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梁克强 《数理化学习(高中版)》2008,(9):23-24
组合数、排列数、自然数连乘积、自然数的方幂等求和中,很多古老而又年轻的问题,有时百思不得其解,灵活运用组合数的性质:Cmn+1Cmn+Cm-1n,却能化难为易,获得简捷明快的解法. 相似文献
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高中数学新教材 (2 0 0 1年 10月第 2版 )第二册 (下 A)第 14 5页有这样一道习题 :求证 :Cmn-1 +Cmn-2 +Cmn-3 +… +Cmm + 1 +Cmm=Cm + 1 n .此题的证明关键是利用组合数性质 :Cmn+ 1 =Cmn +Cm -1 n ,采用逐次并项或逐次裂项的方法予以证明 ,此略 .此题揭示了组合数的一个非常重要的性质 ,它在探求某些与正整数方幂和有关的数列问题时 ,往往显得简捷明了 .下面是数列 { k(k+1)… (k+m) } (k∈N* )的前 n项和的公式 (m是固定的正整数 ) .(1) 1× 2 +2× 3+3× 4 +… +n(n+1)=A22 +A23 +A24+… +A2n+ 1=A22 (C22 +C23 +C24+… +C2n+ 1… 相似文献
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一些排列组合问题 ,可以用不定方程的正整数解的组数来确定排列组合数 ,这样的求解方法 ,事半功倍 ;但有时需事先处理构造 ,且主要依据以下 2个问题的结论 :问题 1:试求不定方程 x1+ x2 + x3 +… + xm =n ( m≥ 2 ,n≥ 2 ,m≤ )的正整数解的组数 .由于 n1≥ 1,x2 ≥ 1,… ,xm ≥ 1,把 n分成 n个 1,其间有 n- 1个空档 ,插入 m - 1块“挡板”,把 n个 1分成m个部分 .则每一种情况对应不定方程的一组解 ,所以原不定方程共有 Cm- 1n- 1组解 .问题 2 :试求不定方程 x1+ x2 + x3 +… + xm =n ( m≥ 2 ,n∈ N )的非负整数解的组数 .分析 :把方程 x1… 相似文献
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几个连续自然数所构成的数列,是一个以1为公差的等差数列,根据等差数列的通项公式可知,最小数为m(m≠0,下同)的n个连续自然数的和为Sn=nm+n(n-1)2.(1)最小数为m的n个连续自然数的积记为Tn=m(m+1)(m+2)…(m+n-1).(2)本文对几个连续自然数的和与积的一些性质做一点探讨.关于这些性质,我们或者给出证明思路,或者只给出结论,其详细的证明留给有兴趣的读者去完成.1连续自然数之和的性质性质1两个连续自然数之和是奇数.性质1显然成立.由性质1不难推出:任意四个连续自然数之和(两个奇数之和)一定是偶数.进一步有:任意4n(n∈N+)个连续自然数之和一定是偶数. 相似文献
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一类有关自然数的求和问题,若能将通项变形成组合数,构造出组合恒等式: C_(n-1)~m+C_(n-2)~m+C_(n-3)~m+…+C_(n+1)~m+C_m~m=C_n~(m+1)(高中代数第三册第81页18(2)题)。用其求和,则非常简捷。例1 求和 1×(3×1+1)+2×(3×2+1)+…+n(3n+1)。 相似文献
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利用组合数性质不难证明公式: 用∑表示为用它求一类数列的和甚 为方便。 1.求连结自然数积的和 这类数列通项的特点是可直接用组合数表示。 例1 求和:1·2 2·3 3·4 … n（n 1）。 解 ∵a_k=k(k 1)=2C_~2_(k 1). 相似文献
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数列求和是数列基本内容之一 .由于数列求和题型多样、技巧性强 ,是数列学习的一大难点 .下面通过一些实例 ,对数列求和的常用方法作一归纳 ,借以进一步提高数列求和能力 .一、直接求和法把前 n项直接相加或直接应用等比、等差、自然数方幂等数列求和公式得出结果的一种方法 .例 1 求数列 1,( 3+ 5) ,( 7+ 9+ 11) ,( 13+ 15+ 17+ 19) ,… ,前 n项的和 .解 :本题实质是一个求奇数数列的和 .在前 n项中共有 1+ 2 + 3+… + n =12 n( n + 1)个奇数 ,故最后一个奇数为 2 . 12 n( n + 1) - 1=n2 + n - 1.因此所求数列前 n项和为∴ Sn =12 n( n +… 相似文献
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文 [1 ]将命题 :对任何自然数n ,存在自然数m ,使得(2 - 1 ) n=m +1 -m作如下推广 :1 .对任何自然数p、n ,存在自然数m ,使得(p +1 -p) n=m +1 -m .2 .对任何自然数n、p、r,存在自然数m ,使得(p +r -p) n=m +rn-m .笔者将此命题再作如下推广 :1 .对于任何自然数n ,存在自然数m ,使得(2 - 1 ) -n=m +1 +m .2 .对于任何自然数p、n ,存在自然数m ,使得(p +1 -p) -n=m +1 +m .3 .对于任何自然数n、p、r,存在自然数m ,使得(p +r -p) -n=m +rn+mrn .下面证明推广 3 .证明 :因为 (p +r -p) n(p +r -p) -n=1 ,而由文 [1 ]知(p +r -p) n=m +rn-m .所… 相似文献
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组合数、排列数、自然数连乘积、自然数的方幂等求和中，很多问题，有时百思不得其解．灵活运用组合数的性质：Cn 1^m=Cn^m Cn^m-1，却能化难为易，获得简捷明快的解法．下面由浅人深研究四个问题． 相似文献
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自然数方幂求和的方法较多,为了使其方法更为初等化,本短文采用比较法作一尝试,简单介绍为下: 大家知道,若a/b=m(b≠0)则a=mb (1) 这是四则运算中一个基本公式。又自然数列求和公式1+2+3+……+n=1/2n(n+1) (2)是数列的一个最基本的求和计算公式。我们就从这两个基本公式出发,来探求自然数方幂的求和方法。把公式(2)前K(K=1,2,…)项和所组成的数列: 相似文献
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一、在应用公式Pmn =n !(n-m) !或Cmn =n !m !(n -m) !时 ,必须使n、m满足关系式n m >0 .【例 1】 已知13 Cyx+2 =15Cy+2x+2 ,求x和y的值 .分析 :已知条件实质是一个方程组 ,反映的是组合数的问题 ,因此x、y必须满足x +2 y+2且y >0的整数 .由组合数公式将原方程组化为 :13 · (x+2 ) !y !(x -2 -y) ! =15· (x+2 ) !(y+1 ) !(x-y +1 ) ! =15· (x +2 ) !(y+2 ) !(x -y) !∵ (x-y+2 ) !=(x -y+2 ) (x-y+1 ) !(y +1 ) !=(y+1 ) ·y !(x-y +1 ) !=(x-y+1 )· (x-y) !(y+2 ) !=(y +2 ) · (y+1 ) !∴等式可变形为5(y+1 ) =3 (x-y+2 )x-… 相似文献
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自然数k次方的求和 总被引：2，自引：0，他引：2
悄产友 《中学数学教学参考》2003,(11):37-37
自然数的求和以及自然数平方的求和 ,在普通高中教材中均有详细的证明过程 ,并给出了相应的求和公式 ,而自然数的更高次方的求和 ,在一些专业性较强的文献资料中也给出了一些求和公式 .但自然数k(k为自然数 )次方的求和 ,是否能用一个统一的公式来表示呢 ?笔者经过长时间的探索 ,得出的结论是 :自然数k次方的求和公式能够用一个统一的求和公式来表示 ,用这个公式可以求出自然数k次方的前N项和 .下面先给出求和公式 ,然后加以证明 .Sk=1k + 1 [( 1 +n) k+1-(n + 1 ) -(C2 k+1Sk- 1+C3k+1·Sk- 2 +C4 k+1Sk- 3+… +Ck- 2k+1S3+Ck - 1к+1… 相似文献
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我们知道,有这样两个组合公式: C_n~m=C_(n-1)~m+C_(n-1)~(m-1); C_r~r=C_(r+1)~r+C_(r+2)~r+…+C_(r+n+1)~r =C_(r+n)~(r+1)现在,我们来考虑组成这两个公式的各个组合数的倒数是否也能组成相应的公式?下面我们分别来讨这两个问题。定理1 设m,n为自然数,且m≥2,m≤n,则 相似文献
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对n个自然数平方和公式12+22+32+……+n2=n(n+1)(2n+1)6的推导,参考书中采用“迭加法”是无可非议的,但根据素质教育的新理念,我们应对一个问题从多角度、多层次去思考,对一个事物从多方面去解释,对一个对象用多种方式去表达,以期对问题认识得更深刻、更全面.因而,变换角度,构建正方形表格模式推导自然数平方和公式是必要的.※推导一※(1)通过观察、归纳,并运用高斯求和公式,发现每个自然数的平方有如下规律:12=1,22=1+2+1,32=1+2+3+2+1,……n2=1+2+3+……+(n-1)+n+(n+1)+……+3+2+1.平方数转化为自然数和的形式,状如“金字塔”.(2)建模.为… 相似文献
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刘雄峰 《数理天地(高中版)》2003,(7)
新教材在例题和习题中给出了下面两个组合公式: 公式1 kCnk=nCn-1k-1. 公式2 Cmm=n-m/m 1Cnm 1. 这两个公式结构独特,在解题中有很多应用,请看以下几例: 例1 求和 相似文献
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数列求和问题 ,往往与函数、方程、不等式、参数讨论等诸多知识联系在一起 ,它以复杂多变、综合性强、解法灵活等特征而成为高考的重点 .下面针对高考数列求和问题的常见题型 ,结合实例 ,介绍其求解策略 .一、等差、等比数列求和综合题例 1 ( 1998年全国考题 )一个数列 {an};当 n为奇数时 ,an=5n +1;当 n为偶数时 ,an =2 n2 .求这个数列的前 2 m项的和 .解 :数列的前 2 m项中 ,共含有 m个奇数项和 m个偶数项 ,故S2 m =( 2 +2 2 +… +2 m) +[6 +11+… +( 10 m- 4) ]=2 ( 1- 2 m)1- 2 +( 6 +10 m - 4) m2=5m 2 +m +2 m+ 1- 2 .评析 :求解此… 相似文献
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高中现行教材中已给出一些运用导数解决关于函数的单调性、极值、最值的问题和简单的应用题郾但随着高考对导数的考查力度的不断加大、加深,有必要对导数的应用做进一步的研究郾本文将给出导数在组合恒等式的证明、数列的求和与不等式的证明中的一些应用,供大家参考郾1.证明组合恒等式例1求证:C1n+2C2n+3C3n…+nCnn=n·2n-1.分析:本题可采用倒序相加法,并结合组合数的性质和等差数列的性质即可解决,但过程较复杂郾如果通过构造函数并求导的办法,那么问题就会变得很简单,并且我们还会得出许多意想不到的结论郾证明:设f穴x雪=穴1+x雪n-1,则f… 相似文献
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<正> 在高中代数中有这样一个求和公式:12+22+32+…+n2=1/6n(n+1)(2n+1). (*)这个公式有各种证明方法,这里提供一种证法,供大家欣赏.这一证法主要运用了组合数的定义及性质Cnk+1=Cnk+Cn(k-1).由n2=(n+1)n-n=2·((n+1)n)/2-n中的((n+1)n)/2可 相似文献