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一、选择题 (本大题共 12小题 ,每小题 3分 ,共 36分 .在每小题给出的四个选项中 ,只有一项是符合题目要求的 )1.直线x +3y- 2 =0的倾斜角为 ( ) (A) π6 (B) π3 (C) 2π3 (D) 5π62 .若抛物线的焦点是F(0 ,- 8) ,准线方程是 y=8,则它的方程是 ( ) (A) y2 =- 32x (B)x2 =- 32 y (C) y2 =4x (D)x2 =- 16 y3.椭圆 2x2 =1- y2 的准线方程是 ( ) (A) y =± 2 (B)x=± 2 (C) y =± 2 (D)x=± 24 .|x|≤ 2是|x+1|<1成立的 ( ) (A)必要而不充分条件 (B)… 相似文献
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1 圆锥曲线焦点弦的长度取值范围定理 1 椭圆 x2a2 y2b2 =1 (a >b >0 )的离心率e=ca ,p为焦点到相应准线的距离 ,p =b2c .设椭圆焦点弦AB的长度为d ,则d∈ 2ep ,2ep1-e2 ,即d∈2b2a ,2a .证明 以椭圆的左焦点为极点 ,建立极坐标系 ,椭圆的极坐标方程为 ρ =ep1-ecosθ.不妨设AB为过左焦点的弦 ,A( ρ1,θ) ,B( ρ2 ,π θ) ,θ∈〔0 ,π) ,则 |AB|=ρ1 ρ2 =ep1-ecosθ ep1-ecos(π θ)=2ep1-e2 cos2 θ.当cosθ=0 ,即θ =π2 时 ,|AB|min=2ep =2b2a ;当co… 相似文献
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立体几何与解析几何是高中数学两大分支学科 .在崇尚“于知识网络的交汇点处命题”的当今 ,立几与解几交汇的学科内综合题 ,正以它的新颖性、综合性“闪亮登场”,在各类考试中崭露头角 .这类问题涵盖的知识点多 ,数学思想和方法考查充分 .本文想通过几个典型例题的分析引起大家的重视 .一、由解几问题到立几问题圆锥曲线经过折叠或旋转后 ,就转变成了空间点、线、面的位置关系与数量关系的探求 .例 1 过双曲线 x24 - y25=1的右焦点 ,作一条长为 4 3的弦 AB ( A、B均在双曲线右支上 ) ,将双曲线绕其右准线在空间旋转 90°,则弦 AB扫过的… 相似文献
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同心圆问题在近几年的中考试题中屡见不鲜 .由于两圆的特殊位置关系 ,使得图形中的几何元素有着许多重要的性质 ,从而为相交弦定理、切线长定理、切割线定理以及垂径定理、勾股定理等的应用提供了用武之地 .图 1一、求线段的积例 1 如图 1 ,已知两个同心圆 ,其中大圆的半径为 7,小圆的半径为 5 ,大圆的弦AD与小圆交于点B、C ,则AB·BD的值是.( 1 998年广东省中考题 )解 设大圆和小圆的半径分别为R、r,过B点作大圆的直径EF .由相交弦定理 ,得AB·BD =BF·BE =(R +r) (R -r)=2 4 .二、求圆环的面积例 2 两个同心… 相似文献
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在初中阶段 ,同学们就已经熟悉弦长公式 ,这一公式在解析几何中应用十分广泛 .运用这一公式在求解直线被圆锥曲线所截的弦长时十分方便 .其实灵活运用弦长公式也可以简便地求解其它有关直线问题 .下面就是有关的几个例子 .一、弦长公式若点P(x1 ,y2 )、Q(x2 ,y2 )在直线l:y =kx +b上 ,则有|PQ| =( 1 +k2 ) (x1 -x2 ) 2=1 +k2 |x1 -x2 | .当k≠ 0时 ,|PQ|=1 +1k2 |y1 -y2 | .二、几个例子例 1 已知点A( 1 ,1 ) ,B( 2 ,3 ) ,将线段AB绕点A按顺时针方向旋转 90°,点B与点C重合 ,求点C坐标 .分析 由… 相似文献
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20 0 1年广东省高考数学第 2 1题 :已知椭圆 :x22 y2 =1的右准线l与x轴相交于点E ,过椭圆右焦点F的直线与椭圆相交于A、B两点 ,点C在右准线上且BC ∥x轴 ,求证 :直线AC经过线段EF的中点 .此题对一般性结论仍成立 ,还可以拓广到其它圆锥曲线 .拓广 1 已知椭圆 x2a2 y2b2 =1的右准线l与x轴相交于点E ,过椭圆右焦点F的直线与椭圆相交于A、B两点 ,点C在右准线上且BC∥x轴 ,求证 :直线AC经过线段EF的中点 (a >b>0 ) . 图 1证明 如图 1,记直线AC与x轴的交点为N ,过A作AD⊥l,D是垂足 .… 相似文献
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一、选择题 (每小题 3分 ,共 30分 )1 .⊙O的半径为r,⊙O的弦AB的长等于r.则以O为圆心、32 r长为半径的圆与AB所在直线的位置关系是 ( ) .(A)相离 (B)相切(C)相交 (D)位置不定图 12 .如图 1 ,PM与⊙O相切于点M ,PO交⊙O于点A ,且PA =AO .若⊙O的半径为R ,那么 ,PM的长为( ) .(A)R2 (B) 2R(C)R (D) 3R3.等腰梯形ABCD外切于⊙O ,AD∥BC ,∠B =30° ,中位线EF =1 2cm .则⊙O的半径为 ( ) .(A) 4cm (B) 3cm (C) 5cm (D) 2cm图 24 .如图 2 ,PT是… 相似文献
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一、选择题 (本题满分 2 4分 ,共有 8个小题 ,每小题 3分 )1 下列计算正确的是 ( )A 4 9=± 7 B 3+2 =3+2C a3 +a3 =a6 D ( 2 ) 0 +2 - 1=322 圆的弦AB长等于半径 ,则这条弦所对的圆角是 ( ) A 6 0° B 30° C 150° D 30°或 150°3 函数 y =x +1x +2 中自变量x的取值范围是( ) A x ≥ - 1 B x ≠ - 2C x≥ 1且x ≠ - 2D x >1且x≠- 24 若函数 y =(m+1)xm2 - 2m- 2是正比例函数 ,则m的值是 ( ) A - 1或 3 B - 1C 3 D 以上都不对5 某厂一月份生产a件… 相似文献
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1 .又∵AC∥x轴且∠BOx =30°,AO =AB ,∴∠xOA =6 0° ,则z =cos6 0°+isin6 0°=12 +32 i. 图 3例 3 若arg(z +1) =3π4 ,求 |z +3|+|z- 3i|的最小值 .分析 因arg(z +1) =3π4 ,由平移观点知z对应的点落在以C(- 1,0 )为端点 ,且倾角为3π4 的射线CD上 ,如图 3.而|z +3|+|z - 3i|的最小值就是在CD上找一点Z ,使其到定点A(- 3,0 )、B(0 ,3)的距离之和最小 .由图易见 ,这个最小值即为|AB|=32 ,此时Z为CD与AB的交点对应的复数 .由以上例析可见 ,这一观点更能充分显… 相似文献
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南京市 1 999年中考数学试题 1 5题是这样一道选图 1择题 :如图 ,两个同心圆 ,大圆的弦AB与小圆相切于点P ,大圆的弦CD经过点P ,且CD =1 3,PD =4 ,则两圆组成的圆环面积是 ( )(A) 1 6π (B) 36π(C) 5 2π (D) 81π解答本题只能采用直接推算的方法 , 相似文献
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问题的提出2 0 0 2年“希望杯”高二培训题 :设E、F是椭圆x24+y22 =1的左、右焦点 ,l是椭圆的准线 ,点P∈l ,则∠EPF的最大值是 ( ) .(A) 15° (B) 30° (C) 4 5° (D) 6 0° .答案用“到角公式”解得 30° ,而sin30°=12 =(22 ) 2 ,恰为椭圆的离心率的平方 ,是数字的巧合 ,还是结论的必然呢 ?这个问题引起了笔者的兴趣 ,经过进一步研究后发现有下面一般性结论 .2 一般结论结论 1 椭圆 x2a2 +y2b2 =1 (a>b >0 )准线上一点P与两焦点连线所成的角为θ ,则θmax =arcsine2 , 图 1(e为离心率 )此时P点的纵坐标 y=… 相似文献
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一道高考题的推广 总被引:1,自引:0,他引:1
20 0 1年全国高考数学试题 (广东、河南卷 )第 2 1题“已知椭圆 x22 y2 =1的右准线l与x轴交于点E ,过椭圆右焦点F的直线与椭圆相交于A、B两点 ,点C在右准线l上 ,且BC∥x轴。求证直线AC经过线段EF的中点。”参考答案是这样证明的 :设e是椭圆的离心率 ,如图 ,记直线AC与x轴的交点为N ,过A作AD⊥l,D是垂足。因F是椭圆右焦点 ,l是右准线 ,BC∥x轴 ,即BC⊥l,根据椭圆几何性质 ,得 :|AF||AD|=|BF||BC|=e。∵AD∥FE∥BC ,∴|EN||AD|=|CN||CA|=|BF||AB|,|FN||BC|=|AF||AB|,… 相似文献
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在解析几何的椭圆问题中常遇到如图 1所示的Rt ABO ,其中A、B是长、短半轴分别为a、b的椭圆上两点 ,O为椭圆中心 ,∠AOB =90°,即 ABO是直角顶点在中心 ,其余两个顶点在椭圆上的直角三角形 .显然此类三角形位置是不定的 ,但它有许多重要性质 .以下从一道常见题的结论开始讨论 .例 已知A、B为椭圆x2a2 +y2b2 =1 (a>b >0 )上两点 ,O为椭圆中心 ,∠AOB=90°.求证 :1|OA|2 +1|OB|2 为定值 .分析 为探讨 1|OA|2 +1|OB|2 具有什么样的定值 ,可假定顶点A、B分别位于长轴、短轴的顶点 .显然 1(O… 相似文献
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杨之 《中学数学教学参考》2001,(11)
在△ABC中 ,正弦定理即 asinA =bsinB =csinC=2R ,2R为外接圆直径 ,仅需证 asinA =2R .作OD⊥BC ,垂足为D ,连结OC ,则当A <90°时 ,∠DOC =A ,a2R =sin∠DOC =sinA ,当A =90°时 ,a2R =1 =sin90°=sinA ,当A >90°时 ,∠DOC =1 80° -A ,a2R =sin∠DOC =sin(1 80°-A) =sinA .总之 ,有 asinA=2R .此证法的优点还在于 ,可推广用于证明圆内接n边形正弦定理 :设圆内接n边形以边ai 为弦且在其外侧的弧为 2αi 弧度 ,则aisinαi=2R(外接圆… 相似文献
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文 [1]中给出了 ∑ 1a2 的上界估计 ,即设a、b、c为△ABC的三边长 ,R、r分别表示△ABC的外接圆、内切圆半径 ,则有∑ 1a2 ≤(R2 +r2 ) 2 +Rr(2R - 3r) 2R2 r3(16R - 5r) .①本文将证明一个比①更强的结果 :∑ 1a2 ≤ 14r2 .②引理[2 ] 在△ABC中 ,∑ 1a≤ R(R +4r)2Rr .式②的证明 :由引理可知∑ 1a2 =a2 b2 +b2 c2 +c2 a2a2 b2 c2=ab +bc +caabc2 - 2 (a +b +c)abc=1a+1b+1c2 - 1Rr≤ R(R +4r)4R2 r2 - 1Rr=14r2 .由 14r2 ≤(R2 +r2 ) 2 +Rr(2R - 3r) 2… 相似文献
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一、选择题(本题满分36分,每小题6分)1.将正方形 ABCD 沿对角线 AC 折成一个直二面角,则异面直线 AB 和 CD 所成的角是( ).A.30° B.45° C.60° D.90°2.如果(1+sin~2θ)sinθ>(1+cos~2θ)cosθ,且θ∈(0,2π),那么角θ的取值范围是( ).A.(0,π/4) B.(π/2,(3π)/4) C.(π/4,(5π)/4) D.((5π)/4,2π)3.定义:离心率 e=(5~(1/2)-1)/2的椭圆为“黄金椭圆”.对于椭圆 E:x~2/a~2+y~2/b~2=1(a>b>0),如果 a,b,c 不是等 相似文献
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一、选择题 (每小题 3分 ,共 30分 )1.如图 1,四边形ABCD是⊙O的内接四边形 ,∠ABC =115° .那么 ,∠AOC等于 ( ) .(A) 115° (B) 12 0° (C) 130° (D) 135°图 1图 22 .如图 2 ,以BC为直径 ,以O为圆心作半圆 ,点A、F把半圆三等分 ,AD⊥BC于点D ,且BC =12 .连结BF交AD于点E .则AE的长为 ( ) .(A) 2 3(B) 33(C) 3(D) 32 33.已知Rt△ABC外切于⊙O ,∠ACB =90° ,∠BOC =10 5° ,BC =2 0cm .那么 ,Rt△ABC的面积是( ) .(A) 180 3cm2 (B) 2 0 0 3cm… 相似文献
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我们知道圆x2 + y2 =R2 在其上任一点 (x0 ,y0 )处的切线方程为x0 x+ y0 y=R2 如果对于直线Ax+By +C =0 (C ≠ 0 )作如下变形 :R2 A-CR2 x +R2 B-CR2 y =1.若点P(- R2 AC ,- R2 BC )满足圆的方程 ,则直线与圆相切于点P .椭圆 x2a2 + y2b2 =1在其上任一点 (x0 ,y0 )处的切线方程为 x0 xa2 + y0 yb2 =1,对于直线Ax+By +C =0 (C≠ 0 )作如下变形 : a2 A-Ca2 x+b2 B Cb2 y=1.若点P(- a2 AC , b2 BC )满足椭圆方程 ,则直线与椭圆相切于点点P .双曲线x2a2 - y2… 相似文献
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命题 设△ABC的面积为△ ,三边长分别为a、b、c.则△ABC的内接正三角形的最小面积为 △236(a2 +b2 +c2 ) + 2△.图 1证明 :如图 1所示 ,正△PQR内接于△ABC ,BC =a ,CA=b ,AB =c.设∠BRP =θ,则易求得∠PQC =∠A+ 60° -θ .再设△PQR的边长为x ,则分别在△BRP和△PQC中 ,由正弦定理可得BP =sinθsinBx ,PC =sin(∠A + 60°-θ)sinC x.又因BP +PC =BC =a ,故x = asinθsinB+sin(∠A +6 0° -θ)sinC=asin(∠A +6 0°)sinC ·cosθ+… 相似文献
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1 题 设以r为半径的圆内接正 2 0 0 2边形A1A2 …A2 0 0 2 ,在圆内取与圆心距离为a的一点P。试证 :PA21+PA22 +… +PA22 0 0 2 =2 0 0 2 (r2 +a2 )。证明 设∠POA1=θ,则∠POA2 =θ + 2π2 0 0 2 , ∠POA3 =θ + 2× 2π2 0 0 2 ,…… ,∠POA2 0 0 2 =θ+ 2 0 0 1× 2π2 0 0 2 。由余弦定理得 :PA21=r2 +a2 -2racosθ ,PA22 =r2 +a2 -2racos(θ + 2π2 0 0 2 ) ,……PA22 0 0 2 =r2 +a2 -2racos(θ + 2 0 0 1× 2π2 0 0 2 )。相加得 :PA21+PA22 +… +PA22 0 0 2 =2 0 0 2 … 相似文献