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1.
众所周知,对于任意实数x,y,总有x=x y/2 x-y/2,y=x y/2-x-y/2,若令x y/2=a,x-y/2=b,便得到 x=a b,y=a-b. 这个简单的变换有着不同凡响的功效,解题中若能巧妙、合理地运用它,常能独辟蹊径、化难为易、避繁就简,使解题过程显得简洁、活泼、新颖、别致,现例说如下。 1 求变量的取值范围 例1 已知x,y是实数,且x~2 xy y~2-2=0,则x~2-xy y~2的取值范围是( )(1997年湖北省黄冈地区初中数学竞赛题) 解 设x=a b,y=a-b, 代入已知等式,得3a~2 b~2-2=0. 即b~2=2-3a~2。 相似文献
2.
对于任意两个实数x和y,总有
x=x＋y/2＋x-y/2,
y=x＋y/2-x-y/2,
若令x＋y/2=a,x-y/2=b,则有
{x=a＋b,y=a-b. 相似文献
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结论一：设a、b均为常数，函数y=f(x)对一切实数x都满足f(a x)=f(b-x)，则函数y=f(x)的图象关于直线x=a b/2对称． 相似文献
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题 设实数 a,b满足 ab>0 ,证明 :3 a2 b2 (a b) 24≤ a2 10 ab b212 ,并求等号成立条件 .一般地 ,证明 :对任意实数 a,b均有3 a2 b2 (a b) 24≤ a2 ab b23,并求等号成立的条件 .这是《数学通讯》2 0 0 1年第 2 1期上刊登的第 14届爱尔兰数学奥林匹克第 1试第 5题 .参考解答在证这道题的后一部分时用了分类讨论法 (分 ab>0 ,ab≤ 0 ) ,这里用平均值代换法 ,可以一气呵成 .证明 设 x=a b2 ,y=a- b2 ,则 a=x y,b=x - y,不等式3 a2 b2 (a b) 24≤a2 ab b23等价于3 (x2 - y2 ) x2 ≤ 3x2 y23,等价于 2 7(x2 - y2 ) x2≤ (3x2 y2 ) 3 ,即 2… 相似文献
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于志洪 《山西教育(综合版)》2001,(20)
例 1.已知 a2 b2 =6 ab且 a>b>0 ,则 a ba- b=。 (2 0 0 1年北京市中学生数学竞赛初二决赛题 )解 :设 a=x y,b=x- y,则将其代入 a2 b2 =6 ab中 ,得 (x y) 2 (x- y) 2 =6 (x y) (x- y)展开括号 ,化简整理得 4 x2 =8y2。而 a>b>0 ,∴ x>y>0 ,∴ x2y2 =2 ,∴ xy=2 ,另 a b=2 x,a- b=2 y,因此 a ba- b=2 x2 y=xy=2。二、求最值范围例 2 .已知实数 a、b满足 a2 ab b2 =1,且 t=ab- a2 - b2 ,那么 t的取值范围是。 (2 0 0 1年 TI杯全国初中数学竞赛 A卷试题 )解 :设 a=x y,b==x- y,代入已知式得(x y) 2 (x y) (x- y) (x- y… 相似文献
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王金明 《中学生数理化(高中版)》2006,(Z1)
结论1设a、b为常数,则函数y=f(x)的图象与函数y=g(x)的图象关于直线x=a+b/2对称的充要条件是:对任意实数x,都有f(a+x)= g(b-x)．证明:(1)充分性:设点P(a+x0,y0)是函数y=f(x)的图象上任意 相似文献
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<正>一般地,使函数y=f(x)的值为0的实数x称为函数y=f(x)的零点.因此,函数y=f(x)的零点就是方程f(x)=0的实数根.从图象上看,函数y=f(x)的零点就是它的图象与x轴交点的横坐标.一般地,若函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是一条不间断的曲线且f(a)·f(b)<0,则函数y=f(x)在区间(a,b)上有零点.我们经常会遇到函数与方程的有关问题,下面我们看这样几个题目. 相似文献
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向量的性质常见于教材的例、习题中 ,但其应用是教材的薄弱内容 .同学们学习时应掌握下面性质的应用 ,以加深对向量知识的理解和掌握 .1若 e1、e2 是平面α内非零不共线向量 ,则对于α内任一向量 a,有且只有一对实数λ1,λ2 ,使得 a=λ1e1+λ2 e2 成立 ;2非零向量 a =( x1,y1) ,b =( x2 ,y2 )的数量积为a .b =x1x2 +y1y2 ;3设向量 a =( x1,y1) ,b =( x2 ,y2 ) ,b≠ 0 ,则 a∥b x1y2 - x2 y1=0 ;4设非零向量 a =( x1,y1) ,b =( x2 ,y2 ) ,则 a⊥b x1x2 +y1y2 =0 ;5非零向量 a =( x1,y1) ,b =( x2 ,y2 )的夹角θ满足 cosθ =cos〈a,b〉 =a .b|… 相似文献
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三、代数部分1.求所有实函数f、g、h :R→R ,使得对任意实数x、y ,有(x -y)f(x) +h(x) -xy +y2 ≤h(y)≤(x -y)g(x) +h(x) -xy +y2 .①(第 5 3届罗马尼亚数学奥林匹克 (第一轮 ) )解 :由式①得(x -y)f(x) ≤(x -y)g(x) .易知f(x) =g(x)对所有实数x均成立 .于是 ,有(x -y)f(x) +h(x) -xy +y2 =h(y) .令x =0 ,得h(y) =y2 -f(0 )y +h(0 ) ,即h是一个二次函数 .定义f(0 ) =a ,h(0 ) =b ,将h(y) =y2 -ay +b代入 ,有(x -y)f(x) +x2 -ax +b -xy+y2 =y2 -ay +b ,即 (x -y)f(x) +x(x -y) - (x -y)a =0 .由于x、y是任意实数 ,所以 ,f(x) =-x +a .经… 相似文献
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于志洪 《数理天地(初中版)》2002,(8)
对于任意两个实数x和y,总有x=(x+y)/2+(x-y)/2,y=(x+y)/2-(x-y)/2,若令(x+y)/2=a,(x-y)/2=b,则有x=a+b,这种代换就叫做和差代换.和差代换很有 y=a-b,用,这里介绍它在二次根式问题方面的应用. 相似文献
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令x=a+b,y=a-b的变换通常称为和差变换。本文通过举例谈谈和差变换在数学中的三种作用。 一、改善式子的结构 例1已知x、y为实数。 求证:x~2+y~2+4>3(x+y)-xy。 证明 设 x=a+b,y=a-b,则 相似文献
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雷碧 《数学大世界(高中辅导)》2003,(5):13-14
向量的主要性质①向量的加法适合向量加法的三角形法则或平行四边形法则,即AB+BC=AC; ②若e1、e2是平面α内非零不共线向量,则对于α内任一向量a,有且只有一对实数λ1λ2,使得a=λ1 e1+λ2 e2成立; ③非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2)的数量积为a·b=x1x2+y1y2; ④设非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a⊥b(?)a·b=x1x2+y1y2=0; 相似文献
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零点定理是必修1(人教版)的内容,是新教材新增的一个重要定理,有着广泛的应用.什么是零点呢?对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点.方程f(x)=0有实数根函数y=f(x)的图象与x轴有交点函数y=f(x)有零点.零点定理:如果函数在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,且满足f(a).f(b)<0,那么,函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点,即存在c 相似文献
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对于任意两个实数x和y,总有:x=x+y2+x-y2,y=x+y2-x-y2.若令a=x+y2,b=x-y2.则有x=a+b,y=a-b.这种代换称之为和差代换.下面谈谈这种代换在求值中的应用.一、求分式值例1已知a2+b2=6ab且a>b>0,则a+ba-b=.(2001年北京市初二数学竞赛复赛题)解设a=x+y,b=x-y,同时代入a2+b2=6ab中,得(x+y)2+(x-y)2=6(x+y)(x-y),化简整理,得x2=2y2,而a>b>0,所以x>y>0,故x2y2=2,xy=2.又知a+b=2x,a-b=2y,∴a+ba-b=2x2y=xy=2.二、求根式值例2计算14+65-14-65的值是()(A)1(B)5(C)25(D)5(2000年全国数学联赛题)解设14+65=a+b,①14-65=a-b.②①×②,得a2-b2=4.③①2+②2… 相似文献
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略谈一个不等式的应用 总被引：1，自引：0，他引：1
设 x,y为正实数 ,则由均值不等式得(x y) 3=(12 x 12 x y) 3≥ (3·314x2 y) 3=2 74x2 y.∴ (x y) 3 ≥ 2 74x2 y(* ) ,当且仅当 y=12 x时不等式取等号 .不等式 (* )形式简单 ,但在不等式证明中往往有独到的作用 ,下面举例说明之 .例 1 已知 a,b,c∈R .求证 :(a 1 ) 3b (b 1 ) 3c (c 1 ) 3a ≥ 814.(《中等数学》2 0 0 0年第 4期数学奥林匹克问题 91 )证明 由 (* )式得(a 1 ) 3≥ 2 74a,(b 1 ) 3≥ 2 74b,(c 1 ) 3≥ 2 74c,∴ (a 1 ) 3b (b 1 ) 3c (c 1 ) 3a ≥ 2 74(ab bc ca)≥ 2 74· 3·3ab· bc· ca=814.例 2 已知实数 a>1 ,b… 相似文献
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邹生书 《中学数学研究(江西师大)》2013,(2):25-26
宋庆老师在文[1]末提出了四个不等式猜想,其中猜想1如下:
猜想 若a,b,c是正实数,且满足abc=1,则a2/a+2+b2/b+2+c2/c+2≥1.
文[2]运用均值不等式的变式x2/y≥2x -y(x＞0,y＞0,当且仅当x=y时等号成立)证明了这个不等式猜想及如下一般性推广:
推广:若a,b,c,λ,μ是正实数,且满足abc=1,则a2/λa+μ+b2/λb+μ+c2/λc+μ≥3/λ+μ. 相似文献
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两道代数题的新证明 总被引：1，自引：0，他引：1
1.若 a,b∈ R,且 a 1- b2 b 1- a2=1,求证 :a2 b2 =12.实数 x,y,z满足 x y z=a,x2 y2 z2 =a22 ,(a>0 ) ,证明 x,y,z∈ [0 ,23a].这是两道常见的代数题 ,证法都颇多 .本文利用同一种方法再给出它们一种新颖证法 .证明 1.构造直线 l:x 1- b2 y1- a2 =1,显然点 P(a,b)在直线 l上 ,l不过原点 O,所以原点 O到直线 l的距离不大于 | OP| ,即1(1- b2 ) (1- a2 ) ≤ a2 b2 ,整理得 (a2 b2 ) 2 - 2 (a2 b2 ) 1≤ 0 ,即 (a2 b2 - 1) 2≤ 0 ,所以 ,a2 b2 =1.2 .构造直线 l:x y (z- a) =0 ,由条件知点 P(x,y)在… 相似文献
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例1 已知x、y是实数,且满足 x2+xy+y2—2=0,求x2—xy+y2的取值范围. 解因为 x2+xy+y2=2①设x2—xy+y2=t ②①—②,得③①+③,得④由④知 t≤6,由变式,得解得 t≥2/3,所以例2 已知a、b、C满足a+b+c=0,abc=8, 相似文献