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赖呈杰林景芳 《中学数学研究(江西师大)》2014,(1):29-30
正圆锥曲线的定点、定值和定直线等探索性问题历来是高考命题中的一个热点,此类问题往往蕴含具有代表性、引申性的数学知识、性质.由一个问题往往能引申出多个结论.一、问题的提出案例(2013陕西)已知动圆过定点A(4,0),且在y轴上截得的弦MN的长为8.(1)求动圆圆心的轨迹C的方程;(2)已知点B(-1,0),设不垂直于x轴的直线l与轨迹C交于不同的两点P、Q,若x轴是∠PBQ的 相似文献
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高考题凝结了众多专家智慧的结晶,成为展现一题多解最合适的舞台.本文以2013年高考数学陕西卷第20题为例浅谈高考题一题多解及推广的妙处.
(2013陕西高考理科数学第20题)已知动圆过点A(4,0),且在y轴上截得弦MN的长为8.
(1)求动圆圆心的轨迹C的方程;
(2)已知点B(-1,0),设不垂直于x轴的直线Z与轨迹C交于不同的两点P、Q,若x轴是∠PBQ的角平分线,证明直线Z过定点. 相似文献
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题目已知动圆过定点(p/2,0),且与直线x=-p/2相切,其中p＞0. (Ⅰ)求动圆圆心的轨迹C的方程; (Ⅱ)设A,B是轨迹C上异于原点O的两个不同点,直线OA和直线OB的倾斜角分别为α和β,当α,β变化且α β=π/4时,证明直线AB恒过定点,并求出该定点的坐标. 相似文献
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题目:已知动圆过定点(p2,0)且与直线x=-p2相切,其中p>0.(Ⅰ)求动圆圆心的轨迹C的方程;(Ⅱ)设A、B是轨迹C上异于原点O的两个不同点,直线OA和OB的倾斜角分别为α和β,当α、β变化且α+β为定值θ(0<θ<π)时,证明直线AB恒过定点,并求出该点的坐标.(Ⅱ)解法1设点A(x1,y1),B(x2,y2),则x1=y212p,x2=y222p.由题意知x1≠x2(否则α+β=π),x1,x2≠0,y1≠y2,y1,y2≠0,tanα=2py1,tanβ=2py2.因为AB=(x2-x1,y2-y1)=(y22-y212p,y2-y1),设点p(x,y)为AB上任一点,则AP=(x-y212p,y-y1),AP∥AB.于是y22-y212p(y-y1)=(y2-y1)(x-y212p),即y1+y22py=… 相似文献
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教学实录(多媒体演示2007年福建省省高考理科数学试卷第20题)如图,已知点F(1,0),直线l:x=?1,P为平面上的动点,过P作直线[?5,7]的垂线,垂足为点Q,且QP?QF=FP?FQ.(Ⅰ)求动点P的轨迹C的方程;(Ⅱ)过点F的直线交轨迹C于A,B两点,交直线l于点M,已知MA=λ1AF,MB=λ2BF,求λ1 λ2的值.学生很快完成(Ⅰ)题,笔者请一名学生到黑板把(Ⅰ)题的解答过程写出来:生1解:(Ⅰ)设点P的坐标为P(x,y),则Q(?1,y),由QP?QF=FP?FQ可得:(x 1,0)?(2,?y)=(x?1,y)?(?2,y,化简得C:y2=4x.师这位同学把题设的向量关系直接转化为坐标的形式,通过化简求得动点P轨… 相似文献
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岳荫巍 《数学大世界(高中辅导)》2004,(11):23-25
.利用向量模的概念图 1【例 1】 已知点P是直线y=1上的动点 ,Q是OP上的动点 ,且｜OP｜·｜OQ｜ =1,求动点Q的轨迹方程(如图 1) .解 :设Q(x ,y) ,(y >0 ) ,P(x1 ,1)∵ ｜OP｜·｜OQ｜ =1,∴x21 +1· x2 +y2 =1即 (x21 +1) (x2 +y2 ) =1①又OP ,OQ共线 ,OP∥OQ ,∴x -x1 y =0 ,即x1 =xy ②把②代入① ,并整理 ,得图 2x2 +y2 -x =0(y>0 ) .2 .利用非零向量垂直的充要条件【例 2】 已知圆x2 +(y-1) 2 =1上定点A( 0 ,2 ) ,动点B .直线AB交x轴于点C ,过C与x轴垂直的直线交弦OB的延长线于圆外一点P(如图 2 ) ,求P点的轨迹方程 .解 … 相似文献
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黄清波 《中学数学研究(江西师大)》2015,(1):33-35
题目 已知点P(2,2),圆C:x2+y2-8y=0,过点P的动直线l与圆C交于A,B两点,线段AB的中点为M,O为坐标原点.
(Ⅰ)求M的轨迹方程;
(Ⅱ)当|OP| =|OM|时,求l的方程及ΔPOM的面积. 相似文献
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题目已知椭圆C的中心在坐标原点,焦点在x轴上,椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3,最小值为1.(1)求椭圆C的标准方程;(2)若直线l:y=kx m与椭圆C相交于A,B两点(A,B不是左右顶点),且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点.求证:直线l过定点,并求出该定点的坐标.若设椭圆C的右顶点是A2,则△ABA2为直角三角形.利用一般化、特殊化、类比的思维方法,可以发现椭圆内接直角三角形的一个性质.性质椭圆x2a2 y2b2=1(a>b>0),A2(a,0),直线l与椭圆交于A,B两点,若AA2⊥BA2,则直线l过定点Ma(a2-b2)a2 b2,0.证明设直线AA2:y=k(x-a),联立y=k(x-a),x2a2 y2b2=… 相似文献
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2005年全国高考数学(山东理科卷)最后一题：己知动圆过定点(p/2,0),且与直线x=-p/2相切,其中p＞0．(Ⅰ)求动圆圆心的轨迹C的方程;(Ⅱ)设A、B是轨迹C上异于原点O的两个不同点,直线OA、OB的倾斜角分别为α和β,当α、β变化且α β为定值θ(0＜θ＜π)时,证明 相似文献
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在解解析几何综合题时经常要碰到直线过 x轴上定点 (a,0 )的问题 ,且在高考中也频频出现 ,如 1983年压轴题、1993年压轴题、1996年压轴题等都涉及到这个问题 ,而在客观题中几乎年年有这样的考题 .但在解题时一般同学都用常规的点斜式法设直线方程为 y=k(x- a) ,有些情况由于设直线不恰当 ,从而使运算繁琐 ,有时还会使问题陷入僵局 .例 1 已知过定点 P(2 ,0 )的直线 l交抛物线 y2 =4x于 A,B两点 ,求三角形 AOB(O为坐标原点 )面积的最小值 .图 1解 设直线 l的方程为 y=k(x- 2 ) ,与抛物线方程 y2 =4x联立 ,消去 y得 k2 x2 - 4(k2 1) x … 相似文献
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2004 年福建省高考理工 22 题,文史 21 题均涉及到如下命题: P 是抛物线C : y = x2 /2上一点,直线l 过点 P 且与抛物线C 交于另一点Q ,若直线l 与过点 P 的切线垂直,求线段PQ 中点 M 的轨迹方程. 上述命题中,线段 PQ为过切点且与切线垂直的弦,点 M 为线段 PQ 的中点.这是一道求受限动弦中点轨迹的问题,本文探究此类轨迹方程的一般形式,并予以推广. 定理 1 抛物线 x2 = 2py的弦 PQ垂直于过点 P 的切线,则 PQ中点M 的轨迹方程为 y = x2 / p p3 /(2x2) p . 证明 设 P(x1, y1),Q(x2, y2) ,M(x, y) ,由 y = x2 得 y'=… 相似文献
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邱兴业 《数理天地(高中版)》2006,(7)
题已知椭圆的方程为x2/4 y2/2=1,点A 的坐标(1,1)． (1)A为直线l与椭圆两交点的中点,求l 的方程; (2)求过点A的直线与椭圆的两交点的中点的轨迹方程．解 (1)设l与椭圆的交点分别为 (x1,y1),(x2,y2)(x1≠x2), 代入椭圆方程得 相似文献
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题如图1,过抛物线y2=2px(p>0)焦点F的一条直线和抛物线相交,交点的纵坐标为y1、y2.求证y1y2=-p2.证法1由已知,抛物线焦点F(2p,0),设过点F的直线与抛物线交于点A(x1,y1),B(x2,y2).若AB⊥x轴,则y1=p,y2=-p.所以y1y2=-p2.若AB与x轴不垂直,设直线AB的方程为y=k(x-2p),与y2=2px联立,得y2-2kpy-p2=0,因为y1、y2是方程的2根,所以y1y2=-p2.证法2因直线AB过定点F且与x轴不平行,所以设直线AB的方程为x=my 2p.代入y2=2px得y2-2pmy-p2=0,因为y1、y2是方程的2根,所以y1y2=-p2.法1是常规解法,法2设出直线方程,避免了讨论直线斜率的存在性,是一种很… 相似文献
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徐照武 《中学生数理化(高中版)》2006,(6)
17.已知直线x y=0,x-y=0,点P(1,2),过点P作直线l与这条直线交于x轴上方的两点A、B,当△ABO面积最小时,求l直线方程.(广西张晓妹)学生数理化中高二版解:过P(1,2)作PD⊥OA于D,作PE⊥OB于E.则PD=22,PE=322.设AD=t,则PBEE=APDDBE=PEA·DPD=23t.S△ABO=12OA·OB=12322 t22 23t=213 22t 94t2=23 42t 29t≥23 42·229=3.当且仅当t=29t时,即t=322时上式取等号,此时A(2,2).故直线l的方程为y=2.(河南介志刚)18.设点C(a,b)(ab≠0)为定点,过点C作两条互相垂直的直线l1与l2,若l1交x轴于A点,l2交y轴于B点,求:(1)线段AB的中点M(x,y)… 相似文献
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2010高考数学四川卷理科第20题在结论探究上很有价值,现将探究过程整理如下:已知定点A(-1,0),F(2,0),定直线l:x=1/2,不在x轴上的动点P与点F的距离是它到直线l的距离的2倍.设点P的轨迹为E,过点F的直线交E于B、C两点,直线AB、AC分别交l于点M、N.(Ⅰ)求E的方程;(Ⅱ)试判断以线段MN为直径的圆是否过点F, 相似文献
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我们先来看一看下列的几组高考试题:第一组(2005山东卷(理)第22题):已知动圆过定点F(2/P,0),且与直线∫:χ=-2/P相切,其中p>0．(1)求动圆圆心C的轨迹的方程; (2)设A、B是轨迹C上异于原点O的两个不同点,直线OA和OB的倾斜角分别为α和β,当α和β变化且α β为定值θ(0<θ<π)时,证明:直线AB恒过定点,并求出该定点的坐标． 相似文献
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定义1过椭圆中心的弦称为椭圆的直径.引例若动点P(x,y)与两定点A(-a,0),B(a,0)连线的斜率之积为定值-ab22(a>b>0),求动点P的轨迹方程.图1解如图1,直线PA,PB的斜率分别为kPA=yx a,kPB=yx-a(x≠±a),由已知kPA·kPB=-ab22,得x y a·x-y a=-ab22,化简得动点P的轨迹方程为xa22 yb22 相似文献