共查询到20条相似文献，搜索用时 31 毫秒
1.
设a、b、c∈R ,求证: a~3 b~3 c~3≥3abc a(b-c)~2 b(C-a)~2 c(a-b)~2。 这个不等式是著名不等式a~3 b~3 c~3≥3abc的一个加强,在中学数学杂志上曾引起了一些讨论。它的等价形式曾作为瑞典1983年的竞赛试题:若a、b、c∈R~ ,求证:abc≥(-a b c)(a-b C)(a b-c) (1) 联想到(1)的右端与海伦公式的相似之处,本文将(1)进一步加强为: 相似文献
2.
第十三届(1953牛)普特南数学竞赛有这样一道试题: 设实数a,b,c中任意两个之和大于第三个,求证 2/3(a+b+c)(a~2+b~2+c~2) >a~3+b~3+c~3+abc. (1) 事实上,我们有命题设实数a,b,c中任意两个之和大于第二个,则 2/3(a+b+c)(a~2+b~2+c~2) ≥a~3+b~3+c~3+3abc. (2)当且仅当a=b=c时等号成立. 证明:不难验证,(2)式等价于 (b+c-a)(c+a-b)(a+b-c) 相似文献
3.
贵刊1993·8期P18刊登了王玉怀先生的文章《一道条件过剩的IMO试题》,文中将第24届国际中学生数学奥林匹克一道试题: 设a,b,c为三角形的三边长,求证: a~2b(a-b)+b~2c(b-c)+c~2a(c-a)≥0中的条件放宽为“a,b,c为任意正数”。笔者以为不妥,原题的条件依然是必要的。 相似文献
4.
李加军 《中学数学研究(江西师大)》2013,(9):48-50
2013年浙江省以及2012年甘肃省数学竞赛的不等式证明虽然不难,但因其证明过程中涉及的代数式变形以及方法的灵活性和多样性,对同学们的学习有极大的帮助,故提供几种解法,以飨读者.题目1(2013年浙江省高中数学竞赛试题)设a,b,c∈R~+,ab+bc+ca≥3,证明:a~5+b~5+c~5+a~3(b~2+c~2)+b~3(c~2+a~2)+c~3(a~2+b~2)≥9. 相似文献
5.
一道IMO试题的多种等价形式 总被引：1，自引：1，他引：0
笔者在研究不等式的过程中,发现下列不等式与许多重要的不等式等价。 问题1 设a、b、c为三角形的三边长。求证: a~2(b c-a) b~2(c a-b) c~2(a b-c)≤3abc。 (1) (第6届IMO试题) 问题2 若△ABC的外接圆、内切圆半径分别为R、r,面积为△,则 相似文献
6.
在课本、习题集及许多资料中,经常可以看到这样一道习题: 已知:a、b、c(R,且a+b+c=M(M=1是它的特殊情形),求证:a~2+b~2+c~2≥(M~2)/3。它的证法很多,常见的有:构造二次函数法,利用柯西不等式、平均值代换法、利用等式:3(a~2+b~2+c~2)=(a+b+c)~2+(a-b)~2+(b-c)~2+(c-a)~2等 相似文献
7.
最近本刊文载有如下一道1991年苏联农村中学生数学竞赛十一年级试题: 已知a,b,c>0,求证 (a b)(b c)(c a)≥8abc (1) 对a、b、c每两个应用均值不等式,然后相乘即得(1)式。这道试题看似简单平常,但实质上却隐含着丰富的内容。很多数学竞赛题就是以它为源头,通过变换逐步演绎深化而成。真可谓是金线串珠,妙趣无穷。 1.对(1)作变换:a→b c,b→c a,c→a b,则得现行教科书代数下册p32的一道复习参考题:已知a,b,c∈R~ ,求证 2(a~3 b~3 c~3)≥a~2(b c) b~2(c a) c~2(a b) (2) 相似文献
8.
IMO24-6是:已知a,b,c为三角形三边,则 a~2b(a-b) b~2c(b-c) c~2a(c-a)≥0。 (1) (1)的一个等价形式是 相似文献
9.
原命题已知a、b、c∈R~+,且两两不等,求证: 2(a~3+b~3+c~3) >a~2(b+c)+b~2(c+a)+c~2(a+b). 这是高中《代数》(甲种本)第二册复习参考题三(A组)第5题,本文对该题作进一步的探讨。一、原命题的改进和拓广首先指出原命题可改进为命题一已知a、b、c∈R~+,且不全相等,则 2(a~3+b~3+c~3) >a~2(b+c)+b~2(c+a)+c~2(a+b). 其证明参见下面命题二的证明。二、分析探索,拓广命题原命题给出的不等式两边都是齐次式,我们可以从项数和指数两个方面进行推广。命题二已知a、b、c、d∈R~+,则 3(a~3+b~3+c~3+d~3) 相似文献
10.
张萍 《中学数学研究(江西师大)》2014,(4):45-46
正题目设a,b,c∈R~+,ab+bc+ca≥3,证明a~5+b~5+c~5+a~3(b~2+c~2)+b~3(c~2+a~2)+c~3(a~2+b~2)≥9.这是2013年浙江省高中数学竞赛试题附加题第21题,本文从一题多解、一题多变角度对这道竞赛题进行研究,希望对读者有所帮助. 相似文献
11.
在关于不等式的许多命题中,都有一个“当且仅当…时取等号往往不被重视,其实,在解题时它们是很有作用的。本文介绍解题的一些例子。例1.设a,b,c是三角形的三边,则此三角形为等边三角形的充要条件是:a~2(b+c-a)+b~2(c+a-b)+c~2(a+b-c)=3abc (1) 证明:令b+c-a=x,c+a-b=y,a+b-c=z, 则z,y,z>0, 相似文献
12.
高中课本《代数》下册(必修)P_(32)复习参考题五第5题“已知 abc∈R~ ,且两两不等,求证2(a~3 b~3 c~3)>a~2(b c) b~2(a c) c~2(a b).”本文将此不等式作完善引伸,进而由此推证出一些著名不等式及竞赛不等式. 相似文献
13.
设a,b,c为三角形的三边长,证明: ∑a~2b(a-b)≡a~2b(a-b)+b~2c(b-c)+c~2a(c-a)≥0 (1) 这是第24届IMO的一道试题. 经探讨,我们得到了与(1)类似的如下不等式: ∑a~3b(a-b)≥0 (2) ∑a~4b(a-b)≥0 (3) 证令a=y+z,b=z+x,c=x+y,并记σ_1=x+y+z,σ_2=xy+yz+zx,σ_3=xyz(x,y,z>0),则∑a~3b(a-b)=∑(σ_1-x)~3(z+x)(y-x)=∑(σ_1-x)~3(σ_2-x~2-2xz)=σ_2∑(σ_1~3-3σ_1~2x+3σ_1x~2-x~3)-∑(x+2z)(σ_1~3x-3σ_1~2x~2+3σ_1x~3-x~4) 相似文献
14.
某种课本上有这样一道例题:“已知a,b,c是不全相等的正数,求证a(b~2+c~2)+b(c~2+a~2)+c(a~2+b~2＞6abc.”其证明过程是:“∵b~2+c~2≥2bC,a＞0,∴a(b~2+C~2)≥2abc (1)同理,b(c~2+a~2)≥2abc (2)c(a~2+b~2)≥2abc(3)因为a、b、c不全相等,所 相似文献
15.
设a,b,c∈R~ ,求证:(a~2 b~2)~(1/2) (b~2 c~2)~(1/2) (c~2 a~2)~(1/2)≥2~(1/2)(a b c)。此不等式多用代数方法或构造复数来证明,但李建章老师在《中学生教学》上给出了上述不等式的一种几何证明,读后颇有启发。本文打算提供另一种直观的几何证明,供参考。证明:如图,构作一边长为a b c的正方形ABCD,其对角线长AC=2~(1/2)(a b 相似文献
16.
徐国平 《中学数学研究(江西师大)》2006,(8):25-26
文[1]例4给出了不等式:“a~2/(b c-a) b~2/(c a-b) c~2/(a b-c)≥a b c,其中 a,b,c 为△ABC 三边”的证明.它采用逆用等比数列各项和的证明方法,其思路新颖,但证题过程繁琐,不利于学生理解与掌握.本文从柯西不等式着手推导出两个结论,并对文[1]例4给出另一种独特简洁的证法,然后对推论作一简单的运用.在初等数学中常遇到如下不等式: 相似文献
17.
为培养学生的思维能力,在讲授不等式的证明一部分内容时,我曾为学生布置这样一道思考题:“已知a、b、c∈R~+,求证(a~2+b~2)~(1/2)+(b~2+c~2)~(1/2)+(c~2+a~2)~(1/2)≥2~(1/2)(a+b+c)。”,下面主要从五个方面谈谈我是如何通过这道典型习题来培养训练学生的思维能力的。一、当思维受阻以后: 由于本题难度较大,虽经课后时间的思考, 相似文献
18.
第36届IMO第2题,可推广得如下四个命题: 命题1 设a、b、c∈R~ ,且abc=1,则1/a~3(b c) 1/b~3(c a) 1/c~3(a b)≥1/2(bc ca ab)(1),当且仅当a=b=c=1时等式成立。 证 易知(2)等价于b~2c~2/a(b c) c~2a~2/b(c a) a~2b~2/c(a b)≥1/2(bc ca ab)(2)。由平均值不等式可得: b~2c~2 (1/4)a~2(b c)~2≥abc(b C), ∴b~2c~2≥abc(b c)-(1/4)a~2(b c)~2, 相似文献
19.
一个不等式的补充及推广 总被引：1，自引：0，他引：1
本刊文[1]中有题目:设a、b、c∈R~ ,求证:(a~2 ab b~2)(1/2) (b~2 bc c~2)(1/2) (c~2 ca a~2)(1/2)≥3~(1/2)(a b c) (*) 其它杂志又相继刊登了此题的多种证明方法.这个不等式实质上仅对(*)式右端作出了下界的估计,本文进一步对(*)式左端作出其上界的估计. 相似文献
20.
在对含有多个字母的代数式进行变形时,适当地确立一个字母作“元”。并按这个“元”来分析,可使一些数学问题得到规范化和简单的解法。一分解因式中按元分组 [例1] 把a~4(b-c) b~4(c-a) c~4(a-b)分解因式略解:原式=(b-c)a~4 (c~4-b~4)a bc(b~3-c~3)<以a为元> =(6-c)(a~4-ab~3-ac~3-abc~2-ab~2c b~3c bc~3 b~2c~2) =(6-c)[(c-a)b~3 (c~2-ac)b~2 (c~3-ac~2)b (a~4-ac~3)]<以6为元> =(6-c)(c-a)(b~3 cb~2 c~2b-a~3-ac~23-a~2c) 相似文献