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1.
陈静 《数理化学习(高中版)》2006,(11)
新教材中新增了向量的内容,其中两个向量的数量积有一个性质:a·b=|a|·|b|cosθ(其中θ为向量a与b的夹角),则|a·b|=||a|·|b|cosθ|,又-1≤cosθ≤1,则易得到以下推论:(1)a·b≤|a|·|b|;(2)|a·b|≤|a|·|b|;(3)当a与b同向时,a·b=|a|·|b|;当a与b反向时,a·b=-|a|·|b|;⑷当a与b共线时,|a·b|=|a|·|b|.下面例析以上推论在解不等式问题中的应用.一、证明不等式例1已知a、b∈R ,a b=1,求证:2a 1 2b 1≤22.证明:设m=(1,1),n=(2a 1,2b 1),则m·n=2a 1 2b 1,|m|=2,|n|=2a 1 2b 1=2.由性质m·n≤|m|·|n|,得2a 1 2b 1≤22.例2已知x y z=1,求… 相似文献
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雷文阁 《数理化学习(高中版)》2005,(Z1)
两个非零向量的数量积的定义式a·b= |a||b|cosθ含有"角"和"长度";而该式又可变形为a·btanθ=|a||b|sinθtanθ,此式与三角形正弦面积有关;数量积还有坐标形式a·b =x1x2 y1y2.因此,通过数量积可沟通长度、角、坐标及三角形面积之间的关系.利用数量积解题,可以避繁就简.以下列举其在圆锥曲线中的应用. 相似文献
3.
正1问题的提出随着高中数学课标课程的实施,使得许多新知识进入了高中数学教材,同时也进入了高考试题.其中,线性规划问题就是这样一种知识.线性规划问题几乎是每年高考必考的内容,而且其理论和方法在实际生活中有着广泛的应用.因而,线性规划问题解法的研究,就成为一个重要的课题.2理论基础①平面向量数量积的几何意义:数量积a?b等于a的长度|a|与b在a方向上的投影|b|cosθ的乘积.即a?b=|a|?|b|cosθ,θ∈[0,π].②平面向量数量积的坐标表示:两个向量的数量积等于它们对应坐标乘积的和.即设1 1a=(x,y),2 2b=(x,y),则1 2 1 2a?b=x x+y y. 相似文献
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题目给定曲线族()22sinθ?cosθ 3x2?(8sinθ cosθ 1)y=0,θ为参数,求该曲线族在直线y=2x上所截得的弦长的最大值.(1995年全国高中数学联赛第2试试题)解曲线族与直线y=2x相交于原点O(0,0)和另一交点为()P x0,y0,显然x0≠0,并且x0,y0满足方程()()2228y0?4x0sinθ y0 2x0cosθ=6x0?y0,构造向量()22a=8y0?4x0,y0 2x0,b=(sinθ,cosθ),由?a b≤a?b≤a b,即a?b2≤a2b2(当且仅当a,b共线时取等号),得[(8y0?4x02)?sinθ (y0 2x02)?cosθ]222222222≤[(8y0?4x0) (y0 2x0)](sinθ cosθ),即(6x02?y0)2≤(8y0?4x02)2 (y0 2x02)2(*),把y0=2x0代入(*)并… 相似文献
5.
文 1、文 2分别利用图象法和均值代换法解决了一类在给定条件下三角函数取值范围问题 .本文利用函数的单调性来解决这类问题 (下面的例子都是文 1、2中的例题 ,以后不再说明 ) .例 1 已知 sin x+ 2 cos y=2 ,求 2 sin x+ cos y的取值范围 .解 由条件得 sin x=2 ( 1 - cos y) ,1∴ 2 sin x+ cos y=4 - 3cos y,2由 1 ,有 2 | ( 1 - cos y) | =| sin x|≤ 1 ,∴ 12 ≤cos y≤ 32 .又 | cos y|≤ 1 ,∴ 12 ≤cos y≤ 1 . 3令 t=cos y,则由 2 ,3有2 sin x+ cos y=4 - 3t,其中 t∈ [12 ,1 ].令 f( t) =4 - 3t ( 12 ≤ t≤ 1 ) .易知 f( t)在 [12… 相似文献
6.
向量是高中教材的新增内容 ,是数形结合的典型体现 ,向量与解析几何同源同宗 .用向量知识去解决两直线共线 (平行 )、垂直及夹角等问题比传统解几方法有着很大的优越性 ,对多数师生来说 ,向量方法还是一个有待发掘的宝库 .这里略举数例 ,以期抛砖引玉 .例 1 已知动点 ( x,y)满足 ( x - 2 ) 2 + ( y - 1) 2 =2 5,求 3x + 4y的取值范围 .解 :设 a =( 3,4 ) ,b =( x - 2 ,y - 1) ,a与 b的夹角为θ,则 3x + 4y =a .b + 10 =| a| | b| cosθ+ 10 =2 5cosθ + 10 .∴ 3x + 4y的最大值为 35,最小值为 - 15,即 3x+ 4y∈ [- 15,35] .例 2 ( 1995年… 相似文献
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本文介绍椭圆与双曲线的一个有趣性质,并说明其应用. 性质 1 设P点是椭圆b2x2+a2y2+a2b2(a>b>0)上异于长轴端点的任一点,F1,F2为其焦点,记∠F1PF2=θ,则|PF1|·|PF2|=2b2/1+cosθ 简证:由椭圆定义有|PF1|+|PF2|=2a (1) 在△PF1F2中,由余弦定理有 |PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|·cosθ=4e2 (2) (1)2-(2)化简得 |PF1|·|PF2|= 2b2/1+cosθ 性质2 将性质1中的 b2x2+a2y2=a2b2改为b2x2-a2y2=a2b2(a>0,b> 0),其余不 相似文献
8.
卞京宝 《数理天地(高中版)》2003,(11)
教材中的定理: ||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|,也称为“三角形不等式”,由此容易得到|a+b|≥||a|-|b||,|a+b|≤|a|+|b|,|a-b|≥||a|-|b||,|a-b|≤|a|+|b|,取等号的充要条件分别是ab≤0,ab≥0,ab≤0,ab≤0. 利用这些规律解题,常会带来很多方便. 1.求值域例1 函数y=x+1/x的值域. 解因为 相似文献
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戴建全 《数学大世界(高中辅导)》2004,(10):24-24
【例1】 已知a>0,b>0且a+b=1,求证a+12+b+12≤2.证明:设x=a+12,y=b+12且x+y=k则射线x+y-k=0与圆弧x2+y2=2有交点,所以|-k|2≤2即|k|≤2.∴a+12+b+12≤2【例2】 已知实数x,y满足(x-3)2+(y-3)2=92,则yx的最大值是 .解:令yx=k,则直线kx-y=0与圆(x-3)2+(y-3)2=92有交点.所以|3k-3|k2+1≤32.整理,得k2-4k+1≤0.解之,得2-3≤k≤2+3.故yx的最大值是2+3.【例3】 求函数y=2-sinx2-cosx的值域.解:令u=cosx,v=sinx,则直线yu-v-2y+2=0与圆u2+v2=1有交点.∴|-2y+2|y2+1≤1整理,得3y2-8y+3≤0.解之,得4-73≤y≤4+73故所求函数的值域为[4-73,4+73… 相似文献
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向量的性质常见于教材的例、习题中 ,但其应用是教材的薄弱内容 .同学们学习时应掌握下面性质的应用 ,以加深对向量知识的理解和掌握 .1若 e1、e2 是平面α内非零不共线向量 ,则对于α内任一向量 a,有且只有一对实数λ1,λ2 ,使得 a=λ1e1+λ2 e2 成立 ;2非零向量 a =( x1,y1) ,b =( x2 ,y2 )的数量积为a .b =x1x2 +y1y2 ;3设向量 a =( x1,y1) ,b =( x2 ,y2 ) ,b≠ 0 ,则 a∥b x1y2 - x2 y1=0 ;4设非零向量 a =( x1,y1) ,b =( x2 ,y2 ) ,则 a⊥b x1x2 +y1y2 =0 ;5非零向量 a =( x1,y1) ,b =( x2 ,y2 )的夹角θ满足 cosθ =cos〈a,b〉 =a .b|… 相似文献
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一、选择题(每小题6分,共36分)1.定义:A -B ={x|x∈A且x B} .若M ={x|1≤x≤2 0 0 2 ,x∈N } ,N ={y|2 ≤y≤2 0 0 3,y∈N } ,则N -M等于( ) .(A)M (B)N (C) { 1} (D) { 2 0 0 3}2 .函数f(x) =- (cosx)lg |x|的部分图像是( ) .图13.若不等式a b≤m 4a2 b2 对所有正实数a、b都成立,则m的最小值是( ) .(A) 2 (B) 2 (C) 2 3 4 (D) 44 .曲线2x2 -xy -y2 -x - 2y - 1=0和3x2 -4xy y2 - 3x y =0的交点有( )个.(A) 2 (B) 3 (C) 4 (D)无穷多5 .设0 相似文献
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一、选择题1.已知{x|x2-1=0}A{-1,0,1},则集合A的子集个数是().A.3B.4C.6D.82.已知全集I=R,集合M={x|x2-3x-4<0},N={x||x-1|>2},则M∩IN=().A.{x|31是|a+b|>1的充分而不必要条件,命题q:函数y=|x-1|-2的定义域是(-∞,-1]∪[3,+∞)则().A.“p或q”为假B.“p且q”为真C.p真q假D.p假q真4.将奇函数y=f(x)的图像沿x轴的正方向平移2个单位,所得的图像为C,又设图像C′与C关于原点对称,则C′对应的函数为().A.y=f(x+2)B.y=f(x-2)C.y=-f(x+2)D.y=-f(x-2)5.设a>0,… 相似文献
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第一试一、选择题 (每小题 6分 ,共 36分 )1 .已知集合M ={x|x2 9y2 =9,x、y∈R},N ={x|x2 y2 - 2ax =0 ,x、y∈R ,|a|≤1 ,且a为常数 }.则M∩N =( ) .(A) {x| |x| ≤1 }(B) {x| |x| ≤|a| }(C) {x|a - |a| ≤x≤a |a| }(D) {x| |x| ≤2 }2 .方程 (a - 1 ) (sin 2x c 相似文献
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一、单项选择题 (每小题 6分 ,共 3 6分 )1 定义 :A -B ={x|x∈A且x B},若M ={x|1≤x≤ 2 0 0 2 ,x∈N },N ={y|2≤ y≤ 2 0 0 3 ,y∈N },则N -M等于 ( )(A)M (B)N (C) {1 } (D) {2 0 0 3 }2 函数 f(x) =-(cosx)lg|x|的部分图像是 ( )3 若不等式a +b≤m· 4a2 +b2 对所有正实数a、b都成立 ,则m的最小值是 ( )(A) 2 (B) 2 (C) 2 34 (D) 44 曲线 2x2 -xy -y2 -x -2 y -1 =0和 3x2 -4xy +y2 -3x +y =0的交点有 ( )(A) 2个 (B) 3个 (C) 4个 (D)无穷多个5 设 0 相似文献
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1.若遇a≤x~2 y~2≤b(a,b∈R~ ),可作代换x=t·cosφ,y=tsinφ,其中a~(1/2)≤t≤b~(1/2) 例1 已知1≤x~2 y~2≤2,求w=x~2 xy y~2的最值. 解:∵1≤x~2 y~2≤2,∴设x=tcosθ,y=tsinθ,其中1≤t≤2~(1/2),∴w=t~2cos~2θ t~2cosθsinθ t~2sin~2θ=t~2·(1 (1/2)sin2θ),而(1/2)≤1 sin2θ≤(3/2),∴(1/2)≤w≤3. 2.若遇b~2x~2 a~2y~2=a~2b~2(a,b∈R~ ),可作代换x=acosθ,y=bsinθ(此处要注意解析几何中椭圆、双曲线的参数方程的应用) 例2 已知x、y满足x~2 4y~2=4,求w=x~2 2xy 4y~2 x 2y的最值. 相似文献
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《数学大世界(高中辅导)》2006,(Z1)
《数学大世界》高中版2004年第10期刊载了贵州陈贵伦老师的一篇短文,其中例1是这样的:已知a>0,b>0,且a b=1,求证:a 21 b 21≤2证明:设x=a 21,且y=b 12且x y=k,则射线x y-k=0与圆弧x2 y2=2有交点,所以|-k|2≤2即|k|≤2∴a 21 b 21≤2陈老师用构造几何模型的方法来证明代数不等式 相似文献
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两道代数题的新证明 总被引：1，自引：0，他引：1
1.若 a,b∈ R,且 a 1- b2 b 1- a2=1,求证 :a2 b2 =12.实数 x,y,z满足 x y z=a,x2 y2 z2 =a22 ,(a>0 ) ,证明 x,y,z∈ [0 ,23a].这是两道常见的代数题 ,证法都颇多 .本文利用同一种方法再给出它们一种新颖证法 .证明 1.构造直线 l:x 1- b2 y1- a2 =1,显然点 P(a,b)在直线 l上 ,l不过原点 O,所以原点 O到直线 l的距离不大于 | OP| ,即1(1- b2 ) (1- a2 ) ≤ a2 b2 ,整理得 (a2 b2 ) 2 - 2 (a2 b2 ) 1≤ 0 ,即 (a2 b2 - 1) 2≤ 0 ,所以 ,a2 b2 =1.2 .构造直线 l:x y (z- a) =0 ,由条件知点 P(x,y)在… 相似文献
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单文明 《中学生数理化(高中版)》2014,(7):9-9
<正>我们知道,两个向量a,b的数量积a·b=|a||b|cosθ,对于一类利用已知向量a,b表示的向量c=xa+yb,可以分别让c与a,b作数量积运算,从而建立x,y之间的等量关系.利用这一方法,能够简单地解决一类高考向量问题.下面举例说明.例1给定两个长度为1的平面向量 相似文献
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《中学生数理化(高中版)》2016,(3)
<正>一、知识梳理1.平面向量的数量积。(1)定义:已知两个非零向量a与b,它们的夹角为θ,则数量|a||b|cosθ叫做a与b的数量积(或内积),记作a·b,即a·b=|a||b|cosθ,规定零向量与任一向量的数量积为0,即0·a=0。(2)几何意义:数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积。2.平面向量数量积的运算律。(1)a·b=b·a(交换律)。 相似文献
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本文介绍椭圆和双曲线切线的一个有趣性质 ,并说明其应用 .定理 经过椭圆 b2 x2 a2 y2 =a2 b2 (a>b>0 )或双曲线 b2 x2 - a2 y2 =a2 b2 (a>0 ,b>0 )的长轴或实轴两端点 A1 和 A2 的切线 ,与椭圆或双曲线上任一点的切线相交于 P1 和P2 ,则 |P1 A1 |· |P2 A2 |=b2 .证明 椭圆上任一点 P(acosθ,bsinθ)处的切线方程为 b2 ·acosθ· x a2 · bsinθ·y=a2 b2 即bcosθ·x asinθ·y- ab=0 .1又知点 A1 (- a,0 )和 A2 (a,0 )处的切线方程分别为 x=- a和 x=a,将它们分别与1联立解得 |P1 A1 |=|y P1|=b|1 cosθsinθ |,|P2 A2 |=|y P… 相似文献