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《中学数学教学参考》2007,(15)
定理1 欲证 P≥Q,只需证 P Q≥2Q.例1 (《数学通报》数学问题解答1602)已知 a,b,c∈R_ ,求证:((a b)/(a c))a~2 ((b c)/(b a))b~2 ((c a)/(c b))c~2≥a~2 b~2 c~2 .证明:不等式可化为P=a~3b~2 b~3c~2 c~3a~2≥a~2b~2c ab~2c~2 a~2bc~2≥Q.P Q=(a~3b~2 ab~2c~2) (b~3c~2 a~2bc~2) (c~3a~2 相似文献
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第36届IMO第2题,可推广得如下四个命题: 命题1 设a、b、c∈R~ ,且abc=1,则1/a~3(b c) 1/b~3(c a) 1/c~3(a b)≥1/2(bc ca ab)(1),当且仅当a=b=c=1时等式成立。 证 易知(2)等价于b~2c~2/a(b c) c~2a~2/b(c a) a~2b~2/c(a b)≥1/2(bc ca ab)(2)。由平均值不等式可得: b~2c~2 (1/4)a~2(b c)~2≥abc(b C), ∴b~2c~2≥abc(b c)-(1/4)a~2(b c)~2, 相似文献
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武增明 《中学数学教学参考》2006,(15)
a+b+c=0(a,b,c∈R),有许多简捷、优美的结论,且有着广泛的用途.结论1 若 a+b+c=0,则 b~2≥4ac 或a~2≥4bc 或c~2≥4ab.证明:因为 a+b+c=0,所以 b=-(a+c),b~2=(a+c)~2=a~2+c~2+2ac≥2ac+2ac=4ac,即 b~2≥4ac.同理可得,a~2≥4bc,c~2≥4ab.结论2 若 a+b+c=0,则 a~3+b~3+c~3=3abc.证明:因为 a+b+c=0,所以 a+b=-c,(a+b)~3=-c~3,即 a~3+3a~2b+3ab~2+b~3+c~3=0,也即 a~3+3ab·(a+b)+b~3+c~3=0,又 a+b=-c,所以 a~3+b~3+c~3 相似文献
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《数学通报》2005年8月号数学问题的1570给出如下不等式链:设 a,b,c∈R~ ,求证:a~5/b~3 b~5/c~3 c~5/a~3≥a~/b~2 b~4/c~2 c~4/a~2≥a~3/b b~3/c c~3/a≥a~2 b~2 c~2.(1)(注:这里我们略去了原问题中的最后一个常见的不等式.)本文通过对这个问题不同证法的探究,得到一个和式不等式,并利用这个和式不等式对问题1570进行再证和拓广. 相似文献
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不等式证明的方法虽然很多,变化的技巧性也很强,但我们若注意观察式子的结构特点.联想到基本不等式往往也能化难为易.本文浅述几种处理方法.一添项例1 已知 a b c=1,求证:a~2 b~2 c~2≥1/3分析当a=b=c=1/3时,a~2 b~2 c~2=1/3,所以考虑给原不等式每一项都加1/9. 相似文献
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王小平 《成都教育学院学报》2002,16(8):65-65,44
性质1 如果a,b,c三个数成等比数列,则a~2b~2c~2(1/a~3 1/b~3 1/c~3)=a~3 b~3 c~3证明: ∵a,b,c成等比数列 ∴b/a=c/b 左端=a~2b~2c~2(1/a~3 1/b~3 1/c~3) =b~2c~21/a a~2c~21/b a~2b~21/c =a~3 b~3 c~3=右端性质2 如果a,b,c,d四个数成等比数列,则 相似文献
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下面题目出现在各类数学辅导资料上:题1 设 a>b>c>0,求证:a~2b b~2c c~2a>ab~2 bc~2 ca~2.最近笔者在解数学奥林匹克竞赛题时,遇到了与题目1相似的一道不等式题:题2 设 a>b>c>0,求证:a~3b~2 b~3c~2 c~3a~2>a~2b~3 b~2c~3 c~2a~3.比较上面2道不等式题,猜想是否具有一般性的结论呢?即:当 a≥b≥c>0,s,t ∈N*且 s≥t时,是否有:a~sb~t b~sc~t c~sa~t≥a~tb~s b~tc~s c~ta~s 成立呢? 相似文献
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正Pham Kim Hung不等式:设a,b,c≥0,a+b+c=2,证明:a~2b~2+b~2c2+c~2a~2+abc≤1①.当且仅当a=b=1,c=0及其循环排列时等号成立.这是Pham Kim Hung在《不等式的秘密》(第一卷)中提到并证明的一个有趣的不等式,文[2]将该不等式加强为 相似文献
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第十三届(1953牛)普特南数学竞赛有这样一道试题: 设实数a,b,c中任意两个之和大于第三个,求证 2/3(a+b+c)(a~2+b~2+c~2) >a~3+b~3+c~3+abc. (1) 事实上,我们有命题设实数a,b,c中任意两个之和大于第二个,则 2/3(a+b+c)(a~2+b~2+c~2) ≥a~3+b~3+c~3+3abc. (2)当且仅当a=b=c时等号成立. 证明:不难验证,(2)式等价于 (b+c-a)(c+a-b)(a+b-c) 相似文献
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温寅 《苏州教育学院学报》1998,(2)
初等数学中的有些问题,如果利用向量来解决,往往可以收到化繁为简,化难为易的效果.一、应用向量证明不等式例1 己知a,b,c∈R,且a b c=1,求证:a~2 b~2 c~2≥1/3证明:设(?)=(a,b,c),(?)=(b,c,a),(?)=(c,a,b)则(?) (?) (?)=(a b c,b c a,c a b)= (1,1,1),而|(?) (?) (?)|≤|(?)| |(?)| |(?)| ∴3~(1/2)≤ 3(a~2 b~2 c~2)~(1/2),即a~2 b~2 c~2≥1/3二、应用向量求三角函数值 相似文献
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诸如下面题目:(均选自六年制重点中学高中代数第二册) 1.定理:如果a、b∈R,那末a~2 b~2≥2ab.(当且仅当a=b时取等号) 2.已知a、b、c是不全相等的正实数。求证:a(b~2 c~2) b(c~2 a~2) c(a~2 b~2)>6abc. 3.已知x、y、z∈R~ .求证: (x y z)~3≥27xyz. 相似文献
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有些问题利用不等式取等号的条件很容易获得解决。我们先列出几个常见的不等式,然后举例说明之。①a_1 a_2 … a_n/n≥(a_1a_2…a_n)~(1/2),(a_i∈R~ ,i=1,2,…,n)当且仅当a_1=a_2=…=a_n时取等号。② a~2 b~2 c~2≥ab bc ca,(a,b,c∈R)当且仅当a=b=c时取等号。③ a_i,b_i∈R,=1,2,…,n,a_1b_1 a_2b_2 … a_nb_n≤(a_1~2 a_2~2 … a_n~2)(b_1~2 b_2~2 … b_n~2)当且仅当a_1/b_1=a_2/b_2=…=a_n/b_n时取等号。④ |a±b|≤|a| |b|,(a,b∈R)上式中取加号时不等式取等号的充要条件为ab≥0;取减号时,当且仅当ab≤0时取等号例1 如果四边形ABCD的边a,b,c,d满足a~4 b~4 c~4 d~4=4abcd,试判断四边形ABCD的形状。解据不等式①得 a~4 b~4 c~4 d~4≥ 相似文献
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刘春杰 《中学数学研究(江西师大)》2013,(6):23-24
文[1]给出如下不等式猜想:若a,b,C是正实数,且满足abc=1,则a~2/2+a+b~2/2+b+c~2/2+c≥1.很多数学杂志给出了这个不等式的证明,下面笔者再给出一个简单的证明,证法1:由二元均值不等式得a~2/2+a+2+a/9≥2/3a(?)a~2/2+a≥5a/9-2/9,同理得到b~2/2+b≥5b/9-2/9;c~2/2+c 相似文献
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我们知道,对于任意两个正实数a、b恒有不等式:a~(a-b)≥b~(a-b)(※)成立。本文利用这一不等式给出几个难度较大的不等式的简洁证明。例1 已知a、b、c∈R~+,求证: a~(2a)b~(2b)c~(2c)≥a~(b+c)·b~(a+c)·c~(a+b)(1978年上海市中学数学竞赛试题) 证明由(※)得 a~(a-b)≥b~(a-b),b~(b-a)≥c~(b-c),c~(c-a)≥a~(c-a)。以上不等式两边分别相乘得 a~(a-b)·b~(b-c)·c~(c-a)≥b~(a-b)·c~(b-c)·a~(c-a)。整理得:a~(2a)·b~(2b)·c~(2c)≥a~(b+c)·b~(a+c)·c~(a+b) 例2 设a、b、c∈R~+.求证: a~ab~bc~c≥(abc)(a+b+c)/3(1974年美国第三届奥林匹克竞赛试题)。证明由例1知 相似文献
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公式(a+b+c)(a~2+b~2+c~2-ab-bc-ca)=a~3+b~3+c~3-3abc(以下记为公式)有不少应用。而公式本身的证明并不困难,运用整式乘法或因式分解就可予以证明,这是初中一年级学生就能接受的。如果在初中代数教学中,讲解整式乘法时就把它提出来,到因式分解时再次熟悉,后继内容的教学中不断应用,这对学生掌握知识,发展智能会有裨益的。一、公式的征明: 证一:将左边按a的降幂排列左边=[a+(b+c)][a~2-(b+c)a+(b~2+c~2-bc)] =a~3-(b+c)a~2+(b~2+c~2-bc)a+(b+a)a~2-(b+c)~2a+(b+c)(b~2-a~2-bc) =a~3+(b~2+c~2-bc-b~2-2bc-c~2)a+b~2+c~3 =a~3+b~3+c~2-3abc。证二、用因式分解右边=(a+b)~3-3ab(a+b)+c~3-3abc =(a+b)~3+c~3-3ab(a+b+c) =(a+b+c)~3-3c(a+b)(a+b+c) 相似文献
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在《由基本不等式“a~2+b~2≥2ab”想到的》(见本刊1989年第4期)一文中给出了以下猜想(即原文的命题19): 命题1 设a,b,c为正数,则 (1) a~5+b~+c~5≥a~8bc+ab~8c+abc~8; (2) a~n+b~n+c~n≥a~pb~qc~r+a~qb~rc~p+a~rb~pc~q。其中n∈N,p,q,r为非负整数,且p+q+r=n。我们首先证明这一猜想是成立的。证明 (1)用两种方法证。证法1 由(a~3-b~3)(a~2-b~2)≥0得 a~5+b~5≥a~3b~2+a~2b~3同理 b~5+c~5≥b~3c~2+b~2c~3, c~5+a~5≥c~3a~2+c~2a~3。以上三个不等式相加,并注意到b~2+c~2≥2bc,c~2+a~2≥2ca,a~2+b~2≥2ab,有 2(a~5+b~5+c~5)≥a~3(b~2+c~2)+b~3(c~2+a~2)+c~3(a~2+b~2)≥2a~3bc+2b~3ca+2c~3ab, 相似文献
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宋庆老师在文[1]末提出4个猜想.其中猜想4为:已知a,b,c是正数,求证a~2/(a~2+(b+c)~2)+b~2/b~2+(c+a)~2+c~2/c~2+(a+b)~2≥3/5(1);(a~3)/(a~3+(b+c)~3)+(b~3)/(b~3+(c+a)~3)+(c~3)/(c~3+(a+b)~3)≥1/3(2);(a~4)/(a~4+(b+c)~4)+(b~4)/(b~4+(c+a)~4)+(c~4)/(c~4+(a+b)~4)≥3/(17)(3). 相似文献
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读贵刊(中教版·月刊)2000年第3期 P_(23)刊登的“a~3 b~3 c~3≥3abc 的另外两种证法”一文,受到启发.这是一个著名不等式,是高中课本上的一个重要定理:“如果 a,b,c∈R~ ,那么a~3 b~3 c~3≥3abc(当且仅当 a=b=c 时取“=”号).”笔者给出除上文证法外的另外八种证法,作为对该文的补充及对证法的进一步探讨,多角度地透视这一著名不等式所蕴含的 相似文献