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1991中国数学奥林匹克试题一、平面上有一个凸四边形ABCD. (1)如果平面上存在一点P,使得△ABP,△BCP,△CDP和△DAP的面积都相等,问四边形ABCD要满足什么条件 相似文献
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本文借助于向量的数量积给出平面任意四边形的一组新面积公式,并举例介绍其应用.引理1对平面任意四边形ABCD,有SABCD=12AC·BD·sinα(其中,α是对角线AC、BD所成的角)图1证明:(1)如图1,若四边形ABCD是凸四边形,则SABCD=S△PAB S△PBC S△PCD S△PDA=12PA·PB·sin∠APB 12PB· 相似文献
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文[1]给出了圆内接四边形的一个性质:ABCD为圆内接四边形,△ABC,△BCD,△CDA,△DAB的内心分别为E,F,G,H,则四边形EFGH是矩形.本文给出圆内接四边形的另外两个性质:性质1 如图1,ABCD为圆内接四边形,△ABC,△BCD,△CDA,△DAB的重心分别为S,P,Q,R,则有如下结论:(1)四边形PQRS∽四边形ABCD;(2)S四边形PQRS=1/9S四边形ABCD. 相似文献
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第39届IMO试题解答 总被引：1，自引：0，他引：1
1.在凸四边形ABCD中,两对角线AC与BD互相垂直,两对边AB与DC不平行,点P为线段AB及CD的垂直平分线的交点,且P在四边形ABCD的内部,证明:ABCD为圆内接四边形的充分必要条件是△ABP与△CDP的面积相等。 证明:先证必要性:即当A、B、C、D四点共圆时,有S_(△ABP)=S_(△CDP). 相似文献
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杨再发 《数理化学习(初中版)》2013,(8):14
性质:对角线互相垂直的任意四边形性质的面积等于两条对角线乘积的一半.如图1:在四边形ABCD中,AC、BD是对角线,且AC⊥BD,垂足为P,则:四边形ABCD的面积=1/2AC×BD证明:因为AC⊥BD,所以S△ACD=1/2AC×DP,S△ACB=1/2AC×BP.因为四边形ABCD的面积=S△ACD+S△ACB. 相似文献
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第一天 1.在凸四边形ABCD中,两对角线AC与BD互相垂直,两对边AB与DC不平行,点P为线段AB及CD的垂直平分线的交点,且P在四边形ABCD的内部。证明:ABCD为圆内接四边形的充分必要条件是△ABP与△CDP的面积相等。 相似文献
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例1(2010贵州贵阳)已知,如图1所示,E,F是四边形ABCD对角线AC上的两点,且AF=CE,DF=BE,DF∥BE.(1)求证:△AFD≌△CEB.(2)四边形ABCD是平行四边形吗?请说明理由. 相似文献
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若在四边形ABCD内存在点P,使得∠PAB=∠PBC=∠PCD=∠PDA=α,那么点P叫做四边形的勃罗卡点,而角α称为四边形的勃罗卡角.
关于四边形内勃罗卡点的存在性问题在文[1]中有详细的讨论,在假设所讨论四边形的勃罗卡点总是存在的前提下,我们给出勃罗卡角的几个计算公式.为了叙述方便,假设四边形的边AB,BC,CD,DA的长度为a,b,c,d,边AP,BP,CP,DP的长度分别为m,n,s,t,△ABP,△BCP,△CDP,△DAP的面积依次为△1,△2,△3,△4,四边形ABCD的面积为△. 相似文献
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1.本届IMO第1题. 2.已知ABCD是圆内接四边形,E、F分别为B、CD上的点,且满足AE:EB=CF:FE。设P是线段EF上满足PE:PF=AB:CD的点.证明:△APD和△BPC的面积之比不依赖于E、F的选择。 相似文献
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第一题如图1,给定凸四边形ABCD,图1∠B ∠D<180°,P是平面上的动点,令f(P)=PA.BC PD.CA PC.AB.(1)求证:当f(P)达到最小值时,P、A、B、C四点共圆;(2)设E是△ABC外接圆⊙O的AB上一点,满足AEAB=23,EBCC=3-1,∠ECB=12∠ECA,又DA、DC是⊙O的切线,AC=2,求f(P)的最小值.(1)证明:如图1, 相似文献
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题1 设E、F分别是凸四边形ABCD的边AD、BC上的点,满足AE：ED=BF：FC,射线FE分别与射线BA、CD交于点．S、T．证明：△SAE、△SBF、△TCF和△TDE的外接圆有一个公共点． 相似文献
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贵刊81年第五期刊登了《一道美国数学竞赛题的简证》.在教学活动中.发现我的学生对这个题目的原命题有更巧妙的证明,现介绍如下: 已知:空间四边形ABCD中(A、B、C、D不共面)AD=BC,AB=DC,AM=MC,DN=NB 求证:MN⊥AC, MN⊥BD 证明:连结AN,NC,把△ABD绕BD平放到△BCD所在的平面内(注意,AB,AD、AN的长度未变).这时以ABCD是一个平面四边形.∵ AD=BC,AB=DC ∴ABCD是一个平行 相似文献
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第39届IMO第一题,是一个很有趣的几何题,题目如下: 题在凸四边形ABCD中,两对角线AC与BD互相垂直,两对边AB与CD不平行.点P为线段AB、CD垂直平分线的交点,且P点在四边形ABCD内部.证明:ABCD为圆内接四边形的充分而必要条件是:△ABP与△CDP的面积相等. 相似文献
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刘军锐 《数理化学习(初中版)》2005,(8)
题目(2004年菏泽市中考题)给出正方形ABCD,如果点P满足下列条件:连接线段PA、PB、PC与PD,使△PAB、△PBC、△PCD与△PDA都为等腰三角形,平面内符合条件的P 相似文献
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初中教材《几何》第二册复习题四中有这样一道证明题(P194.6(1)): 题目 已知:四边形ABCD中,AB=DC,AC=BD,AD≠BC.求证:四边形ABCD是等腰梯形. 《教师教学用书》给出一种证法.下面给出四种新的证明. 证法 1 ∵ AB=DC,AC=DB,BC=CB, ∴ △ABC≌△DCB. ∴ ∠ABC=∠DCB. 相似文献
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例题 如图1,四边形ABCD是长方形,点E、F分别在边AB、CD上,若△AED、△DEF、四边形BCFE的面积比是1：3：5,则AE：BE_______. 相似文献
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20 0 2年天津市中考试卷第一题的第 1 0小题为 :已知四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O ,若S△AOB =4 ,S△COD =9,则四边形ABCD的面积S四边形ABCD 的最小值为A 2 1 B 2 5 C 2 6 D 36图 1我们给出如下解法 ,对试题给出分析与评价 .解 如图 1 ,过点A、C作BD的垂线 ,垂足分别为F、E .设AF =h1,CE=h2 ,BD=a ,OD=x ,则OB=a -x .由已知条件可得12 (a-x)h1=S△AOB =4 ,12 xh2 =S△COD =9.从而 ,h1=8a-x,h2 =1 8x. ( 1 )又S四边形ABCD =S△AOB S△COD S△BOC S△AOD =S△BOC S△AOD 1 3.于是 ,求四边形… 相似文献