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第31届IMO备选题中,有一道不等式证明的试题,我们把它表述为:命题2 设a、b、c、d为非负实数,且满足 ab bc cd da=1,则a~3/(b c d) b~3/(a c d) c~3/(a b d) d~3/(a b c)≥1/3综合条件与结论,就是:命题2 对于a、b、c、d∈R~ ,有a~3/(b c d) b~3/(a c c) c~3/(a b c) d~3(a b c)≥1/3(ab bc cd a).仔细研究,不难发现,命题2的雏形是常见的 相似文献
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从许多参考书上,可以看到如下一个重要不等式: 若a,b,c∈R~ ,则 2/(a b) 2/(b c) 2/(c a)≥9/(a b c)(1) 此不等式呈轮换对称形式,排列整齐,而且 相似文献
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命题1 (1963年莫斯科竞赛题)设a,b,c∈R_ ,求证:(a/(b c)) (b /(c a))=(c/(a b))≥(3/2)。 命题2 (第二届“友谊杯”国际数学竞赛题)设a,b,c∈R_ ,求证: (a~2/(b c)) (b~2 (c a)) (c~2 (a b)≥(a b c)/2。 对于这两个著名问题,许多数学前辈都给出了它们的巧思妙解。本文给出它们等价关系的一个简证。 相似文献
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一类三元分式不等式及其证明 总被引：1，自引：1，他引：0
宋庆 《中学数学研究(江西师大)》2008,(10)
本文旨在介绍几个新颖有趣的三元分式不等式,并给出它们的巧妙证明.例1已知a,b,c为满足abc=1的正数,求证:1/(2 a) 1/(2 b) 1/(2 c)≤1.证明:因bc ca ab≥3(abc)~(1/3)=3,故1-(1/(2 a) 1/(2 b) 1/(2 c)) =1-(bc ca ab 4(a b c) 12)/((2 a)(2 b)(2 c)) 相似文献
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李建潮 《河北理科教学研究》2013,(2):43-44
问题 已知a,b,c∈R+,求证:(√)2/b/(b+c)+(√)2b/(c+a)+(√)2c/(a+b)＞2.(1)本人曾研讨过以上问题(文[1]问题1)的加强,以下转换思维方式,从两个方面继续我们的探究. 相似文献
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设a、b、c、d是满足ab bc cd da=1的非负实数,求证:a~2/(b c d) b~2/(a c d) c~2/(a b d) d~2/(a b c)≥1/3.此题为第31届I MO由泰国提供的予选题.文〔1〕~〔3〕已给出不同证明方法;文〔12〕予以推广.本文再给出新的证明方法及再推广.为行文方便,记A=b ac3 d b3a c d a cb3 d a 相似文献
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有关证明条件等式的代数题,是一类综合性比较强的题目,如果能让学生掌握其各种不同的证明方法,对于培养他们的逻辑思维能力和熟练的技能技巧都是大有益处的。下面介绍几种证明条件等式的常用方法。一、将已知条件直接代入欲证等式例1 已知:x=(a-b)/(a b),y=(b-c)/(b c), z=(c-a)/(c a) 求证:(1 x)(1 y)(1 z) =(1-x)(1-y)(1-z) 证明:∵(1 x)(1 y)(1 z) =(1 (a-b)/(a b))(1 (b-c)/(b c))(1 (c-a)/(c a)) =2a/(a b)·2b/(b c)·2c/(c a) (1-x)(1-y)(1-z) =(1-(a-b)/(a b))(1-(b-c)/(b c))(1-(c-a)/(c a)) =2b/(a b)·2c/(b c)·2a/(c a) ∴ (1 x)(1 y)(1 z)=(1-x)(1-y)(1-z) 二、通过已知条件之间的相互变换,得出求证式。例2.设x=by cz,y=cz ax,z=ax by 试证:(a 1)x=(b 1)y=(c 1)z 相似文献
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刘雪英 《数理天地(高中版)》2006,(5)
有一类分式不等式的证明在数学竞赛中经常出现,它的特点是不等式的一边各项形如 a2/(a±b)、a2/(b±c)、a/(a±b)或a/(b±c)的式子,通过构造向量并利用|a|·|b|≥|a·b|,可得到这类分式不等式的简捷证法,且构造向量的方法思路单一,操作简便,现举例说明． 相似文献
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在比例中,合比定理即若a/b=c/d,则(a b)/b=(c d)/d,(1)但当a b≠0且c d≠0时,(1)还可写成: a/(a b)=c/c d 把(1)、(2)推广到不等式中,可得定理若a/b≥c/d,则 (a b)/b≥c d/d,(*) 若a/b≥c/d>0,则 a/(a b)≥c/(c d).(**) 证:∵a/b≥c/d, ∴a/b 1≥c/d 1, ∴(a b)/b≥(c d)/d。∵a/b≥c/d>0 ∴0相似文献
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一个不等式变形的应用 总被引：1，自引：0，他引：1
著名的Jacobsthal不等式定义为): 设x≥0,y≥0,对任意正整数n,则有x~n (n-1)y~n≥(nxy)~(n-1). 当y>0时,可变形为x~n/y~(n-1)≥nx-(n-1)y.(*) (*)式实际上也可看作一个降幂型不等式,从而看出对于一些次数较高的不等式,可以通过(*)式转化成低次来处理,下举例说明. 例1 设a,b,c为正数,求证: a~2/(b c) b~2/(c a) c~2/(a b)≥(a b c)/2. (第二届“友谊杯”国际数学邀请赛题) 证明 由(*)式,注意到 4a~2/(b c)=(2a)~2/(b c)≥2(2a)-(b c)=4a-b 相似文献
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邓军民 《中学数学教学参考》2006,(17)
1963年,一道经典的不等式题在莫斯科数学竞赛中应运而生,原题如下:设 a,b,c∈R+,求证:a/(b+c)+b/(c+a)+c/(a+b)≥3/2.①这个不等式的证法很多,下面笔者给出两个最简单的证明过程.证法1:要证原不等式成立,只须证 a/(b+c)+1+b/(c+a)+1+c/(a+b)+1≥9/2,即只须证[2(a+b+c)](1/(b+d)+1/(c+a)+1/(a+b))≥9,由柯西不等式易知上式显然成立,所以原不等式 相似文献
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丁兴春 《中学数学研究(江西师大)》2006,(12):47-48
2005年中国国家集训队测试试题第6题:设 a、b、c、d 是正实数,且满足 abcd=1,求证:1/(1 a)~2 1/(1 b)~2 1/(1 c)~2 1/(1 d)~2≥1.下面给出上面左边式子的上界估计,即有:1/(1 a)~2 1/(1 b)~2 1/(1 c)~2 1/(1 d)~2<3,其中上界3是最佳的不能再改进.先证一个引理: 相似文献
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不等式的证明是中学数学的一个难点,分式不等式的证明更为困难.本文提供了利用均值不等式配对证明一类分式不等式的思路. 一、如果不等式是形如sum form n to i=1 Ai2/Bi≥M的形式,且Ai,Bi(i=1,2,…,n),M均为正数,则可对Ai2/Bi配上Bi·P,成对利用均值不等式和不等式的基本性质证明. 例1 设a,b,c∈R+,求证:a2/(b+c)+b2/(c+a)+c2/(a+b)≥(a+b+c)/2. 证明:由a2/(b+c)+(b+c)/4≥a,b2/(c+a)+(c+a)/4≥b,c2/(a+b)+(a+b)/4≥c.上面三式相加得求证不等式. 相似文献
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一个不等式的再推广 总被引：1，自引：0，他引：1
问题 :已知 a,b,c∈ R~+,则 a/(b + c)+ b/(a + c)+ c/(a + b)≥ 3/2文 [1 ]将其推广为 :设△ ABC的三边为 a,b,c,若 -1 <λ<1时 ,aλa + b + c+ bλb + a + c+ cλc+ a + b≥3λ + 2 ( 1 )本文将 ( 1 )式推广为 :命题 1 已知 a,b,c∈ R+,若 -2 <λ≤1时 ,aλa + b + c+ bλb + a + c+ cλc+ a + b≥ 3λ + 2 ( 2 )若λ=1时 ,( 2 )式显然成立 ,若λ∈ ( -2 ,1 )时 ,令x =λa + b + cy =λb + a + cz =λc+ a + b a =( y + z) - (λ+ 1 ) x( 1 -λ) (λ + 2 )b =( x + z) - (λ + 1 ) y( 1 -λ) (λ + 2 )c=( x + y) - (λ+ 1 ) z( 1 -λ)… 相似文献
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我们对现行高中数学课本及《教学参考资料》中几处地方有异议,分类一一列出。 (一)课本上有六个题目条件欠充分。 (1)已知a、b、c成等比数列,m是a、b的等差中项,n是b、c的等差中项,求证a/m c/n=2。(代数甲种本第二册P43第4题) (2)已知a~2、b~2、c~2成等差数列,求证1/(b c),1/(c a),1/(a b)也成等差数列。(代数第二册P76第6题) 相似文献
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安振平 《数理天地(高中版)》2006,(11)
2006年4月26日举行的第23届巴尔干地区数学竞赛的第1题为：已知a,b,c∈R~ ,求证：1/(a(1 b)) 1/(b(1 c)) 1/(c(1 a))≥3/(1 abc)．推广已知a,b,c,λ∈R~ ,求证：1/(a(λ b)) 1/(b(λ c)) 1/(c(λa)) (?)(*) 相似文献
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高中代数不等式这一章,内容广泛,问题类型多变,方法多样,技巧性强,是教学上一个难点。我们在解决不等式问题的教学中,有针对性地精心设计题组,引导学生开展积极的思维活动,使他们掌握思想方法,培养思维能力。 例1 设a,b,c∈R~ ,求证: (1)(a b c)(1/a 1/b 1/c)≥9; (2)(a b c)(1/(a b) 1/(b c) 1/(c a))≥9/2 相似文献