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第 42届IMO第五题是 :在△ABC中 ,AP平分∠BAC ,交BC于P ,BQ平分∠ABC ,交CA于Q .已知∠BAC =60° ,且AB +BP =AQ +QB .问△ABC各角的度数的可能值是多少 ?先求解 ,再给出更一般的结论 .图 1解 :如图 1,在AB的延长线上取点D ,使得BD =BP ;在AQ的延长线上取点E ,使得QE =QB .连结PD、PE ,则AD =AB +BP =AQ +QB =AE ,且 △ADP∽△AEP .故∠AEP =∠ADP =12 ∠ABC =∠QBC ,即 ∠QEP =∠QBP .下面的证明中要用到如下的引理 .引理 等腰△ABC中 ,AB =AC ,平面内一点P满足∠ABP =∠ACP ,则点P在BC的… 相似文献
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张锦琴 《山西教育(综合版)》2001,(2)
1.巧构全等三角形证线段相等例 1.已知 ,如图 ,AB=DE,直线 AE、BD相关于点 O,∠ B与∠ D互补。 求证 :AO=ED。证明 :过点 A作 AC∥ DE交 BD于 C,则∠ D=∠ 2。∵∠ 1 ∠ 2 =180°,∠ B ∠ D=180°,∴∠ 1=∠ B,∴ AB=AC,∴ AB=DE=CA。在△ ACO和△ EDO中 ,∠ AOC=∠ EOD,∠ 2=∠ D,AC=DE;∴△ ACO △ EDO( AAS) ,∴ AO=ED。2 .巧构全等三角形证角相等例 2 .已知等边△ ABC的边长为 a,在 BC的延长线上取一点 D,使 CD=b,在 BA延长线上取一点 E,使 AE=a b。求证 :∠ ECD=∠ EDC。证明 :过 E作 EF∥ AC… 相似文献
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点P的位置 ,折痕为BQ ,连结PQ .( 1 )求MP的长 ;( 2 )求证 :以PQ为边长的正方形的面积等于13.( 1 996 ,宁夏回族自治区中考题 )分析 :( 1 )连结BP、PC .MN是正方形对折的折痕 ,BP =PC .又点C和点P关于BQ折痕成轴对称 ,则BQ垂直平分PC ,有BP =BC ,∠ 1 =∠ 2 .故BP =PC =BC =1 ,△PBC是等边三角形 ,即∠ 1 =∠ 2 =30°.在Rt△BNP中 ,PN =BP2 -BN2=1 - 122 =32 .故MP =MN -PN =1 - 32 .( 2 )通过折叠不难得到PQ =QC ,∠ 1 =∠ 2 .图 4在Rt△QCB中 ,QC =BC·tan 30° =33.故以PQ为边长的正方形面积是 332=13.4 两… 相似文献
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探索是数学发现的先导,培养创新精神和创造能力是素质教育的重点.所以,重视探索数学问题的研究和解题实践,是数学发展的需要,是创造型人才成长的需要.一、给定条件,寻求相应的结论例1(1)读题画图,直线l切圆O于点C,AD为圆O的任意一条直径,点B在直线l上,且∠BAC=∠CAD.(2)在题(1)所画图形中,试判断四边形ABCO是怎样的特殊四边形,并证明你的结论.解:(1)见图1.(2)当AD不平行于l时,如图1所示.因为∠BAG=∠CAD,∠CAD=∠ACO,所以∠BAC=∠ACO,故AB//OC,因为∠ABC=∠BCO=90°,所以四边形4BCO为直角梯形.当AD平行于l如图2所示.容易得出,四边形 相似文献
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当几何问题中出现“角平分线”时,我们常常构造全等对称图形来解,而全等对称图形实际上可以看作沿角平分线“折叠”.因此,直接用“折叠法”解决角平分线问题,有时更有效、更简捷.例1如图2,AD为ABC中∠A的平分线,AB>AC,P为AD上一点,求分证析:AB-AC>PB-PC.题中含有AD为ABC中∠A的平分线,因此可沿角平分线AD折叠ABP,得到全等对称图形AB′P.于是可在此三角形中讨论线段大小.证明延长AC到B′,使AB′=AB,连接PB′.在BAP和B′AP中,AB=AB′,∠BAP=∠B′AP,AP=AP,∴BAP≌B′AP,∴PB=PB′.在PB′C中,B′C>PB′-PC.… 相似文献
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陈德前 《初中生世界(初三物理版)》2004,(26)
初中《几何》中有这样一个基本图形:如图1,D是AB上一点,E是AC上一点,BE、CD相交于点F.由这个基本图形我们可以得到这样的结论:∠BFC=∠B ∠A ∠C.证明这一结论成立的方法很多,现给出两种常见方法:方法一:连结AF并延长到M,则有∠BFM=∠B ∠BAM,∠CFM=∠C ∠CAM,∴∠BFC=∠BFM ∠CFM=∠B ∠BAC ∠C.方法二:由∠BFC=∠B ∠BDC,∠BDC=∠A ∠C,有∠BFC=∠B ∠A ∠C.图1及上述结论在解题中有着广泛的应用.现举几例说明.例1如图2,求∠A ∠B ∠C ∠D ∠E的度数.解:如图2,设BD与CE交于点F,由本文中基本图形导出的结论… 相似文献
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苏科版教材八上第38页第9题：如图（1）,点A、B在直线1同侧,点B’是点B关于1的对称点,AB’交1于点P．
（1）AB’与AP＋PB相等吗？为什么？
（2）在l上再取一点Q,并连接AQ和QB,比较AQ＋BQ与AP＋PB的大小,并说明理由． 相似文献
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<正>题目(2013年绍兴市)如图1,抛物线y=(x-3)(x+1)与x轴交于A,B两点(点A在点B左侧),与y轴交于点C,点D为顶点.(1)求点B及点D的坐标;(2)连结BD,CD,抛物线的对称轴与x轴交于点E.①若线段BD上一点P,使∠DCP=∠BDE,求点P的坐标;②若抛物线上一点M,作MN⊥CD,交直线CD于点N,使∠CMN=∠BDE,求点M的坐标. 相似文献
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陈令高 《中学课程辅导(初一版)》2006,(Z1)
平行线性质定理的内容是两直线平行,同位角相等、内错角相等、同旁内角互补.要正确运用这一定理,其前提是两直线平行,且被第三条直线所截,然后才能根据角的位置去判定运用,当前提条件不符合时,就要想办法创造条件.现举一例:如图:AB∥CD.求证:∠BED=∠B ∠D.证法一:如图1,过E作EF∥AB,则EF∥CD,则∠B=∠BEF,∠D=∠DEF,即∠BED=∠B ∠D.证法二:如图2,过E作EF∥AB,则EF∥CD,则∠BEF=180°-∠B,∠DEF=180°-∠D,∴∠BED=360°-(∠BEF ∠DEF)=∠B ∠D.即∠BED=∠B ∠D.证法三:如图3,延长DE交AB于F,则∠BFE=∠D,∠B… 相似文献
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殷志存 《数理天地(初中版)》2002,(12)
02年初中联赛试题第2试A卷第2题: 如图,等腰△ABC中,P为底边BC上任意一点,过P作两腰的平行线分别与AB、AC相交于Q、R两点,又P’是关于直线RQ的对称点,证明:△P’QB∽△P’RC. 证明由对称性,知∠P’RQ=∠PRQ=a, 相似文献
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如图1,O是线段AC、BD的交点,连结AB、CD.△AOB与△DOC成“蝶形”,则∠A ∠B AOB=∠C ∠D ∠DOC=180°,而∠AOB=∠DOC,故A∠ ∠B=∠C ∠D.利用此等量关系,可以简便地求角的度数. 相似文献
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在数学课上,杨老师出了一个练习题.例1如图1,已知∠B=∠C=30°,∠A=40°,求∠D(图1中所示的钝角)的度数.小毛第一个举手发言:“连结B、C,如图2.因为△ABC的内角和为180°,所以∠DBC+∠DCB=180°-30°×2-40°=80°;又因为△DBC的内角和为180°,所以∠D=180°-∠DBC-∠DCB=180°-80°=100°”.杨老师微笑着点了点头,表示赞同,又问:“还有什么解法?”聪明的小倪举手.“延长BD交AC于E,如图3,因为∠BDC=∠C+∠CED,∠CED=∠A+∠B,所以∠D=∠C+∠A+∠B=100°”.小倪答完,同学们不禁鼓掌,杨老师摸着下巴不住地点头小侯在旁边不… 相似文献
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<正>我们在学习"全等三角形"时,常会遇到这样的一个基本图形:如图1,等边ABC与等边DCE,在直线BE同一侧,连结BD,AE,交于F点.则易证BCD≌ACE.%CE N DF M B A图1现在的问题是,我们由此还能得到其它结论吗?设BD,AC交于M点,AE,DC交于N点,我们可以得到如下结论:结论一∠DBC=∠EAC,∠BDC=∠AEC,BD=AE. 相似文献
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旋转是图形的一种重要变换.在实际解题中,若我们能恰当地运用图形的旋转变换,往往能起到集中条件、开阔思路、化难为易的效果.请看下面几例.图1例1 如图1,将长方形ABCD绕点A逆时针旋转90°后得到新长方形AEFG,试求∠FAC的度数.解析 根据图形旋转的特征,可知∠ACD=∠GFA,又AE∥FG,所以∠GFA=∠FAE,所以∠FAE=∠ACD.在△ACD中,由∠ACD+∠CAD=90°,所以∠FAC=∠FAE+∠CAD=∠ACD+∠CAD=90°.例2 如图2,分别以正方形ABCD的边AB,AD为直径画半圆,若正方形的边长为a,求阴影部分的面积.图2 图3 … 相似文献
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顶角为 80°的等腰三角形 ,虽然图形简单 ,但用它构造的一批习题却新颖 ,且解法巧妙 .现将相关命题介绍如下 ,供参考 .例 1 如图 1 ,在△ ABC中 ,AB=AC,∠ A=80°,P为△ ABC形内一点 ,使∠ PBC= 1 0°,∠ PCB=2 0°,试求∠CAP的度数 .图 1解 作 P关于AC的对称点 D,由∠PCA =30°知△ PCD为正三角形 ,且 AP=AD.又∠ BPC =1 5 0°,∠BPD =36 0°-∠ BPC-∠CPD=36 0°- 1 5 0°- 6 0°=1 5 0°,∴△ BPD≌△ BPC,∠ CBD=2∠ PBC= 2 0°且 BC=BD,故∠BDC=12 (1 80°-2 0°) =80°=∠ BAC.∴ B,A,D,C四点共圆 .… 相似文献
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李殿起 《中学课程辅导(初一版)》2006,(1):37-40,58
一、精心选一选(每小题3分,共36分)1.下列关于对顶角的说法,正确的是()A.有公共顶点并且相等的两个角B.有公共顶点的两个角C.角的两边互为反向延长线的两个角D.两直线相交所成的两个角2.如图1,直线AB、CD、EF相交于点O,且AB⊥CD,垂足为点O,若∠BOE=70°,则∠DOF的度数()A.10°B.20°C.30°D.70°3.如图2,已知点O为直线AB上一点,∠BOD=∠COE=90°,则下列各式错误的是()A.∠AOC=∠DOE B.∠COD=∠BOEC.∠AOD=∠BOD D.∠BOE=∠AOC4.如图3,直线a、b都与直线c相交,给出下列条件:①∠1=∠2;②∠3=∠6;③∠4 ∠7=180°;∠… 相似文献
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吴健 《中学课程辅导(初二版)》2006,(9):21-21
与角平分线有关的几何问题在各类考试(竞赛和中考)中屡见不鲜,解决这类问题时,若能通过巧添辅助线构造全等三角形常可使问题化难为易.例1如图,在△ABC中,∠BAC的平分线交BC于D,AC=AB BD,∠C=30°,则∠ABC的度数是(江苏省初中数学竞赛题)()A.45°B.60°C.75°D.90°解:延长AB到E,使AE=AC,连接DE,∵∠1=∠2,AD=AD,∴△AED≌△ACD(SAS).∴∠E=∠C=30°.又AE=AB BE,AC=AB BD,∴BE=BD.从而∠3=∠E.∴∠ABC=2∠E=60°.故选:B.反思:若在AC上截取AF=AB,同学们考虑怎样证明?例2如图,已知在△ABC中,AB>AC,AD为∠A的… 相似文献
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例题如图1,⊙O1与⊙O2外切于点P,两圆半径分别为R1,R2,且R1>R2,AB是两圆的外公切线,A,B为切点,AB与O1O2的延长线相交于点C,在AP的延长线上有一点E满足条件:AP∶AB=AC∶AE,求证:(Ⅰ)AC⊥EC;(Ⅱ)PC=EC.图11分析证明,串联基础知识分析(Ⅰ)连PB,O1A,O2B,由AP∶AB=AC∶AE,易知△APB∽△ACE.而要证AC⊥EC,只需证∠ACE=90°.因此,证题关键是证∠APB=90°,故只需证∠2 ∠3=90°.而∠2=∠1=90°-21∠AO1P,∠3=∠4=90°-21∠BO2P,又∠AO1P ∠BO2P=180°,故∠2 ∠3=90°.获证.(Ⅱ)由(Ⅰ),易证∠CPE=∠1=∠E,从而PC=B… 相似文献
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我们把三角形一个角的顶点与对边上一点的连线叫做三角形的角分线 .角分线有如下性质 :定理 三角形角分线分对边的比等于两邻边与其相应分角正弦积的比 .下面给出该定理的证明 .已知 :如图 1 ,D点在△ ABC的 BC边上 ,AD为∠ A的角分线 .求证 :BDDC=ABsin∠ BADACsin∠ CAD.图 1证明 :过 B、C向角分线AD所在直线作垂线 ,E、F为垂足 ,则 BE =BAsin∠ BAD,CF =ACsin∠ CAD.因为∠ BED =∠ CFD= Rt∠ ,∠ BDE =∠ CDF,所以△ BED∽△ CFD.所以 BDDC=BECF=sin∠ BADACsin∠ CAD.很明显 ,当角分线分成等角时 ,si… 相似文献
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数学中有这样一类最短路径问题模型:在直线l的同侧有两个点A和B,怎样在直线l上找到一点P,使AP+BP的和最短(如图1).解决的办法都是先作一个点A(或点B)关于直线l的对称点A’,连接A’B交直线l于点P,则点P就是所 相似文献