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1.
观察下面三个问题 :( 1 )设a、b、c为△ABC的三边 .求证 :a2 b(a -b) +b2 c(b -c) +c2 a(c-a)≥ 0 .①(第 2 4届IMO)( 2 )若x、y、z∈R+,则x·x +yx +z+y·y +zy +x+z·z+xz+y≥x +y +z.②( 1 992 ,国际“友谊杯”数学邀请赛 )( 3)设x、y、z∈R+,求证 :x2 ·y +zy +x+y2 ·z+xz+y+z2 ·x +yx +z≥xy +yz+zx .③这三个不等式均不难证明 ,此处从略 .今将揭示他们之间隐含的内在联系 .1 .建立对应关系 ,揭示①可转化为②众所周知 ,对于任意△ABC的三边a、b、c,总可找到这样的正数x、y、z,使得a =y +z,b =z+x ,c =x +y .于是 ,式①化为(y+z… 相似文献
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第 6届 IMO第 2题是设 a,b,c是△ ABC的三边长 ,求证a2 (b + c -a) + b2 (c + a -b) + c2 (a +b -c)≤ 3 abc (1)受启发 ,本文得到 (2 )式的如下对偶形式定理 1 设 a,b,c,r是△ ABC的三边长及内切圆半径 ,则有a2 (b + c -a) + b2 (c + a -b) + c2 (a +b -c)≥ 12 r(a + b + c) (2 )证明 :记 p =12 (a + b + c) ,R为△ ABC的外接圆半径 ,S为△ ABC的面积 ,由海伦公式 S = p (p -a) (p -b) (p -c) =rpabc =4RS =4Rrp得左边 =2 a2 (p -a) + 2 b2 (p -b) +2 c2 (p -c)≥2× 3 3 a2 b2 c2 (p -a) (p -b) (p -c) =63 16R2 r2 p2 .r2 p =… 相似文献
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常虎祖 《中学数学研究(江西师大)》2013,(9):21
《数学通报》1580题:设△ABC的三边长分别是a,b,c,内切圆半径为r,求证:1/(a~2)+1/(b~2)+1/(c~2)≤1/(4r~2).(2005年第11期).原证:令a=y+z,b=z+x,c=x+y,并设s、△分别表示△ABC的半周长和面积,则易知x>0,y>0,x>0.并有s=1/2(a+b+c)=x+y+z,r= 相似文献
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Weisenb ck不等式 :设△ABC的三边长和面积分别为a、b、c和S .则有a2 +b2 +c2 ≥ 43S .证法 1:a2 +b2 +c2 ≥a2 +12 (b +c) 2=32 a2 +12 [(b +c) 2 -a2 ]≥ 3· [(b +c) 2 -a2 ]a2≥ 3· [(b +c) 2 -a2 ] [a2 -(b -c) 2 ] .而S =14 [(b +c) 2 -a2 ] [a2 -(b -c) 2 ] ,所以 ,a2 +b2 +c2 ≥ 43S .证法 2 :设ma、ha 分别为边AB上的中线长和高 ,易知ma=12 · 2b2 +2c2 -a2 ,ma≥ha.则有a2 +b2 +c2=12 [3a2 +( 2b2 +2c2 -a2 ) ]≥ 3a 2b2 +2c2 -a2 =2 3ama≥ 2 3aha=43S .因此 ,原不等式成立 .Weisenbck不等式的简证@张延卫$江苏省宿迁市… 相似文献
5.
文 [1 ]中用微积分方法证明了不等式 :(x +y +z)·1y2 +yz+z2 +1z2 +zx +x2 +1x2 +xy +y2>4 + 23,①其中x、y、z为任意正实数 .我们指出 ,由此不等式可导出一个关于三角形的费尔马和的不等式 :设△ABC的三边长分别为a、b、c ,其费尔马点在形内 (即所有内角都小于 1 2 0°) ,且到顶点A、B、C的距离分别为x、y、z,则(x+y +z) 1a+ 1b+ 1c >4 + 23.②事实上 ,当△ABC的费尔马点在形内 ,即所有内角都小于 1 2 0°时 ,有a =y2 +yz+z2 ,b =z2 +zx +x2 ,c =x2 +xy +y2 .此时式①直接化为式② .关于费尔马和的一个不等式@方廷刚$四川省成都市第七… 相似文献
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安振平先生在《中学数学月刊》2 0 0 3年第 7期《一个三角形中的不等式》一文中给出了不等式 :命题 1 在△ ABC中 ,三边长 a,b,c,则a - b ca b- c ab c - a bc ≤ 3. ( 1 )现在给出 ( 1 )左式的下界 :命题 2 在△ ABC中 ,三边长为 a,b,c,则 a - b ca b- c ab c - a bc >2 . ( 2 )证明 设2 x =a - b c,2 y =b- c a,2 z =c- a b则a =x y,b =y z,c=z x,且 x,y,z >0 .∴ a - b ca b - c ab c - a bc=2 xx y 2 yy z 2 zz x= 2 ( xx y yy z zz x)>2 ( xx y yy z zz x)>2 ( xx y z yy z x zz x y) =2 .这个… 相似文献
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刘臻 《中学数学研究(江西师大)》2013,(10):39-40
本文中,笔者针对国内外中学数学期刊近期出现的一些十分有意义的不等式题,灵活运用常规方法(即通性通法)给出简单而有效的证明,供中学数学同行在教学、教研中参考学习.
例1 (《数学通报》2013年1月号问题2103)设a,b,c为△ABC的三边长,x,y,z为正数,求证:x2a/b+c-a+y2b/c+a-b+z2c/a+b-c＞yz+zx+xy. 相似文献
8.
再谈分式不等式证明中的代换法 总被引：2，自引：0，他引：2
笔者在文[1] 中介绍了用分母代换法证明分式不等式的方法 ,作为其续篇 ,这里再介绍用分子代换 ,分式代换以及整体代换来证明分式不等式的思想方法 ,以便我们对证明分式不等式有一个较完整的思想方法体系 .1 分子代换如果所证不等式的分子比分母复杂 ,那么应考虑将分子代换 .例 1 (《数学教学》问题栏第 5 48题 )已知三角形的三边为a、b、c ,求证 : b +c-aa + c +a-bb + a +b-cc >22 .证明 设b+c -a=x ,c +a-b=y ,a +b-c=z ,则x、y、z>0 ,且a =y +z2 ,b =z +x2 ,c =x+ y2 ,于是b +c-aa + c +a-bb + a +b-cc=2xy+z+ 2 yz+x+ 2zx+ y=2 xx… 相似文献
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上海姜坤崇老师在《数学通报》2013年第2期“数学问题解答”栏目中用柯西不等式证明了2103号问题,即：设a、b、c为△ABC的三边,x、y、z为正数,求证：x2a/b＋c-a＋y2b/c＋a-b＋z2c/a＋b-c≥xy＋yz＋zx.当且仅当x/b＋c-a=y/c＋a-b=z/a＋b-c时等号成立.经过研究,笔者通过构造函数得到如下解答： 相似文献
10.
安振平 《河北理科教学研究》2013,(3)
在文[1]里,笔者给出并证明了如下有趣的无理不等式:
问题 设a≥x＞1,b≥y＞1,c≥z＞0,求证:(a+b+c)-(x +y+z)＜√a2-x2+√b2-y2+√c2-z2≤√(a+b+c)2-(x+y+z)2.①
等号仅当a:x=b:y=c:z时成立.
下面给出不等式①的几个应用. 相似文献
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对一个优美的半对称不等式的补充 总被引：2，自引：0，他引：2
文 [1 ]给出了一个优美的半对称不等式 :命题 在非钝角△ABC中 ,设BC =a ,AC =b ,AB =c,ma 为BC边上的中线长 ,wa为∠A的平分线长 ,则有mawa≤b2 +c22bc .①受文 [1 ]的启发 ,笔者发现以下一个优美的半对称不等式 :命题 在任意△ABC中 ,设BC =a ,AC=b ,AB =c,ma 为BC边上的中线长 ,wa 为∠A的平分线长 ,则mawa≥(b +c) 24bc .②证明 :设p为△ABC的半周长 ,则式②等价于(b +c) 4 w2a ≤1 6b2 c2 m2a.③由角平分线公式wa =2bcp(p -a)b +c 和中线长公式ma=12 2 (b2 +c2 ) -a2 可知③ (b +c) 2 [(b +c) 2 -a2 ] ≤4bc[2 (b… 相似文献
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《数学通报》2006年6月号1618题为:命题1设△ABC的三边长分别为a、b、c,求证:2相似文献
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一个不等式的推广 总被引：3，自引：0，他引：3
文 [1 ]给出了下面一个三角形不等式 :设△ABC的三边长分别为a、b、c ,则13 ≤ a2 +b2 +c2(a +b +c) 2 <12 ,①当且仅当a =b =c时等号成立 .本文将不等式①推广为 :设△ABC的三边长分别为a、b、c .对于任意正整数n ,n >1 ,有13 n - 1≤ an+bn+cn(a +b +c) n<12 n- 1,②当且仅当a =b =c时等号成立 .证明 :根据文 [2 ],有an+bn+cn3 ≥ a +b +c3n,当且仅当a =b =c时等号成立 .由此易知第一个不等式成立 ,取等号的条件也成立 .下面证明第二个不等式 ,这等价于an+bn+cn<12 n - 1(a +b +c) n.③用数学归纳法 .当n =2时 ,由式①知式③成立 .设n … 相似文献
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题 1 (邵剑波提供 ) 证明或否定设a >b >c>0 ,x21a2 +y21b2 +z21c2 =1 ,x22a2 +y22b2 +z22c2 =1 ,且 (x -x1+x22 ) 2 +( y -y1+y22 ) 2 +(z -z1+z22 ) 2 =14[(x1-x2 ) 2 +( y1-y2 ) 2 +(z1-z2 ) 2 ],则x2 +y2 +z2 ≤a2 +b2 +c2 。题 2 (吴善和提供 ) 证明或否定 : 若a、b、c分别是△ABC的三边长 ,实数m≥ 1 ,a′ =(bm+cm) 1m,b′ =(cm+am) 1m,c′=(am+bm) 1m,则以a′,b′ ,c′为三边可构成△A′B′C′ ,且△ABC与△A′B′C′的内切圆半径r与r′之间成立不等式r′≥ 2 1m·r。(注 每小题第一位解答正确者将获得奖金 5 0元 )有奖… 相似文献
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第 3届国际中学生数学竞赛有一个几何题是这样叙述的 :设 a,b,c为△ ABC的三边之长 ,S为面积 .求证 :a2 b2 c2≥ 43 S,当且仅当 a =b=c取“=”.这就是著名的 Weisenbock不等式 .本文运用等周定理和幂平均不等式来推广Weisenbock不等式 .命题 1 设△ ABC三边之长分别为 a,b 相似文献
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罗建中 《中学数学教学参考》2003,(6):62-62
贵刊 2 0 0 3年第 4期《轮换对称不等式的证明技巧》一文中例 8和例 1 0的证明犯了一个常识性错误 .为方便叙述 ,把原文摘录如下 :例 8 已知a ,b,c∈R+ ,求证 :ab+c+ba +c+ca +b≥ 32 .分析 :将常数 32 均匀分解到左式各项中 ,待证不等式等价于ab+c-12 +ba +c-12 +ca +b-12 ≥ 0 ,( )由a ,b ,c的对称性 ,不妨设a≥b≥c>0 ,则( )左边 =2a -b -c2 (b+c) +2b -a -c2 (a +c) +2c -a -b2 (a +b)≥2a -b -c+2b -a -c+2c-a -b2 (a +b) =0 .很明显 ,原作者在这里使用了放缩技巧 ,但当 2b-a -c<0时 ,放缩方向刚好相反 ,因而证明是错误的 .同样在… 相似文献
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《中学数学教学》2 0 0 3年第 3期有奖解题擂台( 61 )中 ,严复卓老师提出了如下一个三角形不等式 :在△ABC中 ,求证cosA·cosB·cosC≤ ( 1 -cosA ) ( 1 -cosB) ( 1 -cosC) ,等号当且仅当A =B =C =π3 时成立。本文给出上述不等式的两种证明方法。证法一 设A≤B≤C ,则当C为直角或钝角时 ,cosA >0 ,cosB >0 ,cosC≤0 ,1 -cosA >0 ,1 -cosB >0 ,1 -cosC >0 ,不等式显然成立。当C为锐角时 ,此时△ABC为锐角三角形 ,设A、B、C的对边分别为a、b、c,则a≤b≤c且a2 +b2-c2 >0 ,b2 +c2 -a2 >0 ,c2 +a2 -b2 >0 ,由余弦定理 ,可将问题转… 相似文献