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有关“绝对值与二次函数、一次函数”问题 ,以下列这组习题最为典型、棘手 ,本文试进行多方位地探讨 ,得到几种有效、普遍的方法 已知f(x) =ax2 bx c ,当 ｜x｜≤ 1时 ,总有 ｜f(x)｜≤ 1.试证以下系列问题 :①求证 :｜c｜≤ 1,｜b｜≤ 1,｜a c｜≤1,｜a｜≤ 2 .②求证 :当｜x｜≤ 2 ,总有｜f(x)｜≤ 7.③求证 :当｜x｜≤λ ,总有｜f(x)｜≤ 2λ2-1(λ≥ 1) .④记g(x) =ax b ,求证 :当｜x｜≤ 1时 ,总有｜g(x) ｜≤ 2 .⑤g(x) =2ax b ,求证 :当｜x｜≤ 1时 ,总有 ｜g(x)｜≤ 4.⑥记g(x) =λax b ,求证 :当 ｜x｜≤1时 ,总有 ｜g(x)｜≤ … 相似文献
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一、利用｜sinx｜≤1或｜cosx｜≤1
（1）y=asinx＋bocsx＋c=√a^2＋b^2sin（x＋φ）＋c,其中φ=arctan b/a.于是ymax=√a^2＋b^2＋c,ymin=-√a^2＋b^2＋c. 相似文献
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2009年浙江省高中数学竞赛试题第20题：
题目设函数f（x）=3ax^2-2（a＋b）x＋b，其中a〉0，b为任意常数．证明：当0≤x≤1时，有｜f（x）｜≤max{f（0）,f（1）}． 相似文献
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不等式恒成立问题 ,把不等式、函数、数列、几何等内容有机地结合起来 ,覆盖知识点多 ,方法多种多样 ,是近几年数学高考、竞赛中考查的热点 .但同学们对解决此类问题往往感到无从下手 ,得分率偏低 .为此本文就这类问题的几种解题策略作一探讨 ,供读者参考 .一、数形结合思想例 1 ( 2 0 0 2年全国高考题 )已知a>0 ,函数 f(x) =ax -bx2 .( 1)当b>0时 ,若对任意x∈R ,都有f(x)≤ 1,证明 :a≤ 2 b ;( 2 )当b >1时 ,证明 :对任意x∈ [0 ,1] ,｜f(x) ｜≤ 1的充要条件是b-1≤a≤ 2 b ;( 3 )当 0 相似文献
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根据题目的特点,选取恰当的三角代换,能达到化难为易,化繁为简的目的。它是解不等式问题中常用的方法,现举例说明。一、证明不等式 例1 a^2＋b^2=1,c^2＋d^2=1,求证：｜ac＋bd｜≤1。证明 设a=sinα,b=cosα,c=sinβ,d=cosβ。 相似文献
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一、定理1
（1）若｜a-b｜〉c,则不等式｜x-a｜＋｜x-b｜〉c的解集为R。
（2）若｜a-b｜≤c,则不等式｜x-a｜＋｜x-b｜〉c等价于｜（x-a）＋（x-b）｜〉c,其解集为{x｜x〈1/2（a＋b-c）或x〉1/2（a＋b＋c）}。[第一段] 相似文献
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案例1.提出问题:展开(a1 b1)(a2 b2)(a3 b3).生:(a1 b1)(a2 b2)(a3 b3)=a1a2a3 a1a2b3 a1b2a3 b1a2a3 a1b2b3 b1a2b3 b1b2a3 b1b2b3.师:上述展开式有几项?项是如何构成的?有规律吗?生:从每个括号中取出一项相乘而得,按分步计数原理,共8项,每一项都含3个括号中的一个元素.师:如果令a1=a2=a3=a,b1=b2=b3=b,那么(a b)3展开式又是什么?生:可以合并同类项,得(a b)3=a3 3a2b 3ab2 b3.师:观察每一项中a,b的指数的变化情况,为什么会有这样的变化情况?生:每项都是3次,因每项是从3个括号中各取一个元素相乘而得的缘故.师:为什么a2b的系数会是3?除了从… 相似文献
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一、单选题(本大题共12小题,每小题4分,共48分)1.若U=狖1,2,3,4狚,M=狖1,2狚,N=狖2,3狚,那么U(M∩N)=()A.狖1,2,3狚B.狖2狚C.狖1,3,4狚D.狖4狚2.若函数y=f(x)的反函数是y=g(x),f(a)=b,ab≠0,则g(b)=()A.aB.a-1C.bD.b-13.条件“｜x｜≤3”是条件“｜x+1｜≤2”成立的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分且必要条件D.既不充分也不必要条件4.若函数f(2x+1)的定义域为犤1,4犦,则f(3x)的定义域为()A.犤3,9犦B.犤1,4犦C.犤1,2犦D.犤4,1犦文费得意5.狖an狚为等差数列,若a3+a4+a5+a6+a7=450,则a2+a8的值为()A.45B.90C.180D.3606.… 相似文献
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朱万江 《数理天地(高中版)》2014,(11):5-5
题目 已知α,b,f,d都是实数,且α^2＋b^2=1,c^2＋d^2=1,求证：｜αc＋bd｜≤1．
（北师大版选修2—2第12页习题1—2第4题） 相似文献
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高中数学以其丰富的思想方法激发了同学们对数学持久而浓厚的兴趣不等式的证明是训练同学们发散思维能力的好材料由于不等式与方程、函数、几何等知识联系十分紧密,因此在处理不等式的问题时往往可以进行多角度思考,达到殊途同归的目的下面介绍人教版高中数学第二册(上)P27-28参考例题1“已知a,b,c,d∈R,且a2+b2=1,c2+d2=1,求证:｜ac+bd｜≤1”的多种证法,供高三同学复习不等式时参考这是一道典型的条件不等式证明题,此题除课本上提供的三种常规方法——综合法、比较法、分析法等三种方法外,还有以下十三种创新解法(以下解法中都在a,b,c,d… 相似文献
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一、利用三角函数的性质求最值1.若函数形如y=asinx+b(或y=acosx+b),可直接利用函数的下列性质来求解:｜sinx｜≤1,｜cosx｜≤1.例1求函数y=sin(x-π6)cosx的最值.解析y=sin(x-π6)cosx=12[sin(2x-π6)-sinπ6]=12sin(2x-π6)-41.当sin(2x-π6)=1时,ymax=21-14=41;当sin(2x-π6)=-1时,ymin=-21-41=-43.2.若函数形如y=acssiinnxx++db(或y=acccoossxx++db),先逆向解得sinx(或cosx)的表达式,再结合性质｜sinx｜≤1(或｜cosx｜≤1)来求解.例2求函数y=8cos2x+83cos2x+1的最值.解析由原式逆向解得cos2x=38y--y8,由0≤cos2x≤1,得0≤8-y3y-8≤1,解… 相似文献
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数学解题的探索过程总是在解题者的一定认知结构中进行的 ,解题方法是所给条件信息刺激解题者认知结构中相关因素并与之相互作用的产物 .本文就解决探索过程中数学思想方法的引发及对解题的导向作用作一简要讨论 ,现举例说明如下 .例 1 (2 0 0 2年江苏卷第 2 2题第 2小题 )已知a>0 ,函数 f(x) =ax-bx2 .当b >1时 ,证明 :对任意x∈ [0 ,1],｜f(x) ｜≤ 1的充要条件是b - 1≤a≤ 2b .解题探索 该题不少资料公布的解法中都用到了一些特殊技巧 ,如文 [1]中的解法之所以简捷明快 ,原因就是巧妙地运用了“取特殊值法”、“放缩法”等技巧 ,一般… 相似文献
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正基本不等式:1/2(ab)≤(a+b)/2(其中a≥0,b≥0)当且仅当a=b时等号成立,当1/2(ab)=(a+b)/2,此时即1/2(1/2a-1/2b)2=0,可看出a=b.a=b一方面可看作不等式成立的特殊情况,另一方面也可看作恒等式成立的条件.基本不等式等号成立的条件有两个:①两数非负,②两数相等,这就说明基本不等式等号成立对条件有着较强的要求.反过来如果基本 相似文献
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22题 :已知a>0 ,数列 {an}满足a1 =a ,an 1 =a 1an,n =1,2 ,… .(Ⅰ )已知数列 {an}的极限存在且大于0 ,求A =limn→∞an(将A用a表示 ) ;(Ⅱ )设bn =an-A ,n=1,2 ,… ,证明 :bn 1 =-bnA(bn A) ;(Ⅲ )若｜bn｜≤ 12 n 对n=1,2 ,…都成立 ,求a的数值范围 .压轴题第 (Ⅰ )问、第 (Ⅱ )问对多数考生来说 ,乃送分题 ,不取可惜 .第 (Ⅲ )问考查学生灵活运用数学知识分析问题和解决问题的能力 ,具有一定的选拔功能 ,但入口不易 .本文用恒成立法给出本题的一个宽口径解法 .由 (Ⅱ )有b2 n 1 =b2 nA2 (bn A) 2 ,当bn= 0时 ,bn 1 =0 ;当bn … 相似文献
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舒金根 《中学数学研究(江西师大)》2013,(10):19-20
在文[1]中,陆爱梅老师提出一组四个猜想不等式:
猜想1 已知a,b,c是满足abc=1的正数,证明:a2/a3+2+b2/b3+2+c2/c3+2≤1/3(a+b+c);
猜想2 已知a,b,c是满足a+b+c=1的正数,证明:a2/b+c2+b2/c+a2+c2/a+b2＞3/4;
猜想3 已知a,b,c是满足a+b+c=3的非负实数,证明:a+b/a+1+b+c/b+1+c+a/c+1≥3;
猜想4 已知a,b,c是两两不同的实数,证明:(a-b/a-c)2+(b-c/b-a)2+(c-a/c-b)2≥a2+c2/a2+b2+b2+a2/b2+c2+c2+b2/c2+a2. 相似文献
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薛毓铃 《数学学习与研究(教研版)》2013,(17):107
不等关系和相等关系是基本的数学关系,它们在数学学习与研究、应用中起着重要的作用.强调不等式及其证明的几何意义及数学背景,可以加深学生对不等式数学本质的理解.以提高学生的逻辑思维能力和分析问题解决问题能力.以柯西不等式证明为例,柯西不等式:a1,a2,b1,b2∈R,则(a1b1+a2b2)2≤(a21+a22)(b21+b22).(高中实验教材(湘教版)选修4-5)教材用构造两个向量α=(a1,a2),β=(b1,b2),由cos2<α,β>≤1得(a1b1+a2b2)2(a21+a22)(b21+b22)≤1,即(a1b1+a2b2)2≤(a21+a22)(b21+b22).教材又通过构造二次函 相似文献
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设向量(a|→)=(a1,a2),(b|→)=(b1,b2),或(a|→)=(a1,a2,a3),(b|→)=(b1,b2,b3),其夹角为θ,则这两个向量的数量积为(a|→)·(b|→)=|(a|→)||(b|→)|consθ.用坐标表示有(a|→)·(b|→)=a1b1+a2b2或(a|→)·(b|→)=a1b1+a262+a3b3.借助数量积与sin2α+con2α=1可以巧妙地解某些三角题.下面举例说明. 相似文献
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第1点运算定义型()必做1定义平面向量的一种运算:ab=|a|·|b| sin〈a,b〉,则下列命题:1ab=ba;2λ(ab)=(λa)b;3(a+b)c=(ac)+(bc);4若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则ab=|x1y2-x2y1|. 相似文献