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《第二课堂(小学)》2007,(Z2)
判别式法是判别实系数一元二次方程有无实数根的主要方法,是初中数学中非常重要的内容.判别式"△"的应用可以说是"三头六臂",本文为你一一道来.一、"三头"1.由"△"的符号判定方程根的情况例1不解方程,判断一元二次方程x~2-2kx 4(k-1)=0的根的情况.解∵a=1,b=-2k,c=4(k-1),∴A=b~2-4ac=(-2k)~2-4×1×4(k-1)= 4k~2-16k 16=4(k~2-4k 4)=4(k-2)~2≥0.∴方程有两个实数根.评析运用一元二次方程的根的 相似文献
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对于实系数一元二次方程 ax~2+bx+c=0(a≠0) (*)当△=b~2-4ac≥0时有实根,且实根的分布情况常借助抛物线y=ax~2+bx+c (a≠0)与x轴的交点来实现的。当△=b~2-4ac<0时,方程(*)无实根。由于在复数范围内,任何一个实系数一元二次方程都有两个根,因此,当△=b~2-4ac<0时,方程(*)只有两个虚根且共轭。显然,这两个虚根对应的点不在x轴上。那么虚 相似文献
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如所周知,关于实系数一元二次方程Q_o:ax~2 bx c=0(a≠0)有两项重要的充要条件: 1.Q·有相异两实根△>0, Q_o有相等两实根△=0, Q_o有共轭两虚根△>0,(其中△=b~2-4ac) 2.复数x_1、x_2是方程Q_o的两根 相似文献
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实系数一元二次方程ax~2+bx+c=0(其中a≠0)的判别式Δ=b~2-4ac,与方程的根,有下列关系存在: >0时,方程有两个不等的实根; Δ=b~2-4ac =0时,方程有两个相等的实根; <0时,方程没有实根。从几何意义上来看,二次函数y=ax~2+bx+c(其中a≠0)的图象是一条抛物线,也有下列关系存在: >0时,抛物线与x轴有两个交点(相交); Δ=b~2-4ac =0时,抛物线与x轴有一个交点(相切); <0时,抛物线与x轴没有交点(相离)。 相似文献
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知识链接 一元二次方程ax~2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式△=b~2-4ac可用来判断方程根的情况。 ①△>0方程有两个不相等的实数根; ②△=0方程有两个相等的实数根; ③△<0方程没有实数根. 一、不解方程,判断一元二次方程根的情 例1 一元二次方程2x~2-4x+1=0的根的情况是( )。 (A)有两个不相等的实数根 (B)有两个相等的实数根 相似文献
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大家都知道,二次方程ax~2+bx+c=0…①的根与判别式△=b~2-4ac的关系:△>0圳①有两个不等实根;△=0圳①有两个相等实根;△<0圳①没有实根.“运用之妙,存乎一心”.判别式看似简单,实在神通广大,请看数例:例1已知ba+ca=1,求证:b2+4ac≥0.分析已知式可整理为a-b-c=0,由此可知方程ax2-bx-c=0有根x=1,所以△=(-b)2-4a(-c)≥0,即b2+4ac≥0.例2求正整数n,使28+211+2n为完全平方数.分析设x=24,原式就是x2+27·x+2n,要使它是完全平方数只要△=(27)2-4·1·2n=0,可解得n=12.例3求二次函数y=ax2+bx+c的最值.分析本题可用配方法解,也可以用判别式解决.函… 相似文献
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复合二次函数y=aφ~2(x) bφ(x) c(a≠0)的极值问题,在初等数学中占有非常重要的地位。先看一个例子: 已知x_1,x_2是方程x~2-(k-2)x (k~2 3k 5)=0(k是实数)的两个实根,x_1~2 x_2~2的最大值是(A)19,(B)18,(C)5 5/9(D)不存在。有人这样解:据韦达定理x_1 x_2=k-2,x_1x_2=k~2 3k 5,因此有 f(k)=x_1x~2 x_2~2=(x_1 x_2)~2-2x_1x_2=-(k-2)~2-2(k~2 3k 5)即 f(k)=-k~2-10k-6它二次项系数为负,因此有最大值 4ac-b~2/4a=4(-1)(-6)-(-10)~2/4(-1)=19 相似文献
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一元二次方程ax~2+bx+c=0(a≠0)有实根的充要条件是判别式△=b~2-4ac≥0,这里a、b、c是与未知数x无关的常数,对于象 1.求x~2+2xsin(xy)+1=0的一切实数解. 2.求x~2-2xsin(π/2)x+1=0的所有实根. 3.证明2sinx=5x~2+2x+3无实数解. 之类问题,是不是也可以应用类似的判别式来解呢?直接应用一元二次方程的根的判别式来解是缺乏理论根据的,本文给出这类问题的一般形式 相似文献
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一元二次方程根的判别式在初中数学中有多方面的应用,兹归纳如下:一、判别方程根的情况例1)判别方程2X~2-(4m 3)X 2m~2 1=0的根的情况。解:△=b~2-4ac=〔-(4m 3)〕~2-4 ×2(2m~2 1 )=24m 1当△=24m 1>0,即m>-1/24时,方程有两不等实根当△=24m 1=0,即m=-1/24时,方程有两个等实根当△=24m 1<0,即m<-1/24时,方程无实数根 相似文献
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一、三次函数的图象及其性质对于三次函数 y=f(x)=ax~3+bx~2+cx+d(a≠0),我们有 y′=f′(x)=3ax~2+2bx+c.设导函数 y′=f′(x)的判别式为△=4b~2-12ac=4(b~2-3ac).(1)当 a>0时,(i)若△>0,则方程 f′(x)=0有两个不等的实根。设两实根为 x_1,x_2(x_10、f(x_2)<0)时,图象与 x 轴有三个不同的 相似文献
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方程ax~2 bx c=0的判别式△=b~2-4ac及运用判别式求解一类范围题早被人们熟知。在三角方程asinx bcosx=c中,高中代数第二册P.31给出了它的有解条件|c/(a~2 b~2)~(1/2)|≤1。我们容易从有解条件中得到a~2 b~2-c~2≥0,仿一元二次方程,我们引出符号△=a~2 b~2-c~2,并把它称为三角方程asinx bcosx=c的判别式。容易证明:方程asinx bcosx=c,x∈[0,2π),当 i)△>0时,有两不等实根;ii)△=0时,有唯一实根;iii)△<0时,无实根。 u=cosx, 略证如下{ x∈[0,2π) v=sinx, 相似文献
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所谓“至少”型问题就是命题的条件或结论用“…至少…”语句叙述的问题,这类问题由于富于思考性,学生解决起来通常感到难以下手,下面举例说明它的一些常见证法,供读者参考。一顺证顺证就是由条件直接推出结论。 [例1] 设p_1p_2=2(q_1 q_2),求证:x~2 p_1x q_1=0,经~2 p_2x q_2=0中至少有一个方程有实根。证明:∵方程x~2 p_1x q_1=0,x~2 p_2x q_2=0的判别式分别为△_1=p_1~2-4q_1,△_2=p_2~2-4q_2。∴△_1 △-2=p_1~2 p_2~2-4(q_1 q_2)=p_1~2 p_2~2-2p_1p_2=(p_1-p_2)~2≥0 ∴△_1,△_2中至少有一个非负数,即至少有一个方程有实根。 相似文献
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实系数一元二次方程ax~2 bx c=0(a≠0)的判别式△=b~2-4ac,在解题中有着十分广泛的应用。对于判别式的应用,目前已有较多的文章对此进行了论述,本文就如何正确灵活应用判别式解决某些问题举例加以说明并略作分析。判别式的应用,主要依据下述定理及其一些直接推论。实系数一元二次方程f(x)=ax~2 bx c=0(a≠0)中,令△=b~2-4ac,则有ⅰ) △>0(?)f(x)=0有两个不相等实根。ⅱ) △=0(?)f(x)=0有两个相等实根。ⅲ) △<0(?)f(x)=0有两个共轭虚根。运用判别式解题,除对于实系数二次式以外,还可适用于能通过变形或设立辅助的变数构造一元二次 相似文献
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六年制重点中学高中代数第三册第26(2)题:在复数集C中解关于x的方程:x~3+(k~2-2)x=2k(x~2-1).人民教育出版社出版的由安徽省教育科学研究所编写的该册教学参考书中解答如下:x=k是原方程的根,把原方程展开整理得:x~3-2kx~2+(k~2-2)x+2k=0. 相似文献
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朱宜新 《学生之友(初中版)》2013,(Z2):33-33
ax~2+bx+c=0(a、b、c是常数,a≠0)这种形式叫做一元二次方程的一般形式,这里的条件是a≠0.在解决问题时,同学们往往会忽略这一个隐含条件,导致解题失误.例1:已知方程kx~2-(2k+1)x+k=0有两个不相等的实数根,求k的取值范围.错解:因为方程有两个不相等的实数根,所以b~2-4ac>0,即【-(2k+1)】~2-4k~2> 相似文献
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我们在解含有字母系数的方程的题目时,一定要注意未知数最高次数的系数的讨论,不然就会出错,如下面两例: [例1] 已知一元二次方程kx~2-(21-1)x k=0,有两个不相等的实数根,则k的取值范围是____。(1989年贵阳市中考题) 错解:由判别式△=[-(2k-1)]~2-4k~2>0 得 -4k 1>0,即k<1/4, 分析:因为已知方程是关于x的二次方程,故k≠0,所以,答案应为k<1/4且k≠0, [例2] 如果关于x的方程mx~2-2(m 2)x m 5=0没有实数根,那么关于x的方程(m-5)x~2-2(m 2)x m=0的实数根 相似文献