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在三角函数的条件不等式中,常见的一种条件是不等式中含有三角形三个内角的函数。这类问题有些实质上是多元函数的条件极值问题,数学刊物上已载文不少。本文试用中学数学知识给出几个定理加以解答。定理1 如果锐角α_1和α_2之和为定值A,那末下列不等式成立① sinα_1·sinα_2≤sin~2 1/2 A; ② sinα_1+sinα_2≤2sin 1/2 A; ③ cosα_1·cosα_2≤cos~2 1/2 A; ④ cosα_1+cosα_2≤2cos 1/2 A; 相似文献
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(一) 我们知道,方程z~n-1=0(n是自然数)有n个复根α_0,α_1,……,α_(n-1),其中α_k=cos2k/nπ+isin2k/nπ(k=0,1,2…,n-1),根据一元n次方程的韦达定理,有α_0+α_1+α_2+…+α_(n-1) 相似文献
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本文对《几个三角公式及其应用》(“数学通讯”,5,1981)一文的定理1,2作出一个简化证明。原文定理1 设等差数列α_1,α_2,…,α_n的公差为d,则 sum from k=1 to n sinα_k=sin(α_1+n-1/2d)sinn/2d/sind/2 原文定理2 设等差数列α_1,α_2,…,α_n的公差为d,则 sum from k=1 to n cosα_k=cos(α_1+n-1/2-d)sinn/2d/sind/2。证明考虑公式 f(π/2±α)·sinβ=1/2[f(α+β)-f(α-β)]。(1)其中f代表正弦或余弦。若f代表正弦,则左边第一个因式中的α前面取负号,反之取正号。此(1)式是三角函数积化为和公式中某两个公式的综合表 相似文献
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张广学 《中学数学教学参考》2006,(7)
定理1 设α_1,α_2,…,α_n∈[2kπ,(2k+1)π],其中 k 取自然数,α_1+α_2+…+α_n=θ(θ为定值),则 sin α_1+sin α_2+…+sin α_n≤nsin θ/n,当且仅当α_1=α_2=……α_n=θ/n 时等号成立(其中 n≥2).证明:采用数学归纳法.①当 n=2时,sin α_1+sin α_2=2sin((α_1+α_2)/2)cos((α_1-α_2)/2)=2sin(θ/2)cos((α_1-α_2)/2)≤2sin(θ/2).②假设 n=m 时命题成立(这里的 m 是大于2的自然数), 相似文献
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李敏霞 《无锡教育学院学报》1998,(4)
在平均值不等式中,“几何平均值G_n≤算术平均值A_n”的应用较广,其证明方法也被人们研究较深,在不同的知识阶段有不同的证法。现介绍如下。 定理 若α_i>0,i=1,2…,n,n>1,A_n=(α_1 α_2 … α_n)/n,G_n=(α_1α_2…α_n)~(1/n)则A_n≥G_n,其中等号当且仅当α_1=α_2=…=α_n时成立。 相似文献
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众所周知,在三角形中有正弦定理、余弦定理、射影定理,它们揭示了三角形中边角间的重要关系.这三个定理联系紧密,并可互相推出.在四面体中,也有类似的三个定理,它们表示了面角与二面角之间的关系,当然也可彼此互推. 在四面体O-ABC中,设三个面角分别为α、β、γ,对应的二面角分别为θ-α、θ-β、θ-γ,（如图1）则有 定理1 cosα=cosβ·cosγ sinβ·sinγ·cosθ_α cosβ=cosα·cosγ sinα·sinγ·cosθ_β cosγ=cosα·cosβ sinα·sinβ·cosθ_γ 证明 利用有关射影的定理:（1）平面上折线的各边射影之和等于封闭线段在射影轴上的射影.（2）直线在轴上的垂直投影等于被投线段的长度乘以该线段和轴的交角的余弦. 相似文献
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关于整系数不可约多项武的判别,有着著名的定理1(Eisenstein判别法).设 f(x)=α_0 α_1x …α_nx~n是一个整系数多项式,若是能够找到一个素数p,使得 相似文献
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昔秀峰 《喀什师范学院学报》1988,(3)
设S是一个以α_1,α_2,…,α_n为元的n集,且M(S)=(S_1,S_2,…,S_m)是S的子集所成的一样本,现今则 A=[α_(ij)](i=1,2,…m) j=1,2,…,n是m×n的(0,1)一矩阵,这个矩阵称为n-集之子集S_1,…,S_m的关联矩阵。在[1]中,有如下结论,我们写成: 定理:若将S的元和子集S_1,…,S_m重新编号,即S的元为α_(α1),α_(α2),α_(αn) 相似文献
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一九八五年上海市普通高等学校招生考试数学试题(理工农医类)第九题,题目是:在三棱锥P-ABC中,顶点P到BC,AC,AB的距离分别为h_1,h_2,h_3,二面角P-BC-A=α_1,P-AC-B=α_2,P-AB-C=α_3。α_1,α_2,α_3都是锐角,且依次成等差数列,h_1,h_2,h_3依次成等比数列。求证:α_1=α_2=α_3。此题初看是一个立体几何题目,但进一步分析,它却是涉及代数,三角,立体几何三方面知识的较复杂的综合题。解答这个题目,要用到立体几何中的二面角的平面角概念和三垂线定理(或逆定理),代数中的等差中项和等比中项,及三角中的直角三角形中边角关系和三角 相似文献
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第21届俄罗斯中学生数学竞赛(第四阶段)十一年级第5题:已知角α,β,γ满足不等式sinα sinβ sinγ≥2,证明:cosα cosβ cosγ≤5~(1/2).文[1]另辟蹊径,提供了一种简明直观的几何证法,并进一步推广得如下的:定理 设m∈R~ ,n∈N,n≥2,m≤n,角α_1,α_2,α_3,…,α_n满足不等式sinα_1 sinα_2 … sinα_n≥m,-(n~2-m~2)/(1/2)≤ 相似文献
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如图,AB 和 CD 是四面体 ABCD 的一双对棱。为叙述方便,我们约定:棱 AB 所在的二面角的平面角为θ1,∠ACB=α_1,∠ADB=3_1;棱 CD 所在的二面角的平面角为θ_2,∠CAD=α_2,∠CBD=β_2。在四面体 ABCD 中,如上所述的八个元素(两条棱、六个角)之间存在着十分密切的联系。本文揭示出其中的两个关系式,并简单介绍它们在解题中的实际应用。定理一四面体 ABCD 中,AB/(sinθ_1 sinα_1 sinβ_1)=CD/(sinθ_2 sinα_2 sinβ_2)。证明:如图,过四面体 ABCD 的顶点 相似文献
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高中《立体几何》(必修本)P_(117)总复习参考题第3题.如图1,AB 和平面α所成的角为θ_1,AC在平面α内,AC 和 AB 的射影AB′成角θ_2,设∠BAC=θ.求证:cosθ_1·cosθ_2=cosθ.本题只要利用三垂线定理(或逆定理)便可证明.由此不难得到下面两个结论:(1)公式成立的充要条件为角θ_1,θ_2所在的 相似文献
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立体几何课本第117页有一道习题:如图1,AB和平面α所成角是θ_1,AC在平面α内,AC和AB的射影AB′成角θ_2,设∠BAC=θ,求证:cosθ_1·cosθ_2=cosθ(1)。此题证明并不难,利用三垂线定理和直角三角形中的边角关系,即可证得。值得指出的是可以引导学生从这个等式中学到更多的东 相似文献
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下面是立体几何中一个重要定理——三垂线定理:在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线的正射影垂直,那么它也和这条斜线垂直.如果把三垂线定理的条件一般化,我们可以得到如下命题:如图,AB 和平面α所成的角为θ_1,AC 在平面α内,AC 和 相似文献
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一、定理:已知二面角的平面角为φ,在二面角的棱上任取一点分别在两个半平面内作射线,两射线所成的角为θ,两射线与棱所成的锐角分别为θ_1和θ_2且θ_1,θ_2具有公共边,则有: cosθ=cosθ_1cosθ_2 sinθ_1sinθ_2cosφ。当φ=90°时,公式为cosθ=cosθ_1cosθ_2。证明: 如图,∠BAC=θ,∠BAO=θ_1,∠CAQ=θ_2,在PQ上任取一点D,在平面α和β内分别作BD⊥PQ交AB于B,作DC⊥PQ,交AC于C,连BC,则∠BDC=φ,并设AD=α, 相似文献
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∧i型集合的挖补定理——环的挖补定理的推广 总被引：1，自引：0，他引：1
周晓渝 《绵阳师范学院学报》1994,(Z2)
本文定义了∧_1型集合、∧_1型子集,给出了∧_1型集合的挖补定理,该定理是环的挖补定理在更广泛意义上的一种推广。 相似文献
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我们熟知两个数列恒等式1．α_1 (α_2-α_1) (α_3-α_2) … (α_n-α_(n-1))=α_n．2．α_1·α_2/α_1·α_3、α_2……α_n、α_(n-1)=α_n(α_n≠0)．笔者在教学中发现这两个恒等式在求数列通项及数列恒等式与不等式的证明中有着不可低估的作用．下面举例说明上述恒等式的应用． 相似文献
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用图象法证明一些不等式,方法是相当简洁的,中学生也易掌握。现举例介绍如下。例1.若α_1、α_2、α_3为△ABC的三个内角。则sinα_1 sinα_2 sinα_3≤3(3~(1/2))/2 证明:如图1,显然点A_i(α_i,sinα_i)在y=sinx的图象上,x∈(0,π),i=1,2,3。设G为△A_1A_2A_3的重心,则G是((α_1 α_2 α_3)/3,(sinα_1 sinα_2 sinα_3)/3)。过G作MN⊥x轴。因△A_1A_2A_3在图象下方,G当然也在下方,所以NG≤NM 即(sinα_1 sinα_2 sinα_3)/(?) 相似文献
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均值不等式:“设α_1、α_2、…α_n为n(n>1)个正数,则α_1+α_2+…+α_n≥n (α_1α_2…α_n)~(n/1);等号成立当且仅当α_1=α_2=…α_n”是一个应用比较广泛的不等式,许多外形与它截然不同的不等式的证明,常常能利用它顺得得到解决;不过需要有正确的思路和一定的技巧。本文旨在举例说明利用均值不等式证题的重要思路和技巧,供参考。 相似文献