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一、函数凹凸性的概念及基本性质探讨。定义设f为定义在区间I上的函数,若对任意两点x1,x2和实数0<λ<1,总有f[λx1+(1-λ)x2]≤λf(x1)+(1-λ)f(x2),则称f为I上的凸函数;反之,如果总有不等式f[λx1+(1-λ)x2]≥λf(x1)+(1-λ)f(x2),则称f为I上的凹函数。 相似文献
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<正>凸函数定义:设f(x)为定义在区间I上的函数,若对I上任意两数x1,x2和实数λ,总有f(λx1+(1-λ)x2)≤λf(x1)+(1-λ)f(x2),则称f为I上的凸函数.凸函数判定定理为:设f为I上的二阶可导函数,则f为I上的凸函数的充要条件是在I 相似文献
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唐远明 《数学大世界(高中辅导)》2005,(9)
设函数f(x)定义在区间I上且x1,x2∈I,则①若函数f(x)在区间I上是单调增(或减)函数,则x1f(x2)).②若函数f(x)在区间I上是单调函数,则x1=x2f(x1)=f(x2).③若函数f(x)在区间I上是单调函数,则方程f(x)=0在区间I上至多有一个实数根.④若函数f(x)与g(x)的单调性相同,则在它们公共的定义域内,函数f(x) g(x)亦与它们的单调性相同.⑤复合函数y=f(u)(u=g(x))的单调性适合“同增异减”规律,即若f(x)与g(x)的单调性相同(或相异),则y=f[g(x)]为增(或减)函数.⑥互为反函数的两个函数在各自的定义域内具有相同的单调性.运用… 相似文献
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1凸函数的定义及性质 凸函数的定义当x∈区间I时,若函数f（ x）满足f″（ x）≤（≥）0恒成立且f″（ x）＝0的解集是孤立的点集,即f′（ x）是减（增）函数,则f（ x）是I上的上（下）凸函数。 相似文献
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尹承利 《数理天地(高中版)》2002,(11)
由函数单调性的定义可知:若函数y=f(x)在区间I上单调,且x1、x2∈I,则f(x1)=f(x2)-x1=x2.根据问题的特点,构造恰当的函数,利用以上性质可以解一类求值题. 相似文献
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张本尧 《郧阳师范高等专科学校学报》1992,(1)
定义.如果对于f(x)的定义域D中的任意x_1,x_2,有f(x_1+x_2)/2≥(≤)则把f(x)叫做D上的上凸(下凸)函数。定理.如果f(x)是D上的上凸(下凸)函数则对于x_1,x_2,…,x_n∈D,n∈N,有f(x_1+x_2+…+x_n)/n≥(≤)f(x_1)+f(x_2)+…+f(x_k)/n下面我们用凹凸函数的性质证明一类不等式。 相似文献
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陈千勇 《数理天地(高中版)》2006,(11)
1．“凹凸”函数(1)任取x_1,x_2∈[a,b],且x_1≠x_2,若f((x_1 x_2)/2)＞(f(x_1) f(x_2))/2成立,则称函数f(x)为凸函数．(2)任取x_1,x_2∈[a,b],且x_1≠x_2,若f((x_1 x_2)/2)＜(f(x_1) f(x_2))/2,则称函数f(x)为凹函数．例1如图所示,f_i(x)(i=1,2,3,4)是定义在[0,1]上的四个函数,其中满足性质：“对 相似文献
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教学中,有学生问及函数凹凸性判定定理在多元函数中的形式,根据一元函数有关理论,存在以下一般结论. 定理:若f(X)在Rn中的开凸集D上存在二阶连续偏导,则(?)X∈D,f(X)是凹(凸)函数的充要条件为:f(X)的海塞方阵 相似文献
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施永新 《中学数学研究(江西师大)》2013,(10):24-26
文[1]介绍了定理"已知函数f(x)在区间I上可导,x0∈I,若f(x)在区间I上为下凸函数,则f(x)≥f(x0)(x-x0)+f(x0);若f(x)在区间I上为上凸函数,则不等号反向."并利用它来证明一类对称不等式.事实上,当函数f(x)在区间I上可导时,定理中的不等式与琴生不等式等价,且这类对称不等式用琴生不等式证明更显简洁、高效. 相似文献
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田发胜 《数理化学习(高中版)》2006,(19)
由函数单调性的定义容易知道:(1)若函数f(x)在区间I上单调递增,且x1,x2∈I,则f(x1)x2;(3)若函数f(x)在区间I上单调,且x1,x2∈I,则f(x1)=f(x2)x1=x2;根据题目的特点,构造一个适当的函数,利用它的单调性进行解题,是一种常用的技巧.许多问题,如果运用这种思想去解决,往往能获得简洁明快的思路,有着非凡的功效.下面举例说明这一思想在解题中的若干应用.一、求值例1设x,y为实数,且满足(x-1)3+1997(x-1)=-1(y-1)3+1997(y-1)=1,则x+y=.解:由已知条件,可得:(x-1)3+1997(x… 相似文献
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我们熟知某些初等函数的凹凸情况,对较复杂的初等函数的凹凸判断可由微分学知:若f(x)在(a,b)上有二阶导数,且f″(x)>0(<0),则f(x)在(a,b)上是凹(凸)函数,对凹(凸)函数有如下性质。(证略) 如果f(x)是(a,b)上的凹(凸)函数,n是自然数,则对x_i∈(a,b)(i=1,2,…,n)有不等式(f(x_1) f(x_2) … f(x_n))/n≥(≤)f((x_1 x_2 … x_n)/n) 当n>1时,上式等号成立的充要条件是x_1=x_2=…=x_n。灵活巧妙地运用上述性质,对证明某些不等式非常有效,常可使竞赛题迎刃而解。例1 设n为自然数,a、b为正实数, 相似文献
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引言文[1][2][3]围绕不等式进行了一系列的探讨,得到了不少的结果。本文通过对凸函数的一个性质的讨论,得到了这类问题的一个普遍的结果。一、预备知识定义设f(x)是定义在区间C上的实值函数,若(?)x_1,x_2∈C,(?)α∈(0,1),恒有f(αx_1 (1-α)x_2)≤αf(x_i) (1-α)f(x_2)(1)则称f(x)为区间C上的凸函数。若(?)x_1,x_2∈C,x_1≠x_2,(?)α∈(0,1),恒有f(αx_1 (1-α)x_2)<αf(x_1) (1-α)f(x_2)(2)则称f(x)为区间C上的严格凸函数。 相似文献
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函数是高中数学的重要内容和主千知识,而导数知识在研究函数图象、函数零点、不等式证明以及不等式恒成立等诸多问题中亦有着广泛的应用.本文以2012年福建省高考中的函数试题举例阐述.
一、函数的凹凸性与拐点的有关性质
应用导数知识除了研究函数的图象与性质,还常用二阶导数研究函数的凹凸性与拐点.
性质1:已知函数f(x)在其定义域上二阶可导,若f"(x)＞0恒成立,则函数f(x)为凹函数;若f″(x)＜0恒成立,则函数f(x)为凸函数(允许在一些孤立点处f″(x)=0). 相似文献
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金维栋 《黄冈师范学院学报》1990,(3)
文[1]、[2]中给出了凸函数的一般定义,讨论了不同条件下凸函数的一些基本性质及其判定定理。本文将在此基础上进一步地给出一般条件下凸函数的又一个等价命题及其若干简单应用。凸函数定义称函数 f(x)为区间Ⅰ上的凸函数。如果(?)x,y∈I,(?)λ∈(0,1)有(?)λx+(1—λ)y]≤λf(x)+((?)-λ)f(y)。在这个一般定义下,[1],[2]得到了凸函数的几个判定定理:定理1 下面几个命题等价:(1) f(x)为区间Ⅰ上的凸函数; 相似文献