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一个不等式的正确证明 总被引：1，自引：0，他引：1
贺斌 《中学数学教学参考》2004,(5)
一个不等式 若x ,y ,z≥0 ,xy yz zx =1 ,则1y z 1z x 1x y≥52 ( =|x ,y ,z中一个为0 ,两个为1 ) . ( )据所知,( )式首出文[1 ],然后又见于文[2 ]、文[3 ],但其证明都隐含实质性缩小变量取值范围的错误.下面重予证明.证明:不妨设x≥y≥z≥0 ,由条件知x≥y >0 ,0≤yz≤13 ,x =1 -yzy z ,于是( )式 2 [(x y) (z x) (x y) ( y z) ( y z) (z x) ]≥5 (x y) ( y z) (z x) 2 [(x2 y2 z2 ) 3 (xy yz zx) ] ≥5 [(x y z) (xy yz zx) -xyz] 2 [(x y z) 2 1 ]≥5 [(x y z) -xyz] 2 (x y z) 2 -5 (x y z) 2 5x… 相似文献
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题目 已知 z7=1 (z∈ C,且 z≠ 1 ) ,( )证明1 z z2 z3 z4 z5 z6=0 ;( )设 z的辐角为 α,求 cosα cos2 α cos4 α的值 .这是 2 0 0 1年春季高考数学试题中文理共有的一道题目 ,主要考查复数的基本概念和基本运算 ,考查综合运用复数的知识解决问题的能力 ,题目活而不偏 ,难而适度 ,源于课本 ,高于课本 ,紧扣考试说明 ,是一道具有较高水平的中档题 ,本文就此题作一点简单探索 .先看解法 :解 ( )由 z(1 z z2 z3 z4 z5 z6) =1 z z2 z3 z4 z5 z6,得 (z- 1 ) (1 z z2 z3 z4 z5 z6) =0 .因为 z≠ 1 ,z- 1≠ … 相似文献
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一、填空题(每题3分,共24分) 1.若(z。一2x一3)~/—再=0,贝0 z的值是——. 2.如果方程去z。一2x 日=0有实数根,那么,口的取值范围是——. 3·函数y。≠专去的自变量z的取值范围是——. 4.如果点M(1一z,1一y)在第二象限,那么,点N(1一z,Y—1)在第——象限. 5.已知函数Y=(m一2)z”。。是反比例函数.那么,m= .’ 6.已知抛物线Y=O.Z。十如 C(口≠0)经过(1,4)和(5,4)两点.则这条抛物线的对称轴是 . , : __, 7.一次函数Y:缸 b的图象过点(优,1)和(一1,m)(m>1).则i岁随z的增大而 8.抛物线Y=一z。一4x 5的顶点在第 象限. 二、选择题(每题4分,共28… 相似文献
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具有0和∞两个亏值的亚纯函数唯一性,得到了相关的三个定理.定理1:设f(z)、g(z)为非常数亚纯函数,1和∞是f(z)与g(z)的CM分担值,(?)(∞,f)=(?)(∞,g)=1,δ(0,f)+δ(0,g)1,则f(z)≡g(z),或f(z)g(z)≡1.定理2与定理3:设f(z)、g(z)为非常数亚纯函数,0、1和∞是f(z)与g(z)的CM分担值,δ(0,f)+2(?)(∞,f)5/2,(或者δ(0,f)+(?)(∞,f)3/2),则f(z)≡g(z),或f(z)g(z)≡1. 相似文献
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《数学教师》1996,(2)
(1 995年4月2日) 一、选择题 (本题满分25分,每小题5分) 1.已知、//i一——l_一厅,则、/,石耳j的 ~/a值是 ( ) (A)口一一1. (B)一1一日. a 口 (C)口 土. (D)不能确定. a 2.已知Iz 5 l lz一4 I一9,则z的取值范围是 ( ) (A)一5≤z≤4. (B)z≤一5. (C)一5相似文献
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在数学竞赛中经常会碰到一些涉及两数(式)和与两数(式)积的问题,这类问题一般难度较大,不易解答。解答这类问题需要掌握一定的策略。本文举例说明解答这类问题常见的策略,供同学们参考。1 利用完全平方式转化和积 例1 已知x,y,z为实数,且x y z=5,xy yz zx=3,试求z的最大值与最小值。(加拿大第10届数学竞赛题) 解由题意有x y=5-z①,xy (x y)z=3,所以xy=3-(x y)z=3-(5-z)z=z2-5z 3②,由①②利用公式(x y)2-4xy=(x-y)2≥0得(5-z)2-4(z2-5z 3)≥0,即3z2-10z-13≤0,解之得-1≤z≤13/3,故z 相似文献
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《高中数学教与学》2002,(8)
数学试题 一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分) .1.函数,’(_):苎!堕垒的最小正周期是( ) ‘ COS工、 (A)号 (B)丌 ((?)2丌(D)4n 2.圆(z..1)。+,。==-==1的圆心到直线y=等z的距离是( ) (A){ (B)等 (c)l (D)朽 3.不等式(1+.r)(I一1 z J)>0的解集是( ) (A){j|l 0≤.r<:l; (B){z I z<0且J,≠一1} (C){z f一1COS j、成立的z取值范围为( ) (A)(j,量)u(玎鲁)。(B)(号,丌) (cj,(‘争詈) (D)(考,玎)u(孚,擎) 5. 设集合 M = {-z{z:专+百1,是∈z},N ={z I z=鲁+i1,惫∈z},则( … 相似文献
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一、选择题(每小题只有1个选项符合要求)1.(一1 i)。的值是( ). A一4 4i; B 4 4i; C 4—4i;D一4—4i2.已知直角坐标系中,点A(一sin25。,cos25。),B(cos205。,sin205。),0为原点,那么△AOB的面积是( ). A 1; B i1; C i1;3.若cos6·tan0％0,则0在( ).D牟 A第一、二象限; B第二、三象限; C第二、四象限;D第三、四象限4.若直线z的倾斜角为n--arctan÷,且过点P(一2,1),则直线z的方程是( ). A z 3.)'一1—0; B z一3y 5—0; C z 3y 1=0;D 3z j,一1:05.已知(z一1)。(加z一2)。展开式中矿的系数是1,那么实数m为( ). A 1; B一三A; C～寺;D… 相似文献
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《数学教师》1996,(2)
(1 995年1 2月24日) 一、选择题(4-小题3分,共15分) 1.关于z的方程3z。 (口。一3n 10)x- 3a一0的两根互为相反数,则n一 ( ) (A)一2. (B) 5,2. (C)5—2. (D)0. 2.若3相似文献
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方程思想、方程方法是一种很重要的数学思想方法 ,应用颇为广泛 ,不少数学问题 ,表面上看似乎与方程问题无关 ,但却常常要用方程思想方法来处理 .现举例说明 .1 构造方程求值例 1 设 z是 1的 7次方根 ,z≠ 1,求 z+ z2 + z4的值 .解 ∵ z7- 1=(z- 1) (z6 + z5+ z4+ z3+ z2 + z+ 1) ,又已知 z≠ 1,z7=1,∴ z6 + z5+ z4+ z3 + z2 + z+ 1=0 .令 A=z+ z2 + z4,B=z3 + z5+ z6 ,则 A+ B=- 1,AB=(z+ z2 + z4) (z3 + z5+ z6 )=z4+ z6 + z7+ z5+ z7+ z8+ z7+ z9+ z1 0= 2 .从而可知 A,B是方程 x2 + x+ 2 =0的两根 ,解得 A=- 1± 7i2 ,即 z+ z2 … 相似文献
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黎红 《数理天地(高中版)》2003,(4)
1.已知矗”(7r+a)一一专,则∞豫的值为( ) (A)±丢(B)虿1.(c浮(D)±争 2.函数y一/og2(z+1)+1(z>O)的反函数为( ) (A)y一2’’～1(or>1). (B)了一2’。+1(z>1). (C)y一2H’一1(z>0). (D)y==:2卧’+1(z>0). 3.复数z。一}氅,z:一2—3i,z。一詈,则I 2。I等于( ) (A)i1.(B)√5-g-.(c)佰.(D)5. 4.定义集合A、B的一种运算:A*B一{z I z=z1+z2,其中Xl∈A,z2∈B),若A={1,2,3}'B一{1,2}’则A*B中的所有元素数字之和为( ) (A)9. (B)14. (C)18. (D)21. 5.在等差数列{n。}中,a1+3a8+口。。一120,则3a 9一倪11的值为( ) (A)6. (B):12. (C)24.… 相似文献
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一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.已知全集I:R,P={z I z=而1,行∈N),Q={z 1 z=鬲1, ,z∈N},则下列关系正确的是( ) (A)P n Q=0 (B)Cp n Q=0 (c)p f-I Cp:0 (D)C尸n C,Q=D2.过点(1,2)作直线,使其在两坐标轴上的截距相等,则满足此条件 的直线的斜率为( ) (A)一l (B 相似文献
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本文研究了高阶线性微分方程f(k)+(Ak-1(z)epk-1(z)+Dk-1(z))f(k-1)+…+(A0(z)ep0(z)D0(z))f=0和f(k)+(Ak-1(z)epk-1(z)+Dk-1(z))f(k-1)+…+(A0(z)ep0(z)+D0(z))f=F(z)解的增长性问题,其中,pj(z)=a jzn+bj,1zn-1+…+bj,n,Aj(z)、Dj(z)和F(z)都是有限级整函数。针对pj(z)中aj(j=0,1,k-1)的幅角主值不全相等的情形,得到了方程解的增长级的精确估计。 相似文献
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黎伟初 《数理天地(高中版)》2003,(4)
带l¨’17J 、, /_、譬【,{/I。珂^0 P I丁 …V…例1 实数z,y满足z。+∥。一6z～4y一 大(小)值.即当直线3z+y—z—O与圆中阴影9,则2z一3y的最大值及最小值的和等于 部分有公共点时求z取得的最. (99年“希望杯”) 分析 原方程即(z一3)。+(岁+2)。一4,设2—2-r一3y,则本题相当于在约束条件(z一3)。+(y+2)。一4下求z一2z一3∥的最值.即直线2z一3y—z===0与圆相切时,获得最值.由d一卫苎芝兰垒兰尘l √2。+(一3)。图1—2得 z。,一12+2~/13,2。一12—2~/13. 例2 设z,.y满足口rccos(y一2)一口rcs砌(z一1),则3z+y的取值范围是( )(A)[5抓,5炯].(B… 相似文献
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我们知道,对任意实数以、6、c,有 口。 b。 f。一(口 b4-C)(日。 b。 c。一日6～6f--Ca) 3abc. 当且仅当a 6 c一0时,有 口。 b。 f。一3abc, (I) 或以bc--生掣. (Ⅱ) (I)、(Ⅱ)式的形式简炼、优美且应用广泛.下面介绍它们 在解含有三次根式的数学问题中的妙用. 根据(Ⅱ),有 命题 若厂(z) g(z)4"h(_z)一r(z),则方程 托亿万 奶兀万 扔i万一0 (1) .与 厂(z).g(z).矗(z)一f掣1。 (2) 同解.特别地,当t(z)一0时,方程(1)的解就是方程厂(z)一0, g(z)一0和h(z)==:0的解. 例1 解方程:y丽一y了一2. 解 原方程化为:影而 污 黼一0. ’.‘ 20 z—z一8—1… 相似文献
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逯中原 《数理化学习(初中版)》2006,(4)
近年来,各省市中考及初中数学竞赛中,经常有最值问题出现,现举例说明·一、利用判别式求最值例1(2004年全国初中数学竞赛试题)实数x、y、z满足x+y+z=5①,xy+yz+zx=3②,则z的最大值是·分析:消去一未知数,使之变为z为参数的一元二次方程·解:由①得y=5-x-z③把③代入②得x(5-x-z)+z(5-x-z)+zx=3整理得:x2+(z-5)x+z2-5z+3=0因为x为实数,所以Δ≥0所以(z-5)2-4(z2-5z+3)≥0所以(3z-13)(z+1)≤0所以-1≤z≤133·二、利用非负数性质求最值例2多项式P=2x2-4xy+5y2-12y+13的最小值为·分析:将多项式配方,使之化为几个非负数之和·解:P=2x2-4xy+5y2… 相似文献
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《数理天地(高中版)》2002,(5)
一、选择题(每小题6分,共60分)以下每题的四个选项中,仅有一个是正确的. 1.已知M一{』I.r0>4},N;{T I上<3},则下列等式中正确的是( ) (A)M U N={T I T≥0 2}. (B)M n N=R. (C)M n N一{』I J’<3}. (D)M U N=R. ’ 。 2.设譬(』·)一1一z,且当z≠1时,Ⅱg(J)]二(D)0 3.设fl(z)一f(x+5),fz(z)一/(T)一3,^(T)=厂(一丁),^(z)一一,(一z),则下列表述中正确的是( ) (A)fl(z)的图象是由fCr)的图象往右平移5个单位得到. (B)fz(z)的图象是由,(z)的图象往上平移3个单位得到. (C)^(T)是偶函数. (D)^(工)的图象是将,(z)的图象绕原点旋转180… 相似文献
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郑兴明 《数理天地(高中版)》2003,(3)
设函数f(x)定义在区间J上且zl,z2∈I,则 ①若函数f(x)在区间f上是单调增(或减)函数,则z1f(xz)). ②若函数f(x)在区间J上是单调函数,则z、一z2㈢厂(z1)一f(x2). ③若函数_厂(z)在区间J上是单调函数且存在反函数, 则f(x)一厂’(z)∞厂(z)一z. ④若函数厂(z)在区间,上是单调函数,则方程f(x)一0在区间工上至多有一个实数根. 运用上述性质可解答下面一些非函数问题. 1.求代数式值 例1 设a,卢分别是方程log 2x+z一3—0和2r+z一3—0的根,求8+卢的值. 解 由2。一3一z>0得 log 2(3一z)一z,即log 2(3一z)+(3一z)… 相似文献
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一、{lf曹断题(每小题2分·共10分)正确划“、/,”,错误划“×” 1.若l口l=一口,则12口一~/口。l=日. ( ) 2.若方程2z。__3口+c=O没有实数根,可断定f Q小于÷. ( ) o . 3.实数6的算术平方根为秒二. ( ) 4.两直角三角形中,一条直角边和一个锐角分别相等。则两三角形全等. ( ) 5.等边三角形是轴对称图形,不是中心对称图形. ( ) 二、选择题(每小题3分,共15分) 1.方程/2x2+7z—z=2的解为( ). (A)z1=1,z2=4 (B)z=1 (C)z=一4 (D)无实数解 2.方程4z。+(^+1)z+1—0有两等根,则志的值为( ). (A)志一5 (B)忌:一3 (C)愚=5或量一一3, (D)量一一5或愚… 相似文献