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文 [1]用函数性质证明了第 31届西班牙数学奥林匹克第 31题 :如果 (x+x2 +1) (y+y2 +1) =1,那么 x+y=0 .该题可作如下的推广 :如果 (x+x2 +m) (y+y2 +m) =m,其中 m∈ (0 ,+∞ ) ,那么 x+y=0 .下面用构造法给出简证 .思路 1——构造对偶式证明 1 由已知 ,m>0 ,(x+x2 +m ) (y+y2 +m) =m,1令 (x- x2 +m) (y- y2 +m) =n,21× 2得 (- m) (- m) =mn,∴ n=m,即有 (x- x2 +m) (y- y2 +m) =m.3由 1得 x+x2 +m=my+y2 +m=- (y- y2 +m) . 4由 3得 x - x2 +m =my- y2 +m=- (y+y2 +m) . 54 +5得 2 x=- 2 y,∴x+y=0 .思路 2——构造等比数列证明 2 m >0 … 相似文献
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题目 已知函数f(x)=ex-ln(x+m).
(Ⅰ)设x=0是f(x)的极值点,求m,并讨论f(x)的单调性;
(Ⅱ)当m≤2时,证明f(x)＞0.
(Ⅰ)略.
(Ⅱ)解法1 当m≤2,x∈(-m,+∞)时,恒有ln(x+m)≤ln(x+2),即只需证明m=2时成立,即ex-ln(x+2)＞0即可.
即证明ee|-x-2 ＞0.
设g(x)=eex-x-2,g’(x)=ex+ex-1,
因为g″(x)=ex+ex(1+ex)＞0,知g’(x)在(-2,+∞)上为单调递增函数. 相似文献
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如何确定恒成立或有解的不等式中参数的范围是一个难点 ,如果能将参数分离出来 ,再运用有关的函数方程等知识可以较好解决 .下面分情况说明 .一、a 0在 | x|≤ 2时恒成立 ,求 m的范围 .解 :原不等式等价于 ( x2 - x + 1) m 0 ,m f ( x… 相似文献
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这是一堂关于函数表达式的习题课,教学对象是高一学生.问题:已知f(2x+1)=x2-2x,求f(x)与f(2x-1)的解析式.学生解法:设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),则f(2x+1)=4ax2+(4a+2b)x+a+b+c=x2-2x.易得4a=1,4a+2b=-2,a+b+c=0,解得a=14,b=-32,c=54,所以f(x)=14x2-32x+54,f(2x-1)=x2-4x+3.师:为什么可以"设f(x)=ax2+bx+c(a≠0)"?生1:因为可以推测f(x)一定是二次函数.如果f(x)不是二次函数,则f(2x+1)的解析式也不会是二 相似文献
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在解不等式问题时 ,调整系数、拆项、补项是常用技巧 .但调整系数、拆项、补项时 ,既要考虑不等式的结构 ,又要符合相关要求 ,难以直接确定 .此时若用待定系数法 ,就可兼顾几方面要求 ,只需求出待定系数就行了 .例 1 已知 :1≤ 3x+2 y≤ 3,2≤ x+3y≤5 ,求 5 x+8y的取值范围 .分析 用 3x+2 y及 x+3y将 5 x+8y表示出来是解题的关键 .设 5 x+8y=m(3x+2 y) +n(x+3y) =(3m+n) x+(2 m+3n) y(m,n为待定系数 ) .由 3m+n=5 ,2 m+3n=8,解得 m=1,n=2 .解 5 x+8y=(3x+2 y) +2 (x+3y) ,∵ 2≤x+3y≤ 5 ,∴ 4≤ 2 (x+3y)≤ 10 .又 1≤ 3x+2 y≤ 3,∴ … 相似文献
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2011年全国高考江苏卷的第14题是整张试卷当中为数不多的一道对学生要求较高的难题,成为不少学生的"拦路虎".题目设集合A={(x,y)|m2≤(x-2)2+y2≤m2,x、y∈R},B={(x,y)|2m≤x+y 相似文献
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在中考复习中,注意某些公式、法则的适用范围以及它的限制条件,是很有必要的.在本文中,我们一起探讨数学中考中容易失分的几个问题.希望能引起同学们的重视,避免摔倒在别人多次绊倒的地方.一、忽视根的判别式例1设x1,x2是方程2x2-4mx+2m2+3m-2=0的两个根.当m为何值时,x12+x22有最小值?求出这个最小值.错解:已知方程的两根是x1,x2,∴x1+x2=2m,x1·x2=2m2+3m-22 .∴x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=(2m)2-2×2m2+3m-22=2m2-3m+2=2(m-34)2+78.(1)∴当m=34时,x12+x22有最小值78.分析:∵x1,x2是原方程的两实根,∴Δ=(-4m)2-4×2(2m2+3m-2)≥0.解得:m≤23.… 相似文献
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一、选择题(将下列各题中惟一正确答案的序号填入题后括号内,每小题3分,共18分) 1.下列变形是因式分解的是(). A.ab(a+b)=。Zb+abZ B .xy--x一少+1=(x一1)(y一l) C.(,b)(%寸)=(b一a)(少一x) D .mZ+Zm+1=m(m+2)+l 2.下列因式分解中正确的是(). A .0.09m2一。任(0.03m+。)(0.03m一。) B.了砚2一Zm。一。2=(m一。)2 C .x4一2=(xZ+x)(xZ一) D.(x+。)2一(x一a)性4。 3.把多项式4x2一2x一尹一用分组分解法分解因式,正确的分组方法应该是(). A.(4x2--2x)一(尹+y)B.4x2--(2x子+y) C.(4x场)一(2x矿)D.(4xZse,声)一(2x+y) 4。如果线段纵b、c能… 相似文献
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“求证 :| x + 1/x|≥ 2 ( x≠ 0 ) .”(人教社高中《代数》(下册 )第 3 0页第 1 1题 )这是训练基本不等式的一个典型题目 ,但是许多学生将其错误地理解成“只要 x≠ 0 ,就能保证 | x + 1/x|≥ 2 .”文 [1 ]举出的反例说明 ,当 x是虚数时 ,可能 | x + 1x| <2 .本文在复数范围内给出 | x + 1/x| >2 (或| x + 1x| =2 ,或 | x + 1/x| <2 )这类关系成立的一个充要条件 .定理 1 :设 z∈ C\{0 } ,m∈ R+,则| z + m2z| <2 m | z + mi| >2 m| z -mi| <2 m 或 | z + mi| <2 m| z -mi| >2 m ( 1 )| z + m2z| =2 m | z + mi| =2 m … 相似文献
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<正>二次函数的问题在中考时是必涉及的内容,同学们在解答中常出现这样或那样的错误,造成失分,为帮助同学们复习好本部分内容,考出好成绩,今将同学们在解答这方面的问题时出现的错误类型归纳如下.1不能正确把握题意,导致考虑问题不全面例1已知关于x的函数y=(m-4)x2+2(m+2)x+m+1的图象与x轴总有交点,求m的取值范围.误解由题意知Δ=4(m+2)2-4(m-4)(m+1)=28m+32>0,解得m>-87.分析上述解法的错误在于没有正确把握题意,误把函数y=(m-4)x2+2(m+2)x+m+1当作二次函数来解.由于函数y=(m-4)x2+2(m+2)x+m 相似文献
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20 0 2年全国高中数学联赛二试第二大题 :实数 a,b,c和正数 λ使得 f( x) =x3+ ax2+ bx+ c有三个实根 x1 ,x2 ,x3,且满足 ( 1 ) x2- x1 =λ;( 2 ) x3>12 ( x1 + x2 ) .求2 a3+ 2 7c- 9abλ3 的最大值 .笔者在全国联赛阅卷过程中发现学生有如下巧解 :由韦达定理 x1 + x2 + x3=- a,x1 x2 + x2 x3+ x3x1 =b,x1 x2 x3=- c.123由 1、2及 λ>0 ,不妨设 :x1 =m- n,x2 =m+ n,x3=m+ k( m为任意实数 ,n,k为任意正实数 )∴a=- ( 3m+ k) ,b=3m2 - n2 + 2 mk,c=- ( m3+ m2 k- mn2 - n2 k) ,λ=2 n.设 M=2 a3+ 2 7c- 9abλ3 ,则代入整理得M=14 ( - k3n… 相似文献
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<正>学完七年级下册第一章后,进行章节过关测试时有这样一道题:若x~2+2(m-3)+16是关于x的完全平方式,则m=____.阅卷时发现许多学生没有填,填了的学生也回答错误.为什么会这样呢?仔细看题才发现其中的奥妙,原来本题应该是这样的:"若x~2+2(m-3)x+16是关于x的完全平方式,则m=____."可能是由于排版的缘故漏掉了"x",变成了试卷中现在的这道题,我们姑且称此题为"别题".对于这道别题,出现了下面几个答案:m 相似文献
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分式方程是历年中考的热点试题.笔者在教学中发现,学生在下列两个方面频频出错.现举例予以剖析,为中考清除障碍.一、忽视增根例1(2010年鄂尔多斯市中考题)已知关于x的方程(2x+m)/(x-2)=3的解是正数,则m的取值范围为——.错解去分母,得2x+n=3(x-2).解得x=m+6.由题意,应x>0,所以m+6>0.解得m>-6,即为所求m的取值范围.剖析错解由x>0求m的取值范围,仅关注了条件"解是正数",忽视了隐含条件"分母x-2≠0",这对m的取值范围也有约束. 相似文献
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文 [1 ],[2 ]各用一种方法介绍了形如函数 f( x) =ax2 + b- x( x≥ 0 ,a>1 ,b≥ 0 )(下称函数 )的最小值的求法 ,文 [3]用三种不同策略研究了比函数 更一般的函数f( x) =m x2 + 1 + nx(其中 mn<0 ,且 | nm|<1 ) (下称函数 )的值域 .本文再给出函数 的值域的一种新求法 .用待定系数法将 f( x)变形为f( x) =m+ n2 ( x2 + 1 + x) + m- n2( x2 + 1 - x) .( 1 )若 m>0 ,n<0 ,则由 | nm| <1得- m0 ,m- n2 >0 ,又 x2 + 1 + x>| x| + x≥ 0 ,x2 + 1 - x=1x2 + 1 + x>0 ,故由基本不等式得 f( x)≥ 2·m+ n2 ( x2 + … 相似文献
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宋文平 《数理天地(初中版)》2002,(12)
1.正用例1 计算(—2x—y)(2x—y). 分析两个因式中—y相同,而—2x与2x符号相反,可用平方差公式,—y相当于公式中的a,2x相当于公式中的b,得(—y)2—(2x)2—y2—4x2.2.活用例2 计算 (1)(2x+y-3z+5)(2x—y+3z+5), (2)(m—n)2(m+n)2(m2+n2)2. 相似文献
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《初中数学教与学》2019,(1)
<正>如果△ABC是等腰三角形,那么存在①AB=AC,②BA=BC,③CA=CB三种情况.从画图角度看分两种情况:①已知腰长画等腰三角形借助圆规画圆;②已知底边画等腰三角形借助三线合一的性质.解等腰三角形的存在性问题,可以从几何的角度来思考,也可以用代数的方法硬算出来.用几何法需要分类、画图探索,稍有不慎会漏解;用代数法,也需要分类,根据勾股如下:当点D在线段BC上时,如图3,此时(1)在正方形ACDE中,∠FGD是钝角,只有GF=GD;DE=AE=AC=12,DG=GE=6;当点D在线段BC的延长线上,且直线在RtAEG中,AB,CE的交点在AE上方时,如图4,此时AG=AE2槡+EG2=6槡5.∠FGD是钝角,只有GF=GD;∵EG∥AC,%A E F∴ACF∽GEF,G F FG EG A∴=,G E AFACFG61C DB DCB∴==,AF122图3图41∴FG=AG=23槡5.%A G E(2)如图2,正方形ACDE中,AE=ED,F∠AEF=∠DEF=45°.H D A CB%E A E B H1F D CFG G3图5图62当点D在线段BC的延长线上,且直线C D B AB,EC的交点在BD下方时,如图5,此时图2∠GDF是钝角,只有DF=DG;∵EF=EF,∴AEF≌DEF,当点D在线段CB的延长线上时,如图6,∴∠1=∠2,设∠1=∠2=x.此时∠FDG是钝角,只有DF=DG.∵AE∥BC,∴∠B=∠1=x;对上述情况分别求解即可解决问题.∵GF=GD,∴∠3=∠2=x.解法1在直角ABC中,AB=15.在DBF中,∠3+∠FDB+∠B=180°,当点D在线段BC上时,如图2,此时∴x+(x+90°)+x=180°,x=30°,∠FGD是钝角,只有GF=GD.∴∠B=30°,∵DG∥AC,∴BDG∽BCA,∴在RtABC中,AC设BD=3x,则DG=4x,BG=5x,BC==12tan 30°槡3.∴GF=GD=4x,则AF=15-9x.难点突破∵AE∥CB,∴AEF∽BCF,第(2)问,寻找等腰三角形是本文的重AE AF∴=,9-3x15∴=,点.题目提供的图形是线段型,但不要误认为BCBF9-9x本题就是确定型,其实本题是一道标准的纯整理,得x2-6x+5=0,几何动态型问题,我们可以从题目条件中的解得x=1或5(舍),三个关键词"直线"中感觉到,题目条件"点D∴腰长GD=4x=4.在直线CB上"、"直线AB与直线CE,DE的交当点D在线段BC的延长线上,且直线点分别为F,G".三个关键词"直线"提醒我们AB,CE的交点在AE上方时,如图4,此时必须重新构图.∠FGD是钝角,只有GF=GD.设AE=3x,则从几何性质入手思考,分四种情形:EG=4x,AG=5x,∴FG=DG=12+4x.∵AE∥BC,∴AEF∽BCF,12解得x=槡1412或-槡14(舍).AE AF77∴=,3x9x+12∴=,BCBF99x+27-84+48解得∴x=2或-2(舍弃),∴腰长DG=4x腰长DG=4x-12=槡14.7+12=20.综上所述,等腰DFG的腰长为4或20当点D在线段BC的延长线上,且直线84+484-84+48或槡1或槡14.AB,EC的交点在BD下方时,如图5,此时77∠FDG是钝角,只有DF=DG,过点D作DH点评上面是几何法的解题过程,我们⊥FG.可以看到,根据要求,画出不同情况下的图形设AE=3x,则EG=4x,AG=5x,是解题的关键,它可以帮助我们快速找到目DG=4x+12,标,但如何画出草图是难点,稍不留神,就会∴FH=GH=DG·cos∠DGB遗漏某种可能情况.16x+48=(4x+12) 4×=,解法2考虑到题目条件中有矩形,就有55直角,而且要求线段长度,我们可以在题图上32x+96∴GF=2GH=,以点C为原点,建立直角坐标系,如图7,一图5定乾坤.7x+96∴AF=GF-AG=.%5y A E∵AC∥DG,∴ACF∽GEF,F7x+96G AC AF5∴=,12∴=,EGFG4x32x+965C D B x12412解得x=槡1或-槡14(舍),∴腰图777由题目条件得:A(0,12),B(9,0),则直线84+48长GD=4x+12=槡14.47AB:y=-x+12.3当点D在线段CB的延长线上时,如图6,设D(m,0),此时∠FDG是钝角,只有DF=DG.则G(m,4-m+12),E(m,12),作DH⊥AG于H.设AE=3x,3则EG=4x,AG=5x,DG=4x-12.直线CE:12y=x.∴FH=GH=DG·cos∠DGB m4直线AB与直线CE联立方程组:=(4x-12)16x-48×=,5532x-96∴FG=2FH=,596-7x{4y=-x+12,312y=x,m∴AF=AG-FG=.5∵AC∥EG,∴ACF∽GEF,96-7x AC AF5{9m x=,9+m解得108y=,9+m∴=,12∴=,EGFG4x32x-96所以交点5(9m108F,-9+m9+m).4根据勾股定理,有DG2=(-m+12)2,3(2即5m27+3m)236-4m=(3)2,925m2DF2=(m(m-)2108+所以9+m(9+m)36-4m=,27+3m3m2=(9+m)2(108+9+m)236-4m m=6或m=6,5m2;或=-,27+3m321084GF29m=(m-++m-9+m)(129+m3)2无解.4当m=6时,m22=(9+m)24m2+(27+3m)-m+12=4,3G(6,4),所以DG=4;m2=(9+m)2(4m2+27+3m)2.当m=6时,4-m+12=20,3(1)若DG=DF,则G(-6,20),所以DG=20.(4108-m+12+3)2m2=(9+m)2(9+m)2,(3)若FG=FD,则(m224m2+9+m)(27+3m)2即7m4-2592m2=0,解得m=0,36m=槡14(m2=9+m)21082+,79+m即(4m22.27+3m)236或m=-槡14108.=7(9+m)当m=0时,G为原点,不符合;4m2108所以=,27+3m9+m36当m=槡14时,7m=9或m=-9(增根),4m2108448-m+12=-槡14或=-,无解.+12,27+3m9+m37G (36-槡14,48槡14+1277)当m=9时,则D(9,0),G(9,0),不存在.,综上所述,等腰DFG的腰长为4或2084+48或槡14-84+48或槡1484+48所以DG=槡14;.777点评题目条件中出现了三处点在"直36当m=-槡14时,线"7上,这暗示我们点处于几个不同的位置,需要分类讨论.几何解法需要先估算大致位448-m+12=槡14+12,37置,画出草图,然后根据不同的图形,从中直G (364-槡1,48槡14+1277)观提取有效的解题信息,不能画出草图,则不,能解决问题,漏画某个位置的图形则会漏解;代数法则有效的避开了"画出不同位置的图84+48所以DG=槡14.7形"这个高难度动作,它根据固定的套路,通(2)若GF=GD,则过计算、解方程等得到结果,从而确定了具体(m29+m)24m2+(27+3m)2的位置,但是计算量比较大,需要细心加耐心,没有较高的运算能力、较高的意志品质是4=(-m+123)2,难以完成的. 相似文献
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正中考命题特别钟爱动点,动点以其知识点多、题型复杂成为中考命题提升难度,拉开差距,选拔考生的一个"热"点,常出现于中考数学压轴题或者倒数第二道题.学生对动点是又爱又恨.可对于大多数学生呢,这可是"失分重灾区".分析运动过程、揭开"动点"问题的神秘面纱,理解并掌握其中的解题方法与解题技巧就显得尤为重要.例在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=-m-14x2+5m4x+m2-3m+2与x轴的交点分别为原点O和点A,点B(2, 相似文献
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[题目]若关于x的方程2x+1√=x+m有两个不同的实数根,求实数m的取值范围.错解一:将方程两边同时平方,得x2+(2m-2)x+m2-1=0.∵方程有两个不同的实数根,∴△=(2m-2)2-4(m2-1)>0,即m<1.分析:此解法出错的原因是,思路停留在套用公式上,而完全忽视了题目给出的隐含条件.错解二:将方程两边同时平方,得x2+(2m-2)x+m2-1=0.∵2x+1≥0,即x≥-12,设f(x)=x2+(2m-2)x+m2-1,则△>0,f(-12≥0 解得m<1.分析:错解二的思路是正确的,但却忽视了题目给出的另一个隐含条件x+m≥0.所以,本题的正确答案应是:12≤m<1.一般地,在判断形如ax2+bx+c=0,x∈(t1,t2)的二次… 相似文献