图1,以AC为对角线补出正方形ABCD,延长BM交AD于F·因为∠EBC=90°,BM⊥CE,所以∠1=∠2·又AB=BC,∠BAF=∠CBE=90°,所以△BAF≌△CBE·所以AF=BE·因为AF∥BC,所以MAMC=BAFC=BABE=ABA-BAE=1-9992991=21999912,故例2AM∶如M图C=2,1E99是2正∶29方91·形ABCD的对角线AC… 相似文献
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刘军 《中学课程辅导(初二版)》2005,(8):24-24
在1997年安徽省初中数学竞赛中,有这样一道题:例1如图1,在△ABC中,∠BAC=90°AB=AC,D为AC中点,AE⊥BD于E,延长AE交BC于F,求证:∠ADB=∠CDF.分析:过C作CM⊥AC交AF延长线于 相似文献
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唐其林 《中学课程辅导(初二版)》2006,(4):21-21
例1已知:四边形ABCD中,对角线AC与BD交于点O,AC=BD,M、N分别是AB、CD的中点,MN交BD、AC分别于点E、F求证:OE=OF.分析:如图1,要证OE=OF,只要证∠OEF=∠OFE,即可.取AD中点G,连接MG、NG,则有MG∥BD,NG∥AC,从而有∠OEF=∠GMN,∠OFE=∠GNM,又MG=12BD,NG=21AC,而AC=BD,故有MG=NG,从而有∠GMN=∠GNM,故可得∠OEF=∠OFE.例2如图2,△ABC中,∠ACB=2∠B,AD⊥BC于点D,M是BC的中点,求证:MD=21AC.分析:取AB中点N,连出△ABC的中位线MN,则有MN=21AC,所以只要证MD=MN即可,连接ND,则ND=21AB=BN,从而… 相似文献
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△函数方程的方法例1在正方体ABCD-A1B1C1D1中,已知正方体的棱长为"2,M、N分别在其对角线AD1与DB上,若AM=BN=x,求MN的最小值,并求此时x的值.分析:运用函数求解,作MH⊥AD,连结NH.∵MH//AA1//DD1,∴HAHD=MADM1=NBND,∴HN//AB.又∵AA1⊥AB,∴MH⊥HN.在Rt△MHA中,∠MAH=45°,∴MH=&22AM=&22x.同理,HN=&22DN=&22(2-x).在Rt△MHN中,MN=&MH2+HN2=21x2+12(2-x)2&=&x2-2x+2,即MN=&x2-2x+2(0相似文献
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全力 《数理天地(初中版)》2003,(10)
例1 如图,Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,BD平分∠ABC交AC于D,作CE⊥BD交BD的延长线于E,过A作AH⊥BC交BD于M,交BC于H,则BM与CE的大小关系是_______ . (第9届“希望杯”初二2试) 相似文献
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有关圆的知识是初中几何中的重要内容之一.圆和直线的结合、圆和圆的结合等,使与圆有关的角之间的关系更加复杂.掌握这些角之间的内在联系,可使证明过程简捷.例1 已知:如图1,AB、AC是圆的两条弦,D、E分别为AB、AC的中点,DE分别交AB、AC于M、N两点.求证:AM=AN.分析:AM、AN在同一个三角形中,可以考虑用等角对等边进行证明.证明:连结AD、DB、AE、EC.∵AD=DB,∴∠ABD=∠BAD=∠AED.∵AE=EC,∴∠ACE=∠EAC=∠ADE.∵∠AMN=∠BAD+∠ADE,∠ANM=∠AED+∠EAC,∴∠AMN=∠ANM.∴AM=AN.例2 已知:如图2,AB是⊙O的直… 相似文献
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王东青 《数理天地(初中版)》2014,(11):28-28
题目 如图1,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC于点D,点O是AC边上一点,连接BO交AD于点F,OE⊥OB交BC边于点E． 相似文献
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<正>矩形的对角线相等是矩形的性质之一,巧妙地利用这个性质,可以使某些问题得到简单而快捷的解决.一、求最值例1如图1,在ΔABC中,∠BAC=90°,AB=3,AC=4,P为边BC上一个动点,PE⊥AB于点E,PF⊥AC于点F,连结EF,求线段EF长度的最小值.BPC F E A图1%分析与解连结AP.∵PE⊥AB,PF⊥AC, 相似文献
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20 0 2年全国高中数学联赛加试试题一是 :如图 1 ,在△ABC中 ,∠A= 6 0°,AB>AC,点O是外心 ,两条高BE,CF交于点 H,点 M,N分别在线段 BH ,H F上 .满足 BM=CN,求 MH + NHOH 的值 .现先给出本题的两个别解 ,另再给出它的两个对偶式的值 .解法 1 连接 OB,OC,OM,ON,由 O是△ ABC的外心 ,得∠ BOC=2∠ A=1 2 0°,H是△ ABC的垂心 ,得∠ BH C=1 80°-∠ A=1 2 0°.∴∠ BOC=∠BH C,则 B,C,H ,O四点共圆 ,∴∠ OBH=∠OCH,即∠OBM=∠ OCN.又 OB=OC,BM=CN,∴△ BOM≌△CON.∴ OM=ON,∠ BOM=∠CON.于是 ,有∠… 相似文献