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题目已知函数f(x)=lnx+kex(k为常数,e=2.71828…是自然对数的底数),曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与x轴平行.(Ⅰ)求k的值;(Ⅱ)求f(x)的单调区间;(Ⅲ)设g(x)=(x2+x)f′(x),其中f′(x)为f(x)的导函数.证明:对任意x>0,g(x)<1+e-2.本题是2012年山东高考数学理科试题函数问题压轴题,在知识上主要考查函数的定义域、单调性,导数、导数的几何意义,不等式的证明; 相似文献
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一、与函数、导数和方程的交汇例1已知函数f(x)=(1/3)x~3+(1/2)ax~2+bx,a,b∈R,f′(x)是函数f(x)的导数。若-1≤a≤1,-1≤b≤1,求函数f′(x)在R上有零点的概率。分析:函数f′(x)在R上有零点即要求x~2+ax+b=0有实数根,只需根据一元二次方程有实数根的条件得出相应的不等关系,画出 相似文献
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戴宏照 《中学数学研究(江西师大)》2008,(7)
2007高考广东卷理科压轴题已知函数f(x)=x~2 x-1,α,β是方程f(x)=0的两个根(α>β),f′(x)是f(x)的导数.设a_1=1,a_(n 1)=a_n-(f(a_n)/(f′(a_n)))(n=1,2,…). 相似文献
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苗银凤 《数学大世界(高中辅导)》2006,(5)
一、活用导数求极限【例1】求(1)li mx→0ex-1x(2)lix→m0sixnx解:(1)令f(x)=ex,则f′(x)=ex,f(0)=1∴li mx→0ex-1x=lix→m0f(x)x--0f(1)=f′(0)=1(2)li mx→0sinxx=lix→m0sinxx--0sin0=(sinx)′|x=0=1二、活用导数解决函数的单调性问题【例2】已知:函数f(x)=x2cosθ 2xsinθ 相似文献
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2019年全国卷Ⅰ文科数学卷第20题难度较大,题型较新颖,没有考查常规的一次型、二次型函数与指对数函数的结合,而是考查了三角函数和导数结合.这种题型对学生思维的广度和深度要求较高,注重了数学学科核心素养的考查,也为高三复习中教与学提供了良好的导向性.第(2)问涉及含参数的不等式恒成立问题,这类题型常出现在历年的高考题中,学生不易找到合适的解决问题的途径.题目如下:已知函数f(x)=2 sinx-xcosx-x,f′(x)为f(x)的导数. 相似文献
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在很多实际问题中 ,我们要面对各式各样的最值问题 ,利用三角函数的最值 ,如正、余弦函数y=Asinx ,y =Acosx的有界性 ,数学中的均值不等式 ,函数的单调性等知识结合起来 ,常常能使问题化腐朽为神奇 ,在解题的思路、技巧上 ,有章可依、有规可寻 ,使问题得到快速、圆满的解决 现举数例加以说明 :例 1:设f (x) =2sinxcosx 52sinx cosx ,x∈ [0 ,π2 ],(1) ,求f (π12 ) ,(2 )求f (x)的最小值 例 2 :求f (θ) 4sinθcosθ - 1sinθ cosθ 1,θ∈ [0 ,π2 ]的最值 上两例是典型的三角函数最值应用题 ,其思路可能是利用正、余弦函数的有界性 |sinx|≤ 1,|cosx|≤ 1或利用均值不等式、或利用函数的单调性 ,经过适当三角变换 ,使问题得到解决 例 1求解如下 :f (x) =2sinxcosx 52sinx cosx =sin2x 522sin (x π4 ),当x =π12 时 ,f (π12 ) =sin π6 522sin π3=6 注意f (x) =1 2s... 相似文献
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《中学生数理化(高中版)》2017,(12)
<正>高考中经常把导数作为压轴题出现,其难度是显而易见的。那么怎么来处理这种高难度的导数题呢?下面就来对此类题的解法作一个探究。1.根据函数的单调性巧设自变量例1已知f(x)是定义在(0,+∞)上的单调函数,且_x∈(0,+∞),都有f[f(x)-log2x]=3,则方程f(x)-f′(x)=2的实数解所在的区间是()。 相似文献
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王安文 《数学大世界(高中辅导)》2004,(5):19-20
从近几年全国高考新课程试卷来看 ,利用导数的相关知识来分析和解决问题已成为高考命题的一个热点 .以下举例说明导数法的基本应用 .一、研究函数的单调区间【例 1】 ( 2 0 0 3年高考新课程卷 )设a>0 ,求函数f(x) =x-ln(x +a) (x∈ ( 0 ,+∞ ) )的单调区间 .分析 :f′(x) =12x-1x+a(x >0 ) ,当a >0 ,x>0时 ,f′(x) >0 x2 + ( 2a-4 )x +a2 >0f′(x) <0 x2 + ( 2a -4 )x+a2 <0( 1 )当a >1时 ,对所有x>0都有f′(x)>0 ,此时f(x)在 ( 0 ,+∞ )上单调递增 .( 2 )当a =1时 ,对x≠ 1 ,有f′(x) >0 ,f(x)在 ( 0 ,1 )内单调递增 ,在 ( 1 ,+∞ )内… 相似文献
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导数是新课标下的新增内容.导数的工具性拓展了导数的学习与研究空间,除了应用导数解决函数的单调性、最值外,在求函数的值域、证明不等式、距离等方面都有广泛的应用,在高考复习时要重视.一、应用导数的定义求函数的极限【例1】已知f(x)=lnx,求极限limx→1f(x)-f(1)x-1的值.解:∵f(x)=lnx,f′(x)=1x,∴limx→1f(x)-1x-1=f′(1)=1.点评:导数定义的等价形式为f′(x0)=limΔx→0f(x0+Δx)-f(x0)Δx=limx→x0f(x)-f(x0)x-x0.二、应用导数的工具性求函数的单调区间、最值及值域【例2】求函数f(x)=xcosx-sinx(x≥0)的单调递增区间.解:f′(x)=-xsi… 相似文献
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函数 y=f(x)在 x=x_0处有极值,则它的导数 f′(x)在这点的函数值为零,即 f′(x_0)=0,反过来,函数 y=f(x)的导数在某点的函数值为零时,这点却不一定是函数的极值点.因此,我们必须具体问题具体分析.例1 已知 b>-1,c>0,函数 f(x)=x b 的图象与函数 g(x)=x~2 bx c 的图像相切.(1)求 b 与 c 的关系(用 c 表示 b)(2)设函数 F(x)=f(x)g(x)在(-∞, ∞)内有极值点,求 c 的取值范围.分析:(1)(略);(2)函数 F(x)=f(x)·g(x)在(-∞, ∞)内有极值点,即存在 x_0使F′(x_0)=0,亦即一元二次方程 F′(x)=0有实 相似文献
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一、对数求导法新编教材高中第三册 (选修 )中有对数函数的导数公式 :(lnx)′= 1x,(logax)′= 1xlogae,当函数 f(x)蕴含的运算关系复杂时 ,可用对数求导法求 f′(x).例1 f(x)= 3 (x+2)2(3x-2),求f′(x).解 :lnf(x)= 23ln(x+2) +13ln(3x-2) 1f(x)·f′(x)= 23· 1x+2+13· 33x-2= 9x+23(x+2)(3x-2) f′(x)= 3(x+2)2(3x-2)·9x+23(x+2)(3x-2)= 9x+23· 3 (x+2)(3x-2)2解法中的疑惑是 :两边取对数后 ,定义域发生了改变.如何理解 ?为了释疑 ,先解决函数y=loga｜x｜的求导问题.例2函数 y=loga｜x｜ ,求 y′.解 :由例2,对数函数的导数公式可扩展为… 相似文献
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文 1、文 2分别利用图象法和均值代换法解决了一类在给定条件下三角函数取值范围问题 .本文利用函数的单调性来解决这类问题 (下面的例子都是文 1、2中的例题 ,以后不再说明 ) .例 1 已知 sin x+ 2 cos y=2 ,求 2 sin x+ cos y的取值范围 .解 由条件得 sin x=2 ( 1 - cos y) ,1∴ 2 sin x+ cos y=4 - 3cos y,2由 1 ,有 2 | ( 1 - cos y) | =| sin x|≤ 1 ,∴ 12 ≤cos y≤ 32 .又 | cos y|≤ 1 ,∴ 12 ≤cos y≤ 1 . 3令 t=cos y,则由 2 ,3有2 sin x+ cos y=4 - 3t,其中 t∈ [12 ,1 ].令 f( t) =4 - 3t ( 12 ≤ t≤ 1 ) .易知 f( t)在 [12… 相似文献
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《中学数学教学参考》2007,(17)
1.(安徽卷,文7)图1中的图象所表示的函数的解析式为( ).A.y=3/2|x-1|(0≤x≤2)B.y=3/2-3/2|x-1|(0≤x≤2)c.y=3/2-|x-1|(0≤x≤2)D.y=1-|x-1|(0≤x≤2)解答途径:将点(1,3/2)与(2,0)代入,选项 A、选项 C、选项 D 均不适合,选项 B 适合.故选 B.解题感悟:用特殊点法解答此题不失为一种好的方法.教学中应强化符号语言、图形语言、文字语言之间的相互转换.本题就是一个图形转换成符号的问题。2.(江苏卷,9)已知二次函数 f(x)=ax~2 bx c的导数为 f′(x),f′(0)>0,对于任意实数 x,有 f(x)≥0,则 f(1)/f′(0)的最小值为( ).A.3 B.5/2 C.2 D.3/2 相似文献
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导数是高等数学的重要概念之一,它是研究可导函数的重要工具.在研究函数的单调性、极值、曲线的切线等方面都有它的一席之地.本文拟通过实例来剖析导数在初等数学中的一些应用.1 研究函数的单调性 利用导数研究函数的单调性,主要是根据下列结论:“设函数 y = f (x) 在某个区间内可导,若 f ′(x) > 0 ,则 f (x) 在此区间内为增函数;若 f ′(x) < 0 ,则 f (x) 在此区间内为减函数”.其一般步骤为:(1)求出导函数 f ′(x) ;(2)令 f ′(x) > 0 ,求出其解集,即为 f (x) 的单调递增区间;令 f ′(x) < 0 ,求出其解集,即 f (x) 的单调递减区间. … 相似文献
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导数在研究函数单调性中的应用和延伸 总被引：1，自引：0，他引：1
耿敏志 《中学数学教学参考》2003,(10):31-32
“导数与微分”这部分内容 ,是高中数学新教材试验修订本第三册选修本新增内容 .它为研究函数的性质 (特别是函数的单调性 )提供了强有力的工具 ,具有广义的作用 ,教学大纲对于该部分内容突出一个“用”字 .即会用导数与微分概念公式及相关知识解决有关函数单调性和最值问题 ,本文例谈导数在研究函数单调性时的应用 .利用导数 ,函数的单调性判别法则为 :在区间B上 ,若 f′(x) >0 ,则 f(x)在B上是增函数 ;若 f′(x)<0 ,则 f(x)在B上是减函数 .反之 ,若 f(x)在B内可导 ,那么若 f(x)在B上是增 (减 )函数 ,一定有f′(x) ≥ 0 (≤ 0 ) .例 1 … 相似文献
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三角是初等数学的重要组成部分 ,三角函数独特的性质 (如定义域、有界性、周期性等 ) ,以及三角函数众多的公式 ,使解决三角问题的条件较一般的代数问题更趋于隐蔽 ,解题的过程有更多陷井 ,解题的思维更需慎密 ,本文通过挖掘三角问题的隐含条件 ,揭示其隐含方式 ,展示其隐含真面目 ,从而走出易陷的误区 ,寻找正确的解决方法 .一、隐含于函数的定义域中例 1 判断函数 f ( x) =1+sin x - cos x1+sin x +cos x的奇偶性 .不少学生认为 :∵ f ( x) =2 sin x2 ( sin x2 +cos x2 )2 cos x2 ( sin x2 +cos x2 )=tan x2 ,∴ f ( - x) =tan ( - x2 ) … 相似文献
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1 利用"错题"展现,促使数学概念的正确建构 错题1 已知f(sinx)=sin2x,则f(cosx)等于( ). A.sin2x B.-sin2x C.±sin2x D.cos2x 相似文献
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导数是解决函数问题的有力工具,更为数学解题注入了新的活力.由于数列可看作特殊的函数,所以自然可联想、尝试、应用导数知识解决数列问题.1利用导数确定数列的最大或最小项例1已知数列{an}的通项an=8n2-n3,n∈N*,求数列{an}的最大项.解构造辅助函数f(x)=8x2-x3(x>0),则f′(x)= 相似文献