奇妙的“e^2—1”     

朱其录  申后坤 《数学教学通讯》2002,(1):39-40

大家都知道,圆具有如下性质:“如果AB是圆O的任意一条弦,M为AB的中点,那么AB上 OM,用‘斜率’的语言来叙述,即k_(AB·k_(OM)=-1.”其实,一般有心二次曲线均有类似的性质,用命题分述如下: 命题1:如果AB是椭圆x2/a2+y2/b2=1的任意一条弦,O为椭圆的中心,e为椭圆的离心率,M为AB的中点,即k_(AB)·k_(OM)=e2-1. 命题2:如果AB是双曲线x2/a2-y2/b2=1的任意一条弦,O为双曲线的中心,e为双曲线的离心率,M为AB的中点,即k_(AB)·k_(OM)=e2-1. 下面给出命题1的证明(命题2同理可证)  相似文献   

三点共线的等价命题类     

《中学数学教学参考》2007,(17)

从平面几何到代数、立体几何和解析几何,证明三点共线的命题、方法、技巧,实在不少,它们都可以归结为等价命题.(1)P、Q、R 三点共线(在同一条直线上).(2)P 在直线 QR 上.(3)P 到直线 QR 的距离为0.(4)P、Q、R 都是平面α与β的公共点.(5)P、Q、R 是△ABC 外接圆上一点分别在直线AB、BC、CA 上的射影.(6)S_(△PQR)=0。(7)三点 P、Q、R 在直线 AB 同侧,且 S_(△PAB)=S_(△QAB)=S_(△RAB).(8)线段 PQ、QR、PR 中,有两条之和等于第三条.(9)k_(PQ)=k_(PR).(10)若直线 PQ 的方程为 Ax By C=0,则直线 PR 的方程为 kAx kBy kC=0(k≠0为常数).若设三点 P、Q、R 的坐标分别为(x_1,y_1)、(x_2,y_2)、(x_3,y_3),则有(11)(x_3,y_3)满足方程(x-x_1)/(x_2-x_1)=(y-y_1)/(y_2-y_1).(12)设λ_1=(x_1-x_2)/(x_2-x_3),λ_2=(y_1-y_2)/(y_2-y_3),则λ_1=λ_2.  相似文献   

椭圆中的内接三角形的性质探究     

《中学生数理化(高中版)》2017,(8)

<正>当三角形的三个顶点都在椭圆上时,称此三角形为椭圆中内接三角形。笔者经过探究发现,椭圆的内接三角形具有以下性质。性质1:已知椭圆x²/a2/a²+y2+y²/b2/b²=1(a>b>0),P,A,B为椭圆上的不同三点,若直线AB经过原点,且k_(PA),k_(PB)均存在,则k_(PA)·k_(PB)=-b2=1(a>b>0),P,A,B为椭圆上的不同三点,若直线AB经过原点,且k_(PA),k_(PB)均存在,则k_(PA)·k_(PB)=-b²/a2/a²。证:设A点坐标为(x_A,y_A),P点坐标为(x_P,y_P),因为B与A关于原点对称,则B  相似文献   

关于二次曲线定向弦的讨论     

沙敏林 《中学数学月刊》2004,(11):26-27

在许多高三数学复习资料中有这样一道题:"已知椭圆(x2)/(4) (y2)/(9)=1上有一点P(1,(3(√3))/2),A,B是椭圆上异于点P的另外两点,若直线PA,PB的倾斜角互补,求证直线AB的斜率为定值."通过对这个问题的研究,笔者得到了一些与定向弦(如果点A,B在一条二次曲线上,那么我们就把AB称为这条二次曲线的一条弦.如果直线AB的斜率为定值,我们则称AB是这条二次曲线的定向弦)相关的有趣性质.  相似文献   

多树一果味更美——多姿多彩的“椭圆幂定理”赏析     

《中学数学教学参考》2007,(5)

有这样一个命题:椭圆 x~2/a~2 y~2/b~2=1(a>b>0)短轴为 AB,M 为椭圆上非 A、B 的点,MA、MB 与 x 轴交于点 E、F,则 OE·OF=a~2.此命题看似平凡,却"来头"不小,值得研究.推广1:把短轴 AB,长轴 CD 换成一般的共轭直径,得到如下性质:定理1 AB、CD 是椭圆 x~2/a~2 y~2/b~2=1(a>b>0)的共轭直径,M 为椭圆上非 A、B 的点,直线 MA、MB 分别交 CD 所在直线于点 E、F,则 E、F 在点 O 的同侧,且 OE·OF=OD~2(图1).证明:设 A(acos α,bsin α),则 B(-acos α,-bsin α),M(acos β,bsin β).由 AB、CD 共轭,知 k_(AB)·k_(CD)=-(b~2/a~2),又 k_(AB)=bsin α/acos α,  相似文献   

椭圆两条平行弦的一个有趣性质     

丁遵标 《河北理科教学研究》2007,(4):55-56

受文[1]的启发,笔者对椭圆两条平行弦进行研究,得到:定理:AB为过椭圆(x~2)/(a~2) (y~2)/(b~2)=1(a>b>0)焦点F的弦,若过椭圆中心O的半弦OC  相似文献   

双曲线中点弦的一个性质     

《安顺学院学报》1998,(4)

双曲线中点弦有如下一个性质: 如图1,直线l与双曲线x~2/a~2-y~2/b~2=1相交于A、B两点,P是AB中点,如果l的斜率为k_1(k_1为常数,且不为零),直线OP的斜率为k_(OP)(k_(OP)为常数)则k_1·k_(OP)=b~2/a~2  相似文献   

椭圆、双曲线的共轭直径及应用     

程惠才 《中学数学教学参考》1994,(7)

定义:连结椭圆上任意两点的线段叫弦.过椭圆中心的弦叫直径.类似地可定义双曲线的直径.如图1,平行于直径CD的弦的中点的轨迹AB和直径CD叫互为共轭直径.类似地可定义双曲线的共轭直径. 定理1 已知AB、CD为椭圆x~2/a~2 y~2/b~2=1的一对共轭直径,其斜率分别为k_(AB)、K_(CD),那么K_(AB)·K_(CD)=-b~2/a~2. 略证:如图1,设平行弦EF簇的斜率为k(即K_(CD)),则平行弦EF簇的方程为 y=kx t(t为参数).① 又椭圆方程为 x~2/a~2 y~2/b~2=1. ② ①代入②整理得 (a~2k~2 b~2)x~2 2a~2tkx a~2(t~2-b~2)=0. ③ 由韦达定理,得x_1 x_2=-(2a~2tk/a~2k~2 b~2). 设M(x′,y′)是EF的中点,则 x′=1/2(x_1 x_2)=-(a~2tk/a~2k~2 b~2) ④ 点M在EF上,则y′=kx′ t. ⑤ 由④、⑤消去参数t得 y′=-b~2/a~2k x′. ∵k_(AB)=k_(OM)=-(b~2/a~2k). ∴k_(AB)·k_(CD)=-(b~2/a~2k)·k=-(b~2/a~2). 推论1 AB是椭圆x~2/a~2 y~2/b~2=1的任意一条弦,P为AB的中点,O为椭圆的中心,则 K_(AB)·K_(OP)=-(b~2/a~2).  相似文献   

一个平面几何命题的应用探讨     

江思容 《中学数学教学》1992,(6)

如图,P为△ABC内任意一点,过P分别作DE∥BC,FG∥CA,HK∥AB,得△GDP,△PEK,△PHF,易知:△GDP∽△KPE∽△PHF∽△ABC,不仅如此,这四个三角形还有更密切的联系。定理设图中的△GDP、△KPE,△PHF与△ABC的相似比分别为k_1、k_2、k_3,则有k_1 k_2 k_3=1。证明∵k_1=GD/AB, k_2=KP/AB=AG/AB,k_3=PH/AB=BD/AB。∴ k_1 k_2 k_3=(GD AG DB)/AB=1。由上述定理,还可得到:  相似文献   

分角线的一个定理及其应用     

《安徽教育》1989,(3)

一、定理 在△ABC中,已知a、b、c是角A、B、C所对的边,ta是角A的平分线的长。求证: 1/b+1/c=(2cos1/2A)/(ta) 证明:如图1,过D作AC和AB的平分线分别交AB和AC于E、F, 则(DE)/(CA)=(BD)/(BC); (DF)/(AB)=(CD)/(CB). (DE)/(CA)+(DF)/(AB)=(BD+CD)/(CB)=1.  相似文献   

一个三角恒等式的推广     

沈家书 《数学教学通讯》1983,(4)

在文[1]中,曾用复数方法证明了较为一般的一个三角恒等式,即cos(2π)/(2n+1)+cos(4π)/(2n+1)+……+cos(2nπ)/(2n+1)=—1/2 (A) 笔者认为(A)式还可以作如下的推广: 定理:若n为正整数,p为奇数,且  相似文献   

圆锥曲线“中点弦”的斜率公式     

李发海 《中学生数理化(高中版)》2005,(19)

设A(x1,y1),B(x2,y2)是圆锥曲线上不同的两点,G(xA,yB)是线段AB的中点,kAB是AB弦所在直线的斜率.则有:(1)椭圆(x2)/(a2)+(y2)/(b2)=1,kAB=-(b2xA)/(a2yB)(2)双曲线三(x2)/(a2)-(y2)/(b2)=1,kAB=-(b2xA)/(a2yB);(3)抛物线y2=2px(p>0),kAB=P/(yA).证明:(1)因A、B两点在椭圆(x2)/(a2)+(y2/b2)=1上,所以有  相似文献   

双曲线与渐近线有关的一个性质及应用     

姜坤崇 《河北理科教学研究》2014,(1):42-44

正在对圆锥曲线的研究过程中,笔者偶尔发现了双曲线与渐近线有关的一个性质,兹介绍如下.1性质及证明定理给定双曲线E:(x~2)/(a~2)-(y~2)/(b~2)=1(a0,b0),M(x_0,y_0)是不在E及渐近线(包括E的中心O)上的任意一点,过M作E两条渐近线的平行线,分别交E于A、B两点,则(1)线段AB的中点C在直线OM上;(2)当  相似文献   

一题多解,活跃思维     

杨美璋 《中学生数理化(高中版)》2002,(12)

例直线l:y=-1/2x 2与椭圆(x2)/(a2) (y2)/(b2)=1交于A、B两点,O为坐标原点,M为线段AB的中点.若|AB|=5~(1/2),直线OM的斜率为1/2,求椭圆的方程.  相似文献   

圆锥曲线中切线与割线的一组性质     

苏琳 《中学数学研究(江西师大)》2015,(3):30-32

文[1]给出了如下性质1:已知直线l是圆锥曲线的焦点F对应的准线,过l上一点P作曲线的两条切线PA,PB,A、B为切点,则直线AB过焦点F.事实上,此处并不局限于焦点,可推广为焦点所在直线上任意一点.即有结论1如图1,已知椭圆(x~2)/(a~2)+(y~2)/(b~2)=1,在直线x=(a~2)/m(m≠0)上任取一点P(在椭圆外),作椭圆的两条切线  相似文献   

一个结论的推广(高二)     

李昌 《数理天地(高中版)》2005,(5)

结论 从圆O外一点P引圆的两条切线 PA、PB,切点分别为A、B,则切点弦AB被直线 OP垂直平分. 此结论可推广到椭圆、双曲线和抛物线. 1.从不在椭圆(x2)/(a2) (y2)/(b2)=1(a>b>0)对称轴 上的任意一点P引椭圆的两条切线PA、PB,切 点分别为A、B,则切点弦AB被直线OP平分,且 直线AB和OP的斜率之积为定值-(b2)/(a2).  相似文献   

圆锥曲线的一个奇妙性质     

彭世金 《中学数学研究(江西师大)》2008,(8)

笔者最近在研究圆锥曲线时,发现圆锥曲线的一个奇妙性质,现介绍如下:定理1已知椭圆E:(x~2)/(a~2) (y~2)/(b~2)=1(a>b>0),过不在椭圆E上的定点T(m,n)作定直线l:(mx)/(a~2) (ny)/(b~2)=1的垂线TD,垂足为D,过T引  相似文献   

单元测试卷(解析几何)     

毛金才 《新高考》2008,(3):38-40

一、填空题1.在椭圆(x~2)/(a~2)+(y~2)/(b~2)=1(a>b>0)中,已知点 A(a,0),B(0,6),若 F 为该椭圆的右焦点,且 F 到直线 AB 的距离等于 F 到原点的距离,则对椭圆离心率 e 的值估算正确的有______.  相似文献   

正逆反应活化能之差等于焓变吗?     

《承德师专学报》1989,(3)

一、引言 目前,有的大学化学教材把正逆反应活化能之差表示为焓变。即:E_1-E_(-1)=△H_o〈1〉结论的得出是根据: 阿累尼乌斯公式 (dlnk_1)/(dT)=E_1/(RT~2) (dlnk_(-1))/(dT)=E_(-1)/(RT~2) 及(dlnK)/(dT)=(△H)/(RT~2),K=k_1/k_(-1) 显然这里面是存在问题的,如式中的K是Kp还是Kc,并没做说明。如果是Kc就得不出上述的结论。因此我们有必要具体讨论一下,看正逆反应活化能之差应该等于什么? 二、E_(fc)-E_(bc)=△U,E_(fp)-E_(bp)=△H 在一恒容容器中,存在如下气相基元反应 aA+bB gG+hH  相似文献   

用定比分点公式进行坐标代换     

张光华 《数学教学通讯》1990,(2)

众所周知,在解析几何中,巧设点的坐标是简化解题过程的一条重要途径。若点P(x,y)分有向线段AB成定比入,即AP/PB=λ,由定比分点公式若设A(x+a,y+b),则有B(x-1/λ a,y-1/λ b),当斜率k_(AB)=k存在时,即为 A(x+a,y+ka),B  相似文献