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正我们知道,如果三个向量a,b,c不共面,那么对空间任一向量p,存在有序实数组{x,y,z},使得p=xa+yb+zc.我们把{a,b,c}叫做空间的一个基底,a,b,c都叫做基向量.由此可知,空间任意一个向量都可以用三个不共面的向量表示出来,这能为解决问题带来方便.本文运用基向量法解决立体几何中常见的几个问题.1.证明位置关系(平行与垂直) 相似文献
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正人教版A选修2-1P98有一道习题:已知空间向量→a,→b,→c是空间的一个单位正交基底,向量→a+→b,→a-→b,→c是另一个基底.若向量→p在基→a,→b,→c下的坐标为(1,2,3),求→p在基底→a→+b,→a-→b,→c下的坐标.《教师用书》给出的答案是:→p在基底→a+→b,→a-→b,→c下的坐标为(32,-12,3).《数学通讯》2012年第12期的《对人教A版选修2-1一道习题答案的质疑》认 相似文献
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《数学教学》2001年第6期的数学问题548是设△ABC的三边长为a,b,c,求证:b c a c a b a b ca b c+?++?++?>22.①《中学数学月刊》在2002年第11期第29页用换元法给出了其一简证,并在2003年第7期又给出了其一个类似.在△ABC中,三边长为a,b,c,求证:c a b a b c b c aa b c+?++?++?≤3.②笔者发现,在双圆四边形中也有定理在双圆四边形ABCD中,AB=a,BC=b,CD=c,DA=d,R、r表示其外接圆半径、内切圆半径,则42b c d a a c d ba b≤++?+++?+a b d c a b c dc d++?+++?4r r24R2r2≤r+?③证明记1()s=2a+b+c+d,由文[1]得abcd=(s?a)(s?b)(s?c)(s?d).… 相似文献
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Goldner不等式是指:∑a4≥16S2.经过探讨,笔者现给出它的加强式:定理224216(Rr?1)S≤∑a≤16(2Rr2?1)S,其中a,b,c表示△ABC的三边长,P为半周长,S为面积,R为外接圆半径,r为内切圆半径,∑表示循环和.为证明此不等式,先看下面的两个引理:引理1∑a4=2(a2b2+b2c2+c2a2)?16S2.证明由海伦公式得S=p(p?a)(p?b)(p?c)得p(p?a)(p?b)(p?c)=S2.∵p(p?a)(p?b)(p?c)=(a+b+c)(b+c?a)(c+a?b)(a+b?c)/16=[(b+c)+a]?[(b+c)?a]?[a?(b?c)]?[a+(b?c)]/16=[(b+c)2?a2]?[a2?(b?c)2]/16=[2b c+(b2+c2?a2)]?[2bc?(b2+c2?a2)]/16=[4b2c2?(b2+c2?a2)2]/16=(2a2b2+2… 相似文献
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一、选择题(共6个小题,每小题5分)一(D)12以1.计算 仪(a一b)(a一c) b二,丁,-戈尸丁二------r十Lb一c八白一改)(C)1000 A(c一a)(c一丽的结果是(2a(a一b)(a一c) 2b(a一b)(b一c) 2c(a一c)(b一e)A) B)C) (D)02.已知四边形四条边的长分别是n;、n、p、q, 且满足mZ+nZ+PZ+92=2。:n+ZPq,则 这个四边形是() (A)平行四边形 (B)对角线互相垂直的四边形 (C)平行四边形或对角线互相垂直的四 边形 (D)对角线相等的四边形3.向高为10cm的容器注水,注满为止.若注水 量V(cnl子)与水深h(cm)之间的函数关系 的图象大致如图,则这个容器是() 第5题图第6题… 相似文献
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1 竞赛题的简证双圆四边形的面积等于四边连乘积的平方根.(1982,上海市数学竞赛)证设 a、b、c、d、p,△分别表示双圆四边形的边.半周长及面积.∵四边形是圆外切四边形. 相似文献
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在△ ABC中 ,角 A,B,C所对的边分别为 a,b,c,S是△ ABC的面积 ,由半角公式tan α2 =1 - cosαsinα 及余弦定理易得一组正切公式 :tan A2 =a2 - ( b- c) 24 S ,tan B2 =b2 - ( c- a) 24 S ,tan C2 =c2 - ( a- b) 24 S .由余弦定理可得一组余切公式 :cot A=b2 + c2 - a24 S ,cot B=c2 + a2 - b24 S ,cot C=a2 + b2 - c24 S .这两组公式结构对称 ,易于记忆 ,作用类似于正弦定理、余弦定理 ,用于解一些三角题可达到事半功倍的效果 .本文精选几例 ,以飨读者 .例 1 设 a,b,c是三角形的三条边 ,α,β,γ是这三条边的对角 ,如果 a2 + b2 … 相似文献
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三角形三条边长之间的关系,即"三角形的任意两边之和大于第三边;三角形的任意两边之差小于第三边"是三角形的重要性质.有的同学会认为,只要三条线段的长度a、b、c满足条件a+b＞c并且a-b＜c,那它们就可以组成一个三角形. 相似文献
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沈根银 《中学数学研究(江西师大)》2002,(7):18-19
本文将三角形面积的海伦-秦九韶公式S=(√p(p-a)(p-b)(p-c))(a,b,c为△ABC的三边长,p为半周长,p=a+b+c/2)推广到四边形中,并给出其应用. 相似文献
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吴佑华 《数理天地(高中版)》2005,(1)
1.概念不清,不恰当的类比 例1 若向量a,b,c满足a∥b且b∥c,则向量a,c的位置关系是( ) (A)同向. (B)反向. (C)平行. (D)以上都不对. 错解 因为a∥c.选(C). 分析 对于不重合的三条直线a,6,c满足a∥b且b∥c,则a∥c,但在平面向量中却不一定成立.事实上,若向量b=0,由于零向量与任意向量都是平行向量,则a与c不一定平行.故选(D). 相似文献
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第 6届 IMO第 2题是设 a,b,c是△ ABC的三边长 ,求证a2 (b + c -a) + b2 (c + a -b) + c2 (a +b -c)≤ 3 abc (1)受启发 ,本文得到 (2 )式的如下对偶形式定理 1 设 a,b,c,r是△ ABC的三边长及内切圆半径 ,则有a2 (b + c -a) + b2 (c + a -b) + c2 (a +b -c)≥ 12 r(a + b + c) (2 )证明 :记 p =12 (a + b + c) ,R为△ ABC的外接圆半径 ,S为△ ABC的面积 ,由海伦公式 S = p (p -a) (p -b) (p -c) =rpabc =4RS =4Rrp得左边 =2 a2 (p -a) + 2 b2 (p -b) +2 c2 (p -c)≥2× 3 3 a2 b2 c2 (p -a) (p -b) (p -c) =63 16R2 r2 p2 .r2 p =… 相似文献
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1．人教A版选修2—1P98A组第11题已知向量a,b,c是空间的一个单位正交基底,向量a＋b,a—b,C是空间的另一个基底,若向量P在基底a,b,c下的坐标为（1,2,3）,求P在基底a＋b,a—b,C下的坐标．教材指出“若e1,e2,e3为两两垂直的单位向量,且P=xe1＋ye2＋ze3,把x,y,x称做向量P在单位正交基底e1,e2,e3下的坐标,记作P=（z,Y,z）．”本题中a＋b,a—b,c显然不是单位正交基,什么是向量p在非标准正交基下的坐标？教材中并未涉及,学生更是不知道．《数学课程标准》也只要求“掌握空间向量的正交分解及其坐标运算”,而新教材中计算或证明等均是建立在标准正交基的基础之上． 相似文献
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问题 1 《数学教学》2 0 0 3年第 2期“数学问题与解答”栏目中的第 5 80题为设a、b、c为△ABC的三边 ,求证 :a2a +b -c+b2b +c -a+c2c+a -b≥ 32 .①笔者试图探索这个新颖不等式的上界 ,得出问题 1 .1 设a ,b,c为△ABC的三边 ,求证 :a2a +b -c+b2b +c -a+c2c+a -b<73 .②综合不等式①、②得问题 1 .2 设a ,b,c为△ABC的三边 ,求证 :32 ≤ a2a +b -c+b2b +c -a+c2c+a -b<73 .③为了证明不等式③ ,笔者首先想到了它的类似 :问题 1 .3 设x ,y ,z为任意正实数 ,求证 :xy +z+yz +x+zx +y≥ 32 .④于是 ,联想到 :能否将不等式③转化为三… 相似文献
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《信阳师范学院学报(哲学社会科学版)》1981,(1)
设a、b、c为任意给定的三个向量,则a×(b×c)也是一个向量,称为二重向量积.空间解折几何中证明了二重向量积公式a×(b×c)=(a·c)b-(a·b)c它的证明方法很多,一般都用解析法,即建立适当的坐标系,通过计算来证明的.本文试图 相似文献
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《中学数学教学》2018,(1)
<正>1问题背景1967年,H.W.Guggenheimer建立了如下不等式,我们称之为Guggenheimer不等式.定理A[1]P是△ABC中任意一点,a、b、c是三角形三边,则有PA+PB+PC相似文献
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初学平面向量这部分内容时,同学们常常会出现各种错误.现列举几种常见错误,供大家辨析.一、两向量夹角的意义不清例1△ABC三边长均为2,且BC=a,CA=b,AB=c,求a.b+b.c+c.a的值.错解:∵△ABC三边长均为2,∴∠A=∠B=∠C=60°,|a|=|b|=|c|=2.∴a.b=|a|.|b|cosC=2,同理可得b.c=c.a=2,∴a.b+b.c+c.a=6.图1评析:这里误认为a与b的夹角为∠BCA,两向量的夹角应为平面上同一起点表示向量的两条有向线段间的夹角,范围是[0,π].因此a与b的夹角应为π-∠BCA.正解:如图1,作CD=BC,a与b即向量BC与CA的夹角为180°-∠BCA=120°.∴a.b=|a|.|b|cos12… 相似文献