2005年全国联赛解析几何题的向量解法     

马力仲 《中学数学月刊》2006,(2):49-49

2005年全国高中数学联赛第一试15题： 过抛物线y=x^2上的一点A（1，1）作抛物线的切线，分别交x轴于D，交y轴于B．点C在抛物线上，点E在线段AC上，满足AE/EC=λ1；点F在线段BC上，满足BF/FC=λ2，且λ1＋λ2=1.线段CD与EF交于点P．当点C在抛物线上移动时，求点P的轨迹方程．  相似文献   

一道解析几何竞赛训练题的解法创新与推广     

肖锋 《中学数学研究(江西师大)》2013,(4):47-49

浙江大学出版社出版的《高中数学竞赛专题讲座》中P₆₈有这样一道题:如图1所示,过抛物线y²=x上的一点A（1,1）作抛物线的切线,分-别交x轴于D,交y轴于B,点C在抛物线上,点E在线段AC上,满足（AE）/（EC）=λ₁,点F在线段BC上,满足（BF）/（FC）=λ₂,且λ₁+λ₂=1,线段CD与EF交于点P,当点C在抛物线上移动时,求点P的轨迹方程.现摘录原文解答如下:解:过抛物线上点A的切线斜率为k=2x|_x=1=2,切线AB的方程为y=2x-1.所以B、D的坐标  相似文献   

一道联赛题探源、简解与推广     

舒金根 《中学数学研究(江西师大)》2006,(1):48-49

2005年全国数学联赛(一试)第15题:过抛物线 y=x~2上的一点 A(1,1)作抛物线的切线,分别交 x 轴于 D,交 y 轴于 B.点 C在抛物线上,点 E 在线段 AC 上,满足(AE)/(EC)=λ_1;点 F 在线段 BC 上,满足(BF)/(FC)=λ_2,且λ_1 λ_2=1,线段 CD 与 EF 交于点 P.当点 C 在抛物线上移动时,求点 P 的轨迹方程.该题设计新颖、有趣.本文对其作探源、简  相似文献   

追寻高考数学试题中的奇异美——2018年北京高考理科数学试题第19题的探究     

《中学数学杂志》2018,(11)

<正>2018年北京高考数学试题理科第19题:已知抛物线C:y²=2px经过点P(1,2).过点Q(0,1)的直线l与抛物线C有两个不同的交点A,B,且直线PA交y轴于M,直线PB交y轴于N.(Ⅰ)求直线l的斜率的取值范围;(Ⅱ)设O为原点,QM(向量)=λQO(向量),QN(向量)=μQO(向量),求证:1/λ+1/μ为定值.思考1该试题揭示了抛物线C:y2=2px经过点P(1,2).过点Q(0,1)的直线l与抛物线C有两个不同的交点A,B,且直线PA交y轴于M,直线PB交y轴于N.(Ⅰ)求直线l的斜率的取值范围;(Ⅱ)设O为原点,QM(向量)=λQO(向量),QN(向量)=μQO(向量),求证:1/λ+1/μ为定值.思考1该试题揭示了抛物线C:y²=4x的一个有  相似文献   

从安徽卷理科第21题看抛物线的两个性质     

张俊 《中学数学月刊》2011,(8)

题目 如图1,设λ〉0,点A的坐标为（1,1）,点B在抛物线y=x^2上运动,点Q满足BQ^→=λQA^→.经过点Q与z轴垂直的直线交抛物线于点M,点P满足QM^→=λMP^→,求点P的轨迹方程．  相似文献   

2019年北京卷理科第18题别解与推广     

《中学数学教学》2019,(4)

<正>试题已知抛物线C:x2=-2py经过点(2,-1).(Ⅰ)求抛物线C的方程及其准线方程;(Ⅱ)设O为原点,过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点M、N,直线y=-1分别交直线OM、ON于点A、B,求证:以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点.这是2019年北京卷理科第18题,我们首先给出试题的一种新解法.解答 (Ⅰ) 由抛物线C:x2=-2py经过点(2,-1),则4=2p,所以抛物线C的方程为x2=-4y  相似文献   

数学奥林匹克高中训练题(87)     

邹明 《中等数学》2006,(4):41-46

第一试一、选择题(每小题6分,共36分)1.已知sin2005x+cos2005x=1.则对任意k>0,必有().(A)sinkx+coskx=1(B)sinkx+coskx>1(C)sinkx+coskx<1(D)sinkx+coskx的值不确定2.设椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的一个焦点为F,点P在y轴上,直线PF交椭圆于点M、N,PM=λ1MF,PN=λ2NF.则实数λ1+λ2=().(A)-2b2a2(B)-b2a2(C)-2a2b2(D)-a2b23.指数函数y=ax和对数函数y=logax(其中a>0,a≠1)的图像分别为C1、C2,点M在曲线C1上,线段OM(O为坐标原点)交曲线C1于另一点N.若曲线C2上存在一点P,且点P的横坐标与点M的纵坐标相等,点P的纵坐标是点N横坐标的2倍…  相似文献   

安徽卷理科21题     

刘瑞美 《中学数学杂志》2011,(4):59-60

题目如图1,设λ〉0,点A的坐标为（1,1）,点B在抛物线y=x^2上运动,点Q满足→（BQ）=λ →（QA）,经过Q点与x轴垂直的直线交抛物线于点M,点P满足→（QM）=λ →（MP）,求点P的轨迹方程。分析本题主要考查直线和抛物线方程,平面向量的概念、性质及运算,动点轨迹方程等基本知识,考查灵活运用所学知识探究问题和解决问题的能力,全面考查考生的数学综合素养  相似文献   

关于一道解析几何题的思考和探究     

段耀利 《成才之路》2010,(36):I0020-I0020

例题已知抛物线c：y=2x2,直线y=kx＋2交c于A、B两点,M是线段AB的中点,过M作x轴的垂线交c于N。（1）证明：抛物线C在点N处的切线与AB平行;（2）是否存在实数k,  相似文献   

对2011年高考数学安徽卷压轴题的探究     

田芝学 《中学数学教学》2011,(4):44-45

2011年高考数学安徽卷理科第21题:设λ>0,点A的坐标为(1,1),点B在抛物线y=x2上运动,点Q满足BQ→=λQA→,经过点Q与x轴垂直的直线交抛物线于点M,点P满足QM→=λMP→,求点P的轨迹方程.本题设计新颖,主要考查直线和抛物线的方程,动点的轨迹方程,平面向量的概念、性质、运  相似文献   

解析一道二次函数综合题     

《初中数学教与学》2016,(7)

<正>一、试题呈现如图1,已知抛物线y=-x²+3x+4交y轴于点A,交x轴于点B、C(点B在点C的右侧).过点A作垂直于y轴的直线l,在位于直线l下方的抛物线上任取一点P,过点P作直线PQ平行于y轴交直线l于点Q,连结AP.(1)写出A、B、C三点的坐标;(2)点P位于抛物线的对称轴的右侧,1如果以A、P、Q三点构成的三角形与  相似文献   

二次函数中直角三角形存在性问题探究     

毛丽丽 《初中生学习指导(初三版)》2022,(30):28-30

<正>考题在线例(2021·四川·巴中)如图1,已知抛物线y=ax²+bx+c与x轴交于A(-2,0),B(6,0)两点,与y轴交于点C(0,-3).(1)求抛物线的表达式.(2)点P在直线BC下方的抛物线上,连接AP交BC于点M,  相似文献   

一题三问 一问三解     

刘弘 《初中数学教与学》2004,(8):31-32

题目已知,如图1,点P在x轴上,⊙P切y轴于O,直线y=-33x+1与⊙P相切于C,交坐标轴于A、B两点.(1)求⊙P的半径;(2)求点C的坐标;(3)求过A、C、P三点的抛物线的解析式.分析与解(1)思路1根据直线y=-33x+1与坐标轴交于A、B两点,易求得两点的坐标分别为A(3,0)、B(0,1),即BO=1,AO=3,于是可得AB=2.又因⊙P切y轴于O,切直线AC于C,故BO=BC=1,AC=AB+BC=3.如图2,连接PC,在RtACP中,设⊙P的半径为r,根据勾股定理得:(r+3)2-r2=32,解得r=3.思路2由RtAOB∽RtACP,有OAAC=OBPC,即33=1r,得r=3.思路3运用切割线定理,设⊙P与x轴的另一交点为D,…  相似文献   

关于直线、圆、圆锥曲线的高考预测题     

雷云 《高中生》2006,(24)

一、选择题(每小题5分,共50分)1.设集合M=｛直线｝,P=｛圆｝,则集合M∩P中的元素个数为A.0B.1C.2D.0或1或22.直线x-"3y=0绕原点按逆时针方向旋转30°所得直线与圆x2 y2-4x 1=0的位置关系是A.相交且过圆心B.相交但不过圆心C.相切D.相离3.已知双曲线x22-y2=1a>0,)上一点P到两焦(b>0a b2点F1,F2的距离分别为6和2,点M(,)到直线PF302和PF2的距离相等,则此双曲线的方程为A.x4-y2=1B.x4-=1C.x4-=1D.x4-=122y22y22y22354.过抛物线y2=4x的焦点F作斜率为的直线交抛43物线于A,B两点,若AF=λFB(λ>1),则λ等于#$#$A.3B.4C.4D.3325.若曲线x…  相似文献   

与抛物线焦点有关的中考试题     

桂文通 《初中数学教与学》2012,(1):25-27

正在高中数学教材中,抛物线有一个重要性质:抛物线上的各点到焦点和准线的距离相等.下面试举几例,说明该性质在一些中考试题中的应用.例1(2008年镇江)如图1,在直角坐标系xOy中,点P为函数y=14x2在第一象限内图象上的任一点,点A的坐标为(0,1),直线l过点B(0,-1),且与x轴平行,过点P作y轴的平行线分别交x轴、l于点C、Q,连结AQ交x轴于点H,直线PH交y轴于点R.  相似文献   

高考数学综合题解题策略透析     

黄爱民 《中学生阅读》2008,(5)

数学综合题常常是高考试卷中的把关题和压轴题,在高考中举足轻重.高考的区分层次和选拔使命主要靠这类题型来完成预设目标.近几年高考数学综合题已由单纯的知识叠加型转化为知识、方法和能力综合型,尤其是创新能力型试题.综合题是高考数学试题的精华部分,具有知识容量大、解题方法多、能力要求高、突显数学思想方法的运用以及要求考生具有一定的创新意识和创新能力等特点.下面举例谈谈高考数学综合题的基本解题策略.一、避实就虚,整体求解【例1】抛物线C的方程为y=ax2(a&lt;0),过抛物线C上一点P(x0,y0)(x0≠0)作斜率为k1,k2的两条直线分别交抛物线C于A(x1,y1),B(x2,y2)两点(P,A,B三点互不相同),且满足k2+λk1=0(λ≠0且λ≠-1).(Ⅰ)求抛物线C的焦点坐标和准线方程;(Ⅱ)设直线AB上一点M,满足BM=λMA,证明线段PM的中点在y轴上;(Ⅲ)当λ=1时,若点P的坐标为(1,-1),求∠PAB为钝角时点A的纵坐标y1的取值范围.解析(Ⅰ)由抛物线C的方程y=ax2(a&lt;0)知,焦点坐标为0,41a,准线方程为y=-41a.(Ⅱ)设直线PA的方程为y-y0=k1(x-x0),直线PB的方程为...  相似文献   

一道课本习题的变题及引申     

李丽 《高中数学教与学》2006,(11):47-47

中学数学教材中有这样一道习题:过抛物线焦点的一条直线与它交于两点P、Q,经过P点和抛物线顶点的直线与准线交于点M,求证直线MQ平行于抛物线的对称轴.变题(2001年高考题)设抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,经过点F的直线交抛物线于A、B两点,点C在抛物线的准线上,且BC∥x轴,证明直线  相似文献   

定比的一个性质及其应用     

张雷 《高中数学教与学》2011,(10):47-48

已知定点p1（xx,y1）,P2（x2,y2）在直线l：Ax＋By＋C=0外,直线l与直线P1P2相交于点P,若P1p=λPP2,则称λ为直线l分P1P2所成的比．当点P在线段P1P2上时,λ〉0,当点P在线段P1P2的延长线上时,λ〈-1,当点P在线段P1P2的反向延长线上时,  相似文献   

一个结论的导出与应用     

皮曙兴 《数理天地(高中版)》2008,(5):42-43

1.结论及证明如图1,过抛物线y=ax~2上任意一点P的切线交x轴于A点、PB⊥x轴于B点.若∠POB=α、∠PAB=β,则有tanβ=2tanα  相似文献   

管窥2019年浙江高考第21题     

蒋亚军 《中学数学研究(江西师大)》2020,(1):43-46

1.题目呈现如图1,已知点F(1,0)为抛物线y^2=2px(p>0),点F为焦点,过点F的直线交抛物线于A、B两点,点C在抛物线上,使得△ABC的重心G在x轴上,直线AC交x轴于点Q,且Q在点F右侧.记△AFG,△CQG的面积为S1,S2.  相似文献