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1.
题目:求通过圆锥曲线的焦点,并且和焦点所在的对称轴的夹角为θ的直线被圆锥曲线所截的弦长。解:如图建立极坐标系,则圆锥曲线的极坐标方程为ρ=ep/(1-ecosθ)。设直线与曲线交于两点 相似文献
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玉邴图 《数理天地(高中版)》2010,(12):17-18
1．斜率或倾斜角
定理1 过横向型圆锥曲线（焦点在x轴上）的焦点F作斜率为k或倾斜角为θ的直线,交圆锥曲线于P、Q两点,若离心率为e,焦点到相应准线的距离为P,则 相似文献
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本文介绍了圆锥曲线的焦点弦(或焦半径)与离心率的一条新关系式及其推论,并说明了其在解高考题中的应用.定理设点F是离心率为e,焦点在x轴上的圆锥曲线的一个焦点,P为焦点F到其对应准线的距离,r为该圆锥曲线的焦半径,则有:e=P±rrcosθ(*)成立其中:(1)若该圆锥曲线为椭圆,当定点 相似文献
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宋波 《数理化学习(高中版)》2011,(22):1-3
经过圆锥曲线焦点被圆锥曲线截得的线段叫焦点弦.它是一个非常重要的几何量,是各类考试的重点和热点.下面介绍有关圆锥曲线焦点弦问题的一种统一解法,然后用高考题举例说明.定理:经过横向型圆锥曲线的焦点F作倾斜角为θ的直线,交圆锥曲线于A、B两点,若离 相似文献
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玉邴图 《中学数学研究(江西师大)》2003,(1):23-25
定理设P是圆锥曲线准线l上的一点,F、A是和准线l相对应的焦点和顶点,l交圆锥曲线的对称轴于一点H,e是离心率,p是焦点F到相应准线的距离,∠FPA=θ,则θ为锐角且有sinθ≤e/e+2(当且仅当|PH|=p/(√1+e)时取等号). 相似文献
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《数学大世界(高中辅导)》2006,(Z1)
文[1]中提到,圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线)过焦点的弦长有一个统一的公式:设圆锥曲线的离心率为e,焦点到准线的距离为p,过焦点的弦AB的倾斜角为θ,则|AB|=|1-2ee2cpos2θ|并用极坐标的方法给予了证明,证完后强调:该公式虽然是在极坐标系中证明的,但应用公式时可以不受坐标系 相似文献
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本文以解析几何的几何本质为视角,首先找到了圆锥曲线的一种特征三角形,进而探求一种求圆锥曲线离心率的几何解法,对于焦点在x轴上的椭圆:e=cosα,α是椭圆短轴端点和一个焦点连线与长轴的夹角;对于焦点在x轴上的双曲线,有三个计算公式:公式一:e=1/cosθ,其中θ为渐近线与实轴的夹角;公式二:e=√1+k2,其中k为当焦点在x轴上时渐近线的斜率;公式三:e=√1+(b/a)2. 相似文献
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以圆锥曲线上一点与其两焦点为顶点的三角形叫做焦点三角形。它们有如下的面积公式: P为椭圆(x~2)/(a~2) (y~2/b~2)=1(a>b>0)上任一点,F_1、F_2是两焦点,∠F_1PF_2=θ,则 S_(△PF_1F_2)=b~2tgθ/2 (1) P为双曲线(x~2)/(a~2)-(y~2/b~2)=1上任一点,F_1、F_2是两焦点,∠F_1PF_2=θ,则 相似文献
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《数理天地(高中版)》2010,(10):16-16,18
圆锥曲线的统一极坐标方程ρ=ep/1-ecosθ,利用此方程,可以简化计算,迅速求解过焦点的有关问题,现以2010年高考试题为例说明． 相似文献
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文[2]在文[1]的基础上给出了圆锥曲线统一的双极坐标方程及两个推论。作为文[2]的补充,本文再给出双极坐标方程的一个推论,并说明它的一些应用。 命题 过圆锥曲线的焦点F倾斜角为θ的直线与圆锥曲线交于A、B两点,则 相似文献
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文[1]给出了圆锥曲线焦点与准线的一个相关性质,文[2]对此进行了推广,本文将从新的角度对文[1]性质进行了再推广。 先看文[1]中的命题1: 过圆锥曲线ρ=ep/(1-ecosθ)的准线(l)与对称轴的交点(K),引一条直线和圆锥曲线相交于两点(A、B),则这两点与准线所对应的焦点(F)的连线(即焦半径)与焦点轴成等 相似文献
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<正>圆锥曲线有许多优美的性质,比如统一定义;统一极坐标方程ρ=ep/1-ecosθ;横(纵)向型圆锥曲线的统一焦点弦长公式|AB|=2ep/1-e2cos2(α|AB|=1-2ep/e2sin2α)(对双曲线为同支焦点弦),等等.这些统一性质不仅体现了椭圆、双曲线、抛物线的紧密联系,展示了圆锥曲线内在的"统一美",而且其本身也具有广泛应用价值.作为教师,若与学生一起 相似文献
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极坐标的应用十分广泛,涉及圆锥曲线焦点弦的有关问题,可建立焦点极坐标系,利用椭圆、双曲线、抛物线统一的极坐标方程ρ=ep/1-ecosθ,或建立直角坐标系,运用坐标关系x=ρcosθ y=ρsinθ,把问题转化为极坐标,用极坐标法解.此法使问题化难为易、化繁就简,具有解法新颖巧妙、过程简单等特征. 一、求值问题:求圆锥曲线焦点弦长,与焦点弦有关的角、线段、点线距离、图形面积等,用极坐标法解,可避免解方程组求交点坐标、运用直标公式作繁琐运算. 例1 椭圆长轴|A_1A_2|=6,焦距 相似文献
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与抛物线焦点弦有关的规律和性质散见于一些问题中,现予整理归纳。这些规律和性质直接用到某些问题中,将会简化解题过程.更重要的是,有意识的对知识、方法进行总结归纳,对提高综合、概括能力是十分有益的. 性质1 过焦点的弦与抛物线的轴成θ角,则焦点弦长为:2p/sin2θ(过焦点的直线与圆锥曲线相交,两交点间的线段叫焦点弦). 相似文献
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阳圣兵 《数理天地(高中版)》2005,(9)
圆锥曲线上任意一点P和它的两个焦点F1、F2构成一个三角形(P、F1、F2不共线),我们称之为焦点三角形.若点P对两焦点所张的角度∠F1PF2=θ,则容易推出焦点三角形的面积公式(推理过程请同学们自己完成). 相似文献
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圆锥曲线上一点与其两焦点构成的三角形俗称焦点三角形.本文将介绍椭圆与双曲线的焦点三角形的几个性质.1与椭圆的焦点三角形有关的性质设椭圆x_2/a_2 y_2/b_2=1(a>b>0)上任一点P,两焦点F_1(-c,0)F_2(c,0)Fc,12PFFα∠=,21PFF∠β=,12FPFθ∠=.性质12cos12eθ≥?.证明由正弦定理,有1212sinsinsinPFPFFFβαθ==.由等比性质,且考虑到122PFPFa =和122FFc=有2sinsinsinsin2sinsin()acαβαβθαβ == 2sincos222sincos22αβαβαβαβ ?= 1111coscossin222αβθθ≤== ?,即有22(1cos)/2/caθ?≤.由/eca=,整理立得:2cos12eθ… 相似文献
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圆锥曲线统一的极坐标方程是ρ=ep/1-ecosθ一般情况下,对于椭圆和抛物线上的任一点A（ρ,θ）,ρ〉0表示A到极点的距离,θ为以极轴为始边按逆时针方向旋转的旋转角．而对于双曲线,若以右焦点为极点建立极坐标系,则右支上点的坐标与椭圆和抛物线意义相同,而左支上点的坐标将有所区别． 相似文献
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定理 1 过圆锥曲线焦点的直线ｌ对于过焦点的对称轴的倾斜角为α ,且与圆锥曲线交于Ａ、Ｂ两点 ,若焦点Ｆ分弦ＡＢ所成的比为λ ,则λ=1+ｅｃｏｓα1-ｅｃｏｓα.(ｅ为离心率 ) 图 1证明 过焦点Ｆ作准线的垂线 ,垂足为Ｋ ,以焦点Ｆ为极点 ,ＦＫ的反向延长线为极轴 ,如图 1,建立极坐标系 ,则圆锥曲线的极坐标方程为ρ=ｅｐ1 ｅｃｏｓθ(允许 ρ <0 ) ,∴ρＡ =ｅｐ1-ｅｃｏｓα,ρＢ =ｅｐ1-ｅｃｏｓ(π+α) =ｅｐ1+ｅｃｏｓα.∵ ＡＦＦＢ =λ ,ＡＦＦＢ =ρＡρＢ =1+ｅｃｏｓα1-ｅｃｏｓα,∴λ=1+ｅｃｏｓα1-ｅｃｏｓα.说… 相似文献
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利用极坐标系解圆锥曲线题的应用,课本上的介绍不多,应用时,应根据不同情形建立不同的极坐标系,以便灵活地解题。一、建立焦点极坐标系涉及与圆锥曲线的焦点弦有关的问题,应以焦点为极点的极坐标系(简称焦点极坐标系),这时椭圆、双曲线和抛物线有统一的方程ρ=(ep)/(1-ecosθ)。例1 过双曲线(x~2)/(a~2)-(y~2)/(b~2)=1的右焦点F的弦AB(AB不垂直于实轴),AB的中垂线交x轴于D,求证|FD|=e/2|AB|(e为离心率) 证明:如图,以右焦点F为极点,Fx 相似文献