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题设a、b、c∈(0,√2),且a2+b2+c2+abc=4,求证:abc≥(2-a2)(2-b2)(2-c2)≥(4a2-a4-2)(4b2-b4-2)(4c2-c4-2). 相似文献
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题目设a,b,c是正实数,且a+b+c=1,则有(1/(b+c)-a)(1/(c+a)-b)(1/(a+b)-c)≥(7/6)~3(1)当且仅当a=b=c=了1时取到等号.文[1][2]给出了不同的证明方法,本文再给出更简单的证明方法.证明:注意到b~2-b+1=(b-1/3)~2+1/9(8-3b)≥1/9(8-3b),同理有c~2-c+1≥1/9(8-3c), 相似文献
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第 6届 IMO第 2题是设 a,b,c是△ ABC的三边长 ,求证a2 (b + c -a) + b2 (c + a -b) + c2 (a +b -c)≤ 3 abc (1)受启发 ,本文得到 (2 )式的如下对偶形式定理 1 设 a,b,c,r是△ ABC的三边长及内切圆半径 ,则有a2 (b + c -a) + b2 (c + a -b) + c2 (a +b -c)≥ 12 r(a + b + c) (2 )证明 :记 p =12 (a + b + c) ,R为△ ABC的外接圆半径 ,S为△ ABC的面积 ,由海伦公式 S = p (p -a) (p -b) (p -c) =rpabc =4RS =4Rrp得左边 =2 a2 (p -a) + 2 b2 (p -b) +2 c2 (p -c)≥2× 3 3 a2 b2 c2 (p -a) (p -b) (p -c) =63 16R2 r2 p2 .r2 p =… 相似文献
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田小萍 《中学数学研究(江西师大)》2015,(2):18-20
文[1]在文末给出了几个猜想不等式,其中有如下:猜想若a,b,c是满足a+b+c=1的正数,则(2-a)/(2+a)+(2-b)/(2+b)+(2-c)/(2+c)≥(15)/7.文[2]给出了上面猜想的证明,笔者阅读后对此不等式进行了探究,现叙述如下:1猜想的另证另证1:由柯西不等式,得((2-a)/(2+a)+(2-b)/(2+b)+(2-c)/(2+c))[(2-a)(2+a)+(2-b)(2+b)+(2-c)(2+c)]≥[(2-a)+(2-b)+(2-c)]~2,即 相似文献
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罗建中 《中学数学教学参考》2003,(6):62-62
贵刊 2 0 0 3年第 4期《轮换对称不等式的证明技巧》一文中例 8和例 1 0的证明犯了一个常识性错误 .为方便叙述 ,把原文摘录如下 :例 8 已知a ,b,c∈R+ ,求证 :ab+c+ba +c+ca +b≥ 32 .分析 :将常数 32 均匀分解到左式各项中 ,待证不等式等价于ab+c-12 +ba +c-12 +ca +b-12 ≥ 0 ,( )由a ,b ,c的对称性 ,不妨设a≥b≥c>0 ,则( )左边 =2a -b -c2 (b+c) +2b -a -c2 (a +c) +2c -a -b2 (a +b)≥2a -b -c+2b -a -c+2c-a -b2 (a +b) =0 .很明显 ,原作者在这里使用了放缩技巧 ,但当 2b-a -c<0时 ,放缩方向刚好相反 ,因而证明是错误的 .同样在… 相似文献
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王耀辉 《中学数学研究(江西师大)》2010,(6):33-33
文[1]给出了一对非常优美的姐妹不等式设a,b,c是正数,且a+b+c=1,则有(1/(b+c)-a)(1/(c+a)-b)(1/(a+b)-c)≥(7/6)~3(1)当且仅当a=b=c=1/3时取等号, 相似文献
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不等式的证明是高中数学的一个难点,如果能仔细观察所给不等式的结构形式,依据题目的条件或结论的模式,联想所学过的知识,或已解决过的问题,制定解题方案,则可使命题迅速巧妙地得到解决.一、根据命题条件所提供的模式展开联想例1已知a,b∈R,|a|≤1,|b|≤1,求证ab (1-a2)(1-b2)≤1.分析:由|a|≤1,|b|≤1容易联想到正弦函数或余弦函数的有界性.证明:因为|a|≤1,|b|≤1,所以可设a=cosα,b=cosβ,α,β∈[0,π],则ab (1-a2)(1-b2)=cosαcosβ sinαsinβ=cos(α-β).又cos(α-β)≤1,22例2已知实数a、b、c满足a b c=0,abc=1,求证:a、b、c中必有… 相似文献
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用恒等式解题,大体上有两个途径:一是应用已知的基本恒等式求解;二是根据问题的特点推证出一个适用的恒等式,这通常需要相当高的运算技巧和能力.例1设a、b、c都是正数,满足条件(a2 b2 c2)2>2(a4 b4 c4).求证:a、b、c一定是某个三角形的三边长.证明先把条件改成2a2b2 2b2c2 2c2a2-a4-b4-c4>0.应用恒等式(这是一个较常见的因式分解)2(a2b2 b2c2 c2a2)-a4-b4-c4=(a b c)(a b-c)(b c-a)(c a-b),得(a b c)(a b-c)(b c-a)(c a-b)>0,即(a b-c)(b c-a)(c a-b)>0.若上式左边有两个因式为负(另一个因式为正),例如,若a b-c<0,b c-a<0,两式相加得b<0,这… 相似文献
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唐录义 《中学数学教学参考》2003,(12)
定理 已知 (凹或凸 )四边形ABCD中 ,AB =a ,BC =b ,CD =c,DA =d ,p为半周长 ,pa=p -a ,等等 .则面积S =papbpcpd-abcdcos2 A +C2 .证明 :S =12 (adsinA +bcsinC) .4S2 =a2 d2 sin2 A +2abcdsinAsinC +b2 c2 sin2 C=a2 d2 +b2 c2 -a2 d2 cos2 A -b2 c2 cos2 C+2abcdcosAcosC -2abcdcos(A +C)=a2 d2 +b2 c2 -[adcosA -bccosC]2-2abcdcos(A +C)=a2 d2 +b2 c2 -14(a2 +d2 -b2 -c2 ) 2-2abcdcos(A +C) ,1 6S2 =4(a2 d2 +b2 c2 ) -(a2 +d2 -b2 -c2 ) 2 +8abcd -1 6abcdcos2 A +C2=4(ad +bc) 2 -(a2 +d2 -b2 -c2 ) 2-1 6abcdcos… 相似文献
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正安振平老师提出的"二十六个优美不等式"中第14个是:设a、b、c为非负实数且a+b+c=1,求证:(1-a)22+(1-b)22+(1-c)22≤6427.该题在很多刊物都有证明,尽管证法各有千秋都很精彩,但方法都很复杂,有些也难于想到,笔者将不等式左边稍作调整就可以反复应用切比雪夫不等式,轻松证出,不仅如此,还可以轻松将不等式横向和纵向加以推广.证明:不妨假设a≥b≥c≥0,则1+a≥1+b≥1+c,1-a≤1-b≤1-c,由切比雪夫不等式可知:(1-a)22+(1-b)22+(1-c)22 相似文献
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高中代数(人教社全日制普通高级中学(必修)第一册上)的第85页4题为:已知f穴x雪=lg1-x1+x,a,b∈穴-1,1雪,求证:f穴a雪+f穴b雪f(a+b1+ab)教参的证明如下:a,b∈穴-1,1雪左边=lg1-a1+a+lg1-b1-b=lg(1-a)(1-b)(1+a)(1+b)右边=lg=lg=lg(1-a)(1-b)(1+a)(1+b)∵左边=右边∴f穴a雪+f穴b雪=f穴a+b1+ab雪.笔者认为以上证明不够完整和周密:(1)没有确定f穴x雪的定义域A,使条件“a,b∈穴-1,1雪”与证明过程的联系不清晰;(2)忽略了f穴a+b1+ab雪的可行性,即没有对a+b1+ab∈A进行必要的说明。函数是高中数学的重要概念,贯穿高中教材始终。如一个分段函数,强… 相似文献
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新教材第六章中不等式的证明是一个难点,如果教学中能积极地引导学生观察所给不等式的结构形式,依据题目的条件或结论的模式,联想所学过的知识,或已解决过的问题,制定解题方案,则可使命题迅速巧妙地得以解决.1.根据命题的条件所提供的模式展开联想.【例1】已知a,b∈R,|a|≤1,|b|≤1,求证:ab (1-a2)(1-b2)≤1.分析:由|a|≤1,|b|≤1容易联想到正弦函数或余弦函数的有界性.证:∵|a|≤1,|b|≤1∴可设a=cosα,b=cosβ,α,β∈[0,π]则ab (1-a2)(1-b2)=cosα·cosβ sinα·sinβ=cos(α-β)∴ab (1-a2)(1-b2)≤1.分析2由命题的结论a·b 1-a2·1-… 相似文献
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命题 设△ABC的三边长、外接圆半径、内切圆半径分别为a、b、c、R、r.则有b2 c22bc ≤ R2r.①证明 : 记△ABC的面积为S .由abc =4RS及S =12 r(a b c)知式①等价于b2 c22bc ≤abc(a b c)1 6S2 .②由海伦公式知1 6S2 =(a b c) (b c -a)·(c a -b) (a b -c) .③则式②等价于1 6S2 (b2 c2 ) ≤2ab2 c2 (a b c) (a b c) (b c-a) (c a -b)·(a b-c) (b2 c2 ) ≤2ab2 c2 (a b c) 2ab2 c2 - (b c -a) (c a -b)·(a b -c) (b2 c2 ) ≥0 b2 [ac2 - (b c-a) (c a -b)·(a b -c) ] c2 [ab2 - (b c-a)·(c a -b) (a … 相似文献
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数学美学方法就是指在数学学习和研究中,可以直觉地运用美学的因素,去解决可能的研究方向或对数学问题的解决作出判断。本文从对称、和谐,整齐等美学的因素来谈谈数学美学方法在中学数学解题中的应用。例1:已知0相似文献
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刘康宁 《中学数学教学参考》2004,(9)
一、选择题1 .如果1 a1 -a=1 -b1 b,那么 ( 2 a) ( 2 b) b2 的值等于 ( ) .A 4 B -4 C 2 D -22 已知非零实数a、b满足 (a2 1 ) (b2 1 )=3 ( 2ab-1 ) ,则b( 1a -a)的值为 ( ) .A 0 B 1 C -2 D -13 实数a、b满足 (a a2 1 ) (b b2 1 ) =1 ,则a b的值等于 ( ) .A -1 B 0 C 1 D ± 14 已知a、b、c、d是四个互不相等的实数 ,且(a c) (a d) =1 ,(b c) (b d) =1 .那么 (a c)(b c)的值是 ( ) .A 0 B 1 C -1 D -45 已知 2 0 0 3x3=2 0 0 4y3=2 0 0 5 y3,… 相似文献
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问题 1 《数学教学》2 0 0 3年第 2期“数学问题与解答”栏目中的第 5 80题为设a、b、c为△ABC的三边 ,求证 :a2a +b -c+b2b +c -a+c2c+a -b≥ 32 .①笔者试图探索这个新颖不等式的上界 ,得出问题 1 .1 设a ,b,c为△ABC的三边 ,求证 :a2a +b -c+b2b +c -a+c2c+a -b<73 .②综合不等式①、②得问题 1 .2 设a ,b,c为△ABC的三边 ,求证 :32 ≤ a2a +b -c+b2b +c -a+c2c+a -b<73 .③为了证明不等式③ ,笔者首先想到了它的类似 :问题 1 .3 设x ,y ,z为任意正实数 ,求证 :xy +z+yz +x+zx +y≥ 32 .④于是 ,联想到 :能否将不等式③转化为三… 相似文献
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1993年瑞士数学竞赛中 ,有如下一道试题 :在△ ABC中 ,a,b,c为其三边 .求证 :(b + c-a) (c + a -b) (a + b-c)≤ abc (* )(* )式证法多见 ,但都基于代数或三角的方法 ,其过程比较复杂 ,本文给出如下一个新颖直观的几何证法 :图 1证明 :如图 1 ,根据已知条件可构造△ MN G,使∠ NMG =90°,MD为 N G边上的中线 ,令 MN =b + c -a,MG =c+ a -b,则易知NG =b + c -a + c + a -b =2 c,MD= 12 .由三角形面积可知 :12 N G .MD≥ 12 MN .MG(当且仅当 MN =MG时等式成立 )所以 12 2 c.12 2 c≥ 12 b + c-a .c+ a -b化简整理得 (b+ c-a) (c… 相似文献
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91.如图,在△ABC中,AD是∠BAC的平分线,BE=CF,且M、N分别是BC、EF的中点.求证:AD∥MN.(安徽省肥西中学231200刘运宜提供)92.设a、b为正整数,求证:(a b)(a2 b2)(a3 b3)·…·(a323 b323)≥(a162 b162)323.(湖北黄梅县一中435500王卫华提供)93.若a、b、c∈R ,且a b c=1,则有bac-!"1cba-!"1·cab-!"1≤8.(陕西省永寿中学713400安振平提供)94.已知正实数a、b、c满足a b c=abc.求证:aa bb bb cc cac a>25.(湖南武冈市第十中学422400邓集春提供)95.设｛an｝是各项都大于1的正项等差数列,n为大于1的自然数,求证:1-a11!"1-a12!"·…·1-a1… 相似文献