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在立体几何中有这样的两类问题 ,一类是把平面图形按照一定要求进行折叠或旋转 ,得到空间形体 ,另一类是为解决某些问题 ,需要把空间图形展开为平面图形 .解决这两类问题的关键是要分清楚图形变化前后的位置关系和数量关系的变与不变 ,下面举例说明 .例 1 边长为 2ａ的正方形ＡＢＣＤ ,Ｅ、Ｆ分别为ＡＢ、ＢＣ的中点 ,沿ＤＥ ,ＥＦ ,ＦＤ把图形翻折起来 ,使Ａ、Ｂ、Ｃ重合于一点Ｐ ,求Ｐ点到平面ＤＥＦ的距离 .分析 先画出平面图形与空间图形 (如图 1) ,再比较两图中的位置关系和数量关系 .由ＡＢＣＤ是正方形 ,知ＤＡ ⊥ＡＢ ,ＤＣ⊥ＢＣ… 相似文献
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在求点到平面的距离中 ,有很多题常采用间接的方法 ,而在间接方法中又以等积变换为常见 .下面介绍一种新方法 ,为我们在解题中提供一条途径 . 图 1如图 1,设线段ＡＢ上一点Ｐ分线段ＡＢ为ｍｎ(ＡＰＢＰ =ｍｎ) ,若平面α过Ｐ点与线段ＡＢ相交 ,则易证Ａ点到平面α的距离是Ｂ点到α距离的 ｍｎ 倍 .简证 分别过Ａ、Ｂ作平面α的垂线 ,Ｃ、Ｄ分别为垂足 ,连ＣＤ(Ｐ一定在ＣＤ上 ) .由△ＡＣＰ ∽△ＢＤＰ ,得 ＡＣＢＤ =ＡＰＢＰ =ｍｎ ,即ＡＣ =ｍｎ ·ＢＤ .下面举例说明它的应用例 如图 2 ,在棱长为ａ的正方体ＡＢＣＤ—Ａ1Ｂ1… 相似文献
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所谓直角四面体 ,是指由同一点出发的 ,两两互相垂直的三条棱所构成的四面体 .其中两两垂直的三条棱叫直角棱 ,两两垂直的三个面叫直角面 ,另一个面相对来说叫做斜面 .本文旨在通过对直角四面体的多种性质的挖掘 ,揭示直角四面体的结构特征 ,展示思维过程 .1 直角四面体中有关角的性质定理 1 直角四面体斜面上任一点与直角顶点的连线和三条直角棱所成角的余弦的平方和等于 1.分析 设Ｐ是直角四面体Ｏ -ＡＢＣ的斜面ＡＢＣ上任一点 ,若Ｐ为ＡＢ、ＡＣ、ＢＣ上的任一点 ,命题显然成立 ;若Ｐ为其他的点 ,则过Ｐ作三个平面分别平行于三个直角… 相似文献
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化归方法是指把有待解决或未解决的问题 ,归结为一类已经解决或较易解决的问题以求得解决的方法 .化归方法是数学方法论中的基本方法或典型方法之一 .在立体几何的学习中 ,常常可以通过化归方法将立体几何中的空间问题化归为平面问题加以解决 .本文介绍几种立体几何中常用的化归方法 .1 作射影由三垂线定理及其逆定理可知 ,平面内的一条 图 1直线与该平面的斜线及斜线在平面内的射影所成的垂直关系保持不变 .因此 ,通过射影可以将空间中的垂直关系转化为平面上的垂直关系加以解决 .例 1 三棱锥Ｐ-ＡＢＣ中 ,ＰＡ⊥ＢＣ ,ＰＢ⊥Ａ… 相似文献
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二面角的平面角的作法有定义法 ,三垂线定理(或逆定理 )法和垂面法三种 ,在解决与二面角有关的问题时 ,人们都习惯于采用前两种方法 ,而极少用到后一种方法 ,其实有些关于二面角的问题 ,特别是棱未作出的二面角的问题 ,若用垂面法则更为简捷 .特举数例 ,仅供参考 .例 1 过正方形ＡＢＣＤ的顶点Ａ ,引ＰＡ⊥平面ＡＢＣＤ ,若ＰＡ =ＡＢ ,则平面ＡＢＰ与平面ＣＤＰ所成二面角的大小是 .图 1解 如图 1,由ＰＡ⊥面ＡＢＣＤ ,知面ＰＡＤ⊥面ＡＢＣＤ .又ＡＢＣＤ为正方形 ,有ＡＢ⊥ＡＤ ,ＣＤ⊥ＡＤ ,得ＡＢ⊥面ＰＡＤ ,ＣＤ⊥面ＰＡＤ ,所以面… 相似文献
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求异面直线的距离 ,就是要确定它们的公垂线段 ,然后再利用解三角形来完成 .但在有些情况下公垂线段难以确定 ,此时若能运用化归思想对问题进行适当转化 ,不仅可以简化运算 ,而且思路也非常简捷、明快 .下面就几种常用的转化方法举例说明 .1 转化为线面距离若ｍ、ｎ是两条异面直线 ,当ｍ 平面α且ｎ∥平面α时 ,直线ｎ与平面α间的距离也就是异面直线ｍ与ｎ之距离 . 图 1例 1 Ｓ为直角梯形ＡＢＣＤ所在平面外一点 ,∠ＤＡＢ=∠ＡＢＣ =90° ,ＳＡ⊥面ＡＣ ,ＳＡ =ＡＢ =ＢＣ =ａ ,ＡＤ =2ａ .(1)求异面直线ＳＣ与ＡＢ间的距离 ;… 相似文献
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在高考中 ,经常会出现与二面角有关的题目 .但考生在学习这个内容时 ,感到比较抽象 ,主要原因就是不会确定二面角的平面角 .其实 ,二面角的平面角就是一个“平面角” ,其两边相交于棱上的一点 .如何才能确定出二面角的平面角呢 ?本人根据自己的教学经验 ,结合例题加以总结如下 .一、找已知图形中是否已有二面角的平面角 .紧扣定义 ,先找出顶点在棱上 ,两边分别在两个半平面的角 ,再看角的两边是否垂直于棱 ,若垂直 ,那么 ,这个角就是二面角的平面角 .例 1 在三棱锥Ｐ-ＡＢＣ中 ,ＰＡ ⊥底面ＡＢＣ ,∠ＡＣＢ =90°,且ＰＡ =2 ,ＡＢ =5,ＢＣ… 相似文献
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用构造法解立体几何题９例兰州市二中杜丕伶一、构造长方体例１．如图（１），ＰＤ⊥矩形ＡＢＣＤ，且ＰＤ＝ＡＢ，求平面ＰＡＤ与ＰＢＣ所成的锐二面角。分析：由已知可得线段ＰＤ、ＡＤ、ＣＤ两两垂直，可以此为三度构造长方体如图（２）。显然平面ＰＡＤ、ＰＢＣ各是侧... 相似文献
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将立体空间的问题转化为二维的平面问题,将未知向已知转化,这是解决简单多面体的策略之一.例1(1999年全国卷)如图1,已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1,点E在棱D1D上,截面EAC∥D1B,且面EAC与底面ABCD所成的角为45°,AB=a.(1)求截面EAC的面积;(2)求异面直线A1B1与AC之间的距离;(3)求三棱锥B1-EAC的体积.分析:本题主要涉及空间线面关系,二面角和距离概念.问题(1)属于截面积计算问题,可按截面的几体形状直接计算.因此,需求AC边上的高.问题(2)属于异面直线间的距离计算,需找出异面直线间的公垂线,然后可通过等价转换变成平面正方形内线… 相似文献
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命题 直三棱柱ＡＢＣ -Ａ1Ｂ1Ｃ1被一个平面所截 ,得截面△Ａ2 Ｂ2 Ｃ2 ,且ＡＡ2 =ｈ1,ＢＢ2 =ｈ2 ,ＣＣ2 =ｈ3,若△ＡＢＣ的面积为Ｓ ,则介于截面与下底面之间的几何体体积为 :Ｖ =13 Ｓ(ｈ1+ｈ2 +ｈ3) ( )1 思路探索从几何图形观察 :当ｈ1、ｈ2 、ｈ3不全相等时 ,截面图 1下面是个不规则的多面体 ,如何求其体积 ?通常采用割补法 ,将其变为规则几何体(如柱、锥、台 ) ,再运用公式。从所证式子观察 :式子右端可拆成三项之和 ,而这三项均为以三棱柱底为底 ,ｈ1、ｈ2 、ｈ3为高的三棱锥体积 ,由此猜想 ,将几何体分割成三个三棱锥 ,故知可连… 相似文献
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尹承利 《中学生数理化(高中版)》2003,(4):18-19
一题多解 (证 )是培养同学们创新思维能力的一条有效途径 .平时做题、解题 ,若每题都能从多角度去分析思考、寻找方法 ,对于拓宽大家的解题思路 ,是颇有益处的 .下面对一道立体几何题给出四种不同的解法 ,供同学们参考 .例 如图 ,△ＡＢＣ是以∠Ｃ为直角的直角三角形 ,ＰＡ⊥平面ＡＢＣ ,ＰＡ =ＡＣ =2 ,ＢＣ =2 ,求二面角Ａ ＰＢ Ｃ的大小 .分析 1:利用三垂线定理作出二面角的平面角 ,然后通过解三角形求出 .解法 1:如图 ,在Ｒｔ△ＡＢＣ中 ,过Ｃ作ＣＨ⊥ＡＢ于Ｈ .因为ＰＡ⊥平面ＡＢＣ ,所以ＣＨ⊥ＰＡ ,从而ＣＨ⊥平面ＰＡＢ .在Ｒｔ△… 相似文献
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解题过程可以说就是“转化”的过程。充分利用“转化”策略，加强转化思维方法训练，有利于培养学生思维的灵活性和提高解题能力。教学中，可从以下四个方面进行“转化”训练。 一、把抽象问题转化成具体问题 例１．平行六面体ＡＢＣＤ—Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１中，在共点Ａ的三条棱ＡＡ１、ＡＢ、ＡＤ上取点Ｅ、Ｆ、Ｇ，使Ｅ、Ｆ、Ｇ分别为ＡＡ１、ＡＢ、ＡＤ的二、三、四等分点．求四面体Ａ—ＥＦＧ与乎行六面体的体积之比。 面临此题，学生往往拿一个任意平行六面体，由四面体的底面积与高，求出体积后再得体积之比，计算较繁且抽象。实际上，… 相似文献
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本文介绍了一种复平面上的轴反射变换 ,并举例说明把坐标平面上的有关求轴对称点坐标的问题 ,转化到复平面上来解决 ,可以使运算变得简捷 .为行文方便 ,我们约定文中所用大写字母既表示复平面上的点 ,也表示相应的复数 .定理 设Ａ、Ｂ为复平面Ｃ上的两个不同点 ,过Ａ、Ｂ两点的直线为ｌ ,则以直线ｌ为轴的轴反射变换是ｆ(Ｐ) =Ｂ-Ａ Ｂ - Ａ ( Ｐ- Ａ) Ａ (Ｐ ∈Ｃ) .( ) 证明 记Ｐ′ =ｆ(Ｐ) ,∵ (Ｂ -Ａ) (Ｐ -Ｐ′) (Ｂ -Ａ) (Ｐ -Ｐ′)=( Ｂ - Ａ)〔(Ｐ -Ａ) - Ｂ -Ａ Ｂ - Ａ ( Ｐ - Ａ)(Ｂ -Ａ)〔( Ｐ - Ａ) - … 相似文献
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20 0 1年高考理科第17题 :如图 1,在底面是直角梯形的四棱锥Ｓ -ＡＢＣＤ中 ,∠ＡＢＣ =90°,ＳＡ ⊥面ＡＢＣＤ ,ＳＡ =ＡＢ =ＢＣ =1,ＡＤ =12 .(Ⅰ)求四棱锥Ｓ-ＡＢＣＤ的体积 ;(Ⅱ)求面ＳＣＤ与面ＳＢＡ所成二面角的正切值 .它的第二个问题并没有给出二面角的棱但却要求二面角的正切值 ,像这种没有给出棱的二面角我们称为“无棱二面角” .求解“无棱二面角”的问题有两种思路 :一种是不作出二面角的棱 ,直接用面积射影定理ｃｏｓθ =Ｓ射Ｓ原或三面角余弦公式ｃｏｓθ =ｃｏｓα -ｃｏｓβ·ｃｏｓγｓｉｎβｓｉｎγ 求解 ;一种是作出… 相似文献
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线面距离及面面距离通常都是转化为点面距离进行求解，异面直线的距离也常常须转化为线面距离，进而转化为点面距离求解．所以掌握点面距离的求法是学习线面距离、面面距离的基本和关键．以下谈谈求点面距离的几种策略．１ 先作后求 先作后求的思路是：先过点作平面的垂线段，再利用解三角形的方法求出垂线段的长度．但这种解法一般要确定垂足的位置，通常是利用面面垂直的性质来确定垂足的位置． 例１已知正三棱锥Ｐ—ＡＢＣ底面边长为４，二面角Ｐ－ＢＣ－Ａ为６０°，求Ｐ在底面内的射影Ｏ到平面 ＰＢＣ的距离． 解 如图１，过Ｐ作＊ｏ上… 相似文献
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以往在中学 ,解几何问题一般用几何方法 ,如今 ,向量在中学数学中的应用越来越广泛 .用向量知识解立体几何题 ,可以很容易解决平面或空间中的共线、平行、垂直、夹角、长度等问题 .用向量法解立体几何题 ,一般的做法是在平面上确定两个不共线的向量作为基向量 ,在空间确定三个不共面的向量作为基向量 ,然后把平面或空间的任一向量均用基向量表示 .例 1 (第十一届“希望杯”数学邀请赛 )如图1 ,已知正三棱柱ＡＢＣ -Ａ1 Ｂ1 Ｃ1的所有棱长都相等 ,Ｄ是ＡＡ1 的中点 ,求ＢＣ1 与ＣＤ所成的角 .分析 本题所求的是异面直线所成的角 ,而向量的… 相似文献
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我们知道 ,求二面角的大小是立体几何中的重点 ,同时也是难点 .在二面角的教学实践中 ,教师不仅应该让学生理解二面角的概念 ,掌握求二面角大小的基本方法 ,更应该培养学生善于从多方面思考问题 ,学会“变” .只有这样 ,学生在求解与二面角有 图 1关问题时 ,才能得心应手 .先看下面的结论 .结论 如图 1所示 ,在二面角α -ι- β中 ,Ａ、Ｂ是棱ι上两点 ,Ｃ、Ｄ分别在平面α、β内 ,二面角α-ι - β的平面角的大小是θ ,则ＶＡ-ＢＣＤ =2Ｓ△ＡＢＣＳ△ＡＢＤｓｉｎθ3｜ＡＢ｜ .证明 过点Ｃ作平面β的垂线 ,垂足为Ｏ ,在平面 β… 相似文献
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文 [1]给出了有关正三角形的一个性质 :定理 设Ｐ为正三角形ＡＢＣ所在平面上的任意一点 ,且记ＡＢ =ＢＣ =ＣＡ =ａ ,ＰＡ =ｄ1 ,ＰＢ =ｄ2 ,ＰＣ =ｄ3 ,ｄ21 ｄ22 ｄ23 =ｕ ,ｄ21 ｄ22 ｄ22 ｄ23 ｄ23 ｄ21=ｖ ,则( 1)当Ｐ在正△ＡＢＣ内部或其边上时 ,ａ2 =ｕ 12ｖ - 3ｕ22 ;( 2 )当Ｐ在正△ＡＢＣ外部时 ,ａ2 =ｕ - 12ｖ - 3ｕ22 .(其中 12ｖ - 3ｕ2 ≥ 0 )将之推广到空间 ,我们得到如下图 1命题 设Ｐ为正四面体Ａ1 Ａ2 Ａ3 Ａ4所在空间任意一点 ,且记正四面体Ａ1 Ａ2 Ａ3 Ａ4的棱长为ａ ,ＰＡｉ=Ｒｉ (ｉ =1,2 ,3,4 ) ,∑4ｉ=1… 相似文献
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沈祖松 《数理化学习(高中版)》2004,(7)
转化思想是数学思想方法中的精髓,降维是转化思想中的重要方法,在立几解题中,把空间问题转化为平面问题(即由三维降为二维),就是将空间的点、线、面的位置关系转化为同一平面上的位置问题来研究,常常借助于辅助平面,本文谈谈辅助平面的作用。 相似文献